用户: Eee/Special Subject of Bott

1MV 方法

  (1) 证明欧式空间情形.

  (2) 写出两个的 MV 序列.

  (3) 证明交换图.

  (4) 利用五引理说明 $U\cup V$ 也成立.

  (5) 对开覆盖的个数进行归纳 (所以需要有限好覆盖) .

2Thom 类, 整体角形式, Euler 类

命题 2.1. 设 ${\pi }_1:E\to M$ 与 ${\pi }_2:E^{\prime }\to M$ 是流形 $M$ 上两个定向向量丛. 则$$\Phi (E\oplus E^{\prime })=p{r}_1^{\ast }\Phi (E)\wedge p{r}_2^{\ast }\Phi (E^{\prime }).$$

定义 2.2. $E^0$ 的一个 $(k-1)$-形式 $\psi$ 称为整体角形式若 $\psi$ 限制在每条纤维 $E_x^0\cong {\mathbb{R}}^k-0$ 上是角形式并且 $d\psi$ 能自然延拓成 $E$ 的一个 $k$-形式.

  若在 $E^0$ 上存在整体角形式 $\psi$, 则 $E$ 的 Thom 类是$$\Phi =d\rho \wedge \psi +\rho d\psi .$$

定义 2.3. Euler 类

  设 $\pi :E\to M$ 是可定向的 $S^n$-丛, $\mathcal{U}=\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$ 是 $M$ 的好覆盖. $E$ 可定向则给出了一个 $0$-上链 ${\sigma }^{0,n}=({\sigma }_{\alpha },{\sigma }_{\beta },\cdots )\in C^0({\pi }^{-1}\mathcal{U},{\Omega }^n)$ 及 ${\sigma }^{1,n-1}=({\sigma }_{\alpha \beta },\cdots )\in C^1({\pi }^{-1}\mathcal{U},{\Omega }^{n-1})$ 使得$$\delta {\sigma }^{0,n}+D^{\prime \prime }{\sigma }^{1,n-1}=0.$$  扩张成 $D$-上闭链, 得到 $\sigma ={\sigma }^{0,n}+{\sigma }^{1,n-1}+\cdots +{\sigma }^{n,0}$ 使得$$D\sigma =\delta {\sigma }^{n,0}.$$因为$$d(\delta {\sigma }^{n,0})=\delta d{\sigma }^{n,0}=\pm {\delta }^2{\sigma }^{n-1,1}=0,$$即 $\delta {\sigma }^{n,0}$ 是局部常值函数, 所以$$D\sigma =\delta {\sigma }^{n,0}=i(-\epsilon )$$对某个$$\epsilon \in C^{n+1}({\pi }^{-1}\mathcal{U},\mathbb{R})\cong C^{n+1}(\mathcal{U},\mathbb{R}),$$其中 $i:C^{n+1}({\pi }^{-1}\mathcal{U},\mathbb{R})\to C^{n+1}({\pi }^{-1}\mathcal{U},{\Omega }^0)$ 是包含映射.

  显然 $\delta \epsilon =0$, 故 $[\epsilon ]\in H^{n+1}(\mathcal{U},\mathbb{R})$. 因为 $\mathcal{U}$ 是好覆盖, 可从 Čech 上同调类 $[\epsilon ]$ 对应得到 de Rham 上同调类 $e(E)$, 称为相对于定向 ${\sigma }^{0,n}$ 的 Euler 类.

定义 2.4. 设 $\pi :E\to M$ 是定向 $S^n$-丛, 整体角形式 $\psi \in {\Omega }^n(E)$ 使得

  (a) $[\psi {|}_{E_x}\in H^n(E_x)$ 是生成元;

  (b) $d\psi =-{\pi }^{\ast }e$, 其中 $e$ 是 Euler 类.

命题 2.5. 由 collating 公式, $$e=(-1{)}^{n+1}(D^{\prime \prime }K{)}^{n+1}\epsilon .$$令 $\alpha ={\alpha }_0+\cdots +{\alpha }_n$, 其中 ${\alpha }_i={\sigma }^{i,n-i}$. 则 $D\alpha =-{\pi }^{\ast }\epsilon$. 由 collating 公式$$\psi =f(\alpha )=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(D^{\prime \prime }K{)}^i{\alpha }_i+(-1{)}^{n+1}K(D^{\prime \prime }K{)}^n(-{\pi }^{\ast }\epsilon )$$是 $E$ 上整体定义的 $n$-形式, 并且 $d\psi =-{\pi }^{\ast }e$. 球面丛 $E$ 上整体 $n$-形式 $\psi$ 满足前面的性质, 被称为球面丛 $E$ 上的整体角形式.

命题 2.6. 定向向量丛 $E$ 的 Thom 类是$$\Phi =d\rho \wedge {\rho }^{\ast }\psi -\rho \cdot {\pi }^{\ast }e\in {\Omega }_{cv}^k(E)$$的上同调类.

命题 2.7. 定向向量丛的零截面把 Thom 类拉回 Euler 类.

  事实上, 任意截面都把 Thom 类拉回 Euler 类.

