用户: Eee/Review of Bott

  根据 Fu 老师 PPT 整理了精简版的笔记, 便于复习.

1${\mathbb{R}}^n$ 上 de Rham 复形

定义 1.1. ${\mathbb{R}}^n$ 的 de Rham 上同调、紧上同调、微分复形.

命题 1.2. $\tau \wedge \omega =(-1{)}^{\mathrm{deg}\omega \cdot \mathrm{deg}\tau }\omega \wedge \tau$.

命题 1.3. $d(\tau \wedge \omega )=d\tau \wedge \omega +(-1{)}^{\mathrm{deg}\tau }\tau \wedge \omega$ ($d$ 是反导子) , $d^2$ 等于零.

例 1.4. $H^q({\mathbb{R}}^1)$, $H_c^q({\mathbb{R}}^1)$.

练习 1.5. 计算 $U=\mathbb{R}-\{0\}$ 的 de Rham 同调群.

练习 1.6. 设 $P,Q$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中两点. 计算 $H^{\ast }({\mathbb{R}}^2-P-Q)$ 并求表示上同调类的闭形式.

命题 1.7. 短正合列诱导长正合列, 连接同态 $d^{\ast }$ 的定义及良定性.

2流形上微积分

定义 2.1. 流形上微分形式、单位分解、定向、积分、带边流形及诱导定向.

命题 2.2. 一阶微分不变性, 即 $dg$ 与 ${\mathbb{R}}^n$ 上坐标选取无关, 进而外微分 $d$ 与 ${\mathbb{R}}^n$ 上坐标选取无关.

定理 2.3. Stokes 定理

  设 $M$ 是 $n$ 维定向流形, 它的边界 $\partial M$ 取诱导定向. 则对任意的 $\omega \in {\Omega }_c^{n-1}(M)$, $${\int }_{M}d\omega ={\int }_{\partial M}\omega {|}_{\partial M}.$$特别地, 若 $M$ 是无边流形, 则 ${\int }_{M}d\omega =0$.

3MV 序列

命题 3.1. 上同调的 MV 序列短正合. (逆变)

命题 3.2. 紧上同调的 MV 序列短正合. (协变)

命题 3.3. $S^1$ 的上同调和紧上同调. $H^1(S^1)$ 的生成元, bump 1-形式.

练习 3.4. 用支集紧的 MV 序列计算 $H_c^{\ast }({\mathbb{R}}^2-P)$ 与 $H^{\ast }({\mathbb{R}}^2-P-Q)$.

证明.

证明.

  我们先计算 $H_c^{\ast }({\mathbb{R}}^2-P)$, 不妨设 $P=0$. 考虑开集 $U$ 和 $V$, 其中 $U$ 是 $\{x<1\}$ 在挖去以 $(1,0)$ 为圆心半径为 $1$ 的开圆盘, $V$ 是 $\{x>-1\}$ 在挖去以 $(-1,0)$ 为圆心半径为 $1$ 的开圆盘. 我们如此构造是为了 $U\cup V={\mathbb{R}}^2-P$. 注意到 $U\cap V$ 是一个具有两个连通分支的区域. 于是我们有 MV 序列正合: $$0=H_c^1(U)\oplus H_c^1(V)\to H_c^1(U\cup V)\to H_c^2(U\cap V)=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}\stackrel{\delta }{\to }{H}_c^2(U)\oplus H_c^2(V)=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}\to H_c^2(U\cup V)\to 0,$$  而对于 $\omega \in H_2^2(U\cap V)$, $\delta (\omega )=((j_U{)}_{\ast }\omega ,(j_V{)}_{\ast }\omega )\in H_c^2(U)\oplus H_c^2(V)$, 故 $\mathrm{Im}\delta$ 只有一维, 进而同构于 $\mathbb{R}$, 进而 $\mathrm{Ker}\delta$ 亦同构于 $\mathbb{R}$. 推出$$\{\begin{array}{l}{H}_c^1({\mathbb{R}}^2-P)=\mathrm{Ker}\delta =\mathbb{R},\\ H_c^2({\mathbb{R}}^2-P)=\mathrm{Im}\delta =\mathbb{R}.\end{array}$$其余情形显然是 $0$.