定理 2.8. Euler 类的 Whitney 积公式

  若 $E$ 与 $F$ 是两个定向向量丛, 则$$e(E\oplus F)=e(E)\wedge e(F).$$

3Leray-Hirsch 定理

命题 3.1. Leray-Hirsch 定理

  设 $\pi :E\to M$ 是以 $F$ 为纤维的光滑纤维丛. 假定 $E$ 上存在上同调类 $e_1,\cdots ,e_r$, 它们限制在每条纤维 $E_x$ 上形成 $H^{\ast }(E_x)$ 的一组基. 则可定义映射$$\psi :H^{\ast }(M)\otimes \mathbb{R}\{e_1,\cdots ,e_r\}\to H^{\ast }(E).$$  在上述假定下, 并假定 $M$ 有好覆盖, 则上述映射 $\psi$ 是同构, 即 $H^{\ast }(E)$ 是 $H^{\ast }(M)$ 上以 $\{e_1,\cdots ,e_r\}$ 为基的自由模, 即$$H^{\ast }(E)\cong H^{\ast }(M)\otimes \mathbb{R}\{e_1,\cdots ,e_r\}\cong H^{\ast }(M)\otimes H^{\ast }(F).$$

注 3.2. 若用 MV 方法证明 (第 6 节) , 则需要假设有限好覆盖; 亦可用谱序列证明 (第 22 节) , 此时不需要有限好覆盖.

定理 3.3. 对 de Rham 上同调的 Leray 定理

  给定流形 $M$ 上以 $F$ 为纤维的纤维丛 $\pi :E\to M$ 与 $M$ 的好覆盖 $\mathcal{U}$, 存在一个收敛于全上同调 $H^{\ast }(E)$ 的谱序列 $\{E_r\}$, 它的 $E_2$ 页为$$E_2^{p,q}=H^p(\mathcal{U},{\mathcal{H}}^q),$$其中 ${\mathcal{H}}^q$ 是 $\mathcal{U}$ 上局部常值预层 ${\mathcal{H}}^1(U)=H^q({\pi }^{-1}U)$.

  若 $M$ 是单连通的且 $H^q(F)$ 是有限维的, 则$$E_2^{p,q}=H^p(M)\otimes H^q(F).$$

注 3.4. 谱序列证明, 见第 21 节.

定理 3.5. 对系数在交换环 $A$ 的奇异上同调的 Leray 定理

  设 $\pi :E\to X$ 是拓扑空间 $X$ 上以 $F$ 为纤维的纤维丛, $\mathcal{U}$ 是 $X$ 的开覆盖. 则存在一个收敛于 $H^{\ast }(E;A)$ 的谱序列, 它的 $E_2$ 页是$$E_2^{p,q}=H^p(X,{\mathcal{H}}^q(F;A)).$$谱序列中每个 $E_r$ 能给一个乘积结构使得微分 $d_r$ 对此乘积结构是反导子. 若 $X$ 是单连通的且有好覆盖, 则$$E_2^{p,q}=H^p(X,H^q(F;A)).$$另若 $H^{\ast }(F;A)$ 是有限生成的自由 $A$-模, 则作为 $A$ 上代数$$E_2=H^{\ast }(X;A)\otimes H^{\ast }(F;A).$$

注 3.6. 谱序列证明, 见第 22 节.

4Künneth 公式

命题 4.1. Künneth 公式

  设 $M,F$ 是流形且 $M$ 的 de Rham 上同调的维数是有限的. 则对每个非复整数 $n$, $$H^n(M\times F)=\underset{p+q=n}{⨁}{H}^p(M){\otimes }_{\mathbb{R}}{H}^q(F).$$

注 4.2. 若用 MV 方法证明 (第 6 节) , 则需要假设有限好覆盖; 亦可用谱序列证明 (第 22 节) , 此时不需要有限好覆盖.

练习 4.3. 关于紧上同调的 Künneth 公式

  对于具有有限好覆盖的流形 $M$ 与 $N$, $$H_c^{\ast }(M\times N)=H_c^{\ast }(M)\otimes H_c^{\ast }(N).$$  (a) 若 $M,N$ 可定向, 用 Poincaré 对偶与 de Rham 上同调的 Künneth 公式证明.

  (b) 用 MV 方法证明.

练习 4.4. 对奇异上同调的 Künneth 公式

  若 $X$ 是具有好覆盖的拓扑空间, 如可三角剖分的空间, $Y$ 是任意拓扑空间, 应用纤维丛 $X\times Y\to X$ 的谱序列证明: $$H^n(X\times Y)=\underset{p+q=n}{⨁}{H}^p(X,H^q(Y)).$$

5复射影空间

练习 5.1. 复射影空间 $\mathbb{C}{P}^n$, 法丛 $N_{\mathbb{C}{P}^1/\mathbb{C}{P}^2}$, $\mathbb{C}{P}^1$ 在 $\mathbb{C}{P}^2$ 中的法丛的 Euler 类, 万有子丛.

例 5.2. 复射影空间的上同调

  利用纤维化和 de Rham 上同调的 Leray 定理.

例 5.3. $H^{\ast }(\mathbb{C}{P}^n)$ 的环结构.