  继续计算 $H_c^{\ast }({\mathbb{R}}^2-P-Q)$, 取 $U={\mathbb{R}}^2-P$, $V={\mathbb{R}}^2-Q$, 则 $U\cup V={\mathbb{R}}^2$, $U\cap V={\mathbb{R}}^2-P-Q$. 有 MV 序列正合: $$0=H_c^0({\mathbb{R}}^2)\to H_c^1({\mathbb{R}}^2-P-Q)\to H_c^1(U)\oplus H_c^1(V)\to H_c^1({\mathbb{R}}^2)=0,$$得到 $H_c^1({\mathbb{R}}^2-P-Q)=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}$. 另外我们还有$$0=H_c^1({\mathbb{R}}^2)\to H_c^2({\mathbb{R}}^2-P-Q)\to H_c^2(U)\oplus H_c^2(V)=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}\stackrel{s}{\to }{H}_c^2({\mathbb{R}}^2)=\mathbb{R}\to 0,$$其中 $s(\omega ,\tau )=\omega +\tau$ 的 $\mathrm{Ker}$ 是 $\mathbb{R}$. 故有 $H_c^2({\mathbb{R}}^2-P-Q)=\mathrm{Ker}s=\mathbb{R}$. 其余情形显然是 $0$.

$\square$

命题 3.5. 再论 $H^1(S^1)\cong \mathbb{R}$.

  1. ${\int }_{S^1}$.

  2. $\hat{\omega }=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\omega (\theta +\tau )d\tau$, $\omega$ 与 $\hat{\omega }$ 属于同一个上同调类, 旋转不变的, 可推广计算齐性空间的上同调.

  对应 $\omega \mapsto \hat{\omega }$ 本质上对每个 $[\omega ]\in H^1(S^1)$ 赋予了唯一的实数 $\alpha$. 这就是同构 $H^1(S^1)\cong \mathbb{R}$ 的一种实现.

4Poincaré 引理

命题 4.1. de Rham 上同调的 Poincaré 引理.

$$H^{\ast }({\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^1)\cong H^{\ast }({\mathbb{R}}^n).$$同伦算子 $K$ 的定义.

$$H^{\ast }(M\times \mathbb{R})\cong H^{\ast }(M).$$

命题 4.2. de Rham 上同调的同伦公理.

  设 $M,N$ 是光滑流形, $f,g:M\to N$ 是光滑同伦的两个光滑映射, 则$$f^{\ast }=g^{\ast }:H^{\ast }(N)\to H^{\ast }(M).$$

  两个同伦等价的两个流形有相同的 de Rham 上同调, 形变收缩.

练习 4.3. $S^n$ 的上同调, $H^n(S^n)$ 的生成元, bump $n$-形式, 体积形式 $\omega =\frac{1}{r}\sum _{i=1}^{n+1}{x}_{i}d{x}_1\wedge \cdots \wedge \widehat{d{x}_i}\wedge \cdots \wedge d{x}_{n+1}$.

命题 4.4. 紧上同调的 Poincaré 引理、沿纤维的积分.

$$H_c^{\ast }({\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^1)\cong H_c^{\ast -1}({\mathbb{R}}^n).$$${\pi }_{\ast },e_{\ast },K$ 的定义. $$H_c^{\ast }(M\times {\mathbb{R}}^1)\cong H_c^{\ast -1}(M).$$

练习 4.5. 设 $M$ 是开 Möbius 带. 计算 $H^{\ast }(M)$ 与 $H_c^{\ast }(M)$.

定义 4.6. 逆紧映射的度、临界点、临界值、正则值.

命题 4.7. 对 ${\mathbb{R}}^n$ 的 Sard 定理

  光滑映射 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 的临界值集是 ${\mathbb{R}}^n$ 的零测集.

命题 4.8. 设 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 是光滑逆紧映射. 若 $f$ 不是满射, 则 $\mathrm{deg}f=0$.

命题 4.9. 设 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 是光滑逆紧映射, 则 $\mathrm{deg}f\in \mathbb{Z}$.

5Poincaré 对偶

定义 5.1. 好覆盖、加细、闭定向子流形的 Poincaré 对偶

命题 5.2. 流形具有好覆盖, 紧流形具有有限好覆盖. 测地凸邻域.

命题 5.3. 若流形具有有限好覆盖, 则其 de Rham 上同调和紧上同调的维数均有限.

引理 5.4. 两个有限维向量空间 $V$ 和 $W$ 之间的配对 $⟨,⟩$ 是非退化的, 当且仅当由它诱导的线性映射 $l_V:V\to W^{\ast }$ 是同构.

引理 5.5. 五引理.

定理 5.6. Poincaré 对偶

  若 $M$ 是定向 $n$ 维流形且具有有限好覆盖, 则配对 ${\int }_M$ 是非退化的. 等价地, $$H^q(M)\cong (H_c^{n-q}(M){)}^{\ast },$$$$H_c^{n-q}(M)\cong (H^q(M){)}^{\ast }.$$

定理 5.7. Poincaré 对偶

  若 $M$ 是定向 $n$ 维流形, 它的上同调不必是有限维的, 则$$H^q(M)\cong (H_c^{n-q}(M){)}^{\ast },$$

例 5.8. ${\mathbb{R}}^n$ 上一点 $P$ 的 Poincaré 对偶.

例 5.9. ${\mathbb{R}}^2-0$ 中射线与圆周的 Poincaré 对偶.

  $H^1({\mathbb{R}}^2-0)$ 的生成元被射线表示, $H_c^1({\mathbb{R}}^2-0)$ 的生成元被圆圈表示.

命题 5.10. 局部化原理

  紧定向子流形 $S$ 在 $M$ 中的紧 Poincaré 对偶的支集可缩小到 $S$ 的任一开邻域中.

  局部化原理对非紧闭定向子流形也成立, 见 Thom 同构.

6Künneth 公式

命题 6.1. Künneth 公式

  设 $M,F$ 是流形且 $M$ 的 de Rham 上同调的维数是有限的. 则对每个非复整数 $n$, $$H^n(M\times F)=\underset{p+q=n}{⨁}{H}^p(M){\otimes }_{\mathbb{R}}{H}^q(F).$$

命题 6.2. Leray-Hirsch 定理

  设 $\pi :E\to M$ 是以 $F$ 为纤维的光滑纤维丛. 假定 $E$ 上存在上同调类 $e_1,\cdots ,e_r$, 它们限制在每条纤维 $E_x$ 上形成 $H^{\ast }(E_x)$ 的一组基. 则可定义映射$$\psi :H^{\ast }(M)\otimes \mathbb{R}\{e_1,\cdots ,e_r\}\to H^{\ast }(E).$$  在上述假定下, 并假定 $M$ 有有限好覆盖, 则上述映射 $\psi$ 是同构, 即 $H^{\ast }(E)$ 是 $H^{\ast }(M)$ 上以 $\{e_1,\cdots ,e_r\}$ 为基的自由模, 即$$H^{\ast }(E)\cong H^{\ast }(M)\otimes \mathbb{R}\{e_1,\cdots ,e_r\}\cong H^{\ast }(M)\otimes H^{\ast }(F).$$

练习 6.3. 关于紧上同调的 Künneth 公式

  对于具有有限好覆盖的流形 $M$ 与 $N$, $$H_c^{\ast }(M\times N)=H_c^{\ast }(M)\otimes H_c^{\ast }(N).$$  (a) 若 $M,N$ 可定向, 用 Poincaré 对偶与 de Rham 上同调的 Künneth 公式证明.

  (b) 用 MV 方法证明.

7向量丛基础

定义 7.1. 向量丛、截面、标架、转移函数、等价、丛映射、丛同态、丛同构、结构群的约化、向量丛定向.

引理 7.2. 若向量丛 $E$ 有另一平凡化 $\{(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha }^{\prime }){\}}_{\alpha \in I}$, 它的转移函数是 $\{g_{\alpha \beta }^{\prime }\}$, 则存在光滑的矩阵值映射 ${\lambda }_{\alpha }:U_{\alpha }\to GL(n,\mathbb{R})$ 使得在 $U_{\alpha \beta }$ 上$$g_{\alpha \beta }(x)={\lambda }_{\alpha }(x)g_{\alpha \beta }^{\prime }(x){\lambda }_{\beta }(x{)}^{-1}.$$

命题 7.3. $M$ 上两个向量丛同构当且仅当它们相对于某一开覆盖的转移函数是等价的.

命题 7.4. 切丛定义、流形 $M$ 可定向当且仅当它的切丛 $TM$ 可定向、切丛 $TM$ 的全空间作为流形总是可定向的.

命题 7.5. 秩 $n$ 向量丛 $E$ 的结构群总可约化到 $O(n)$; 它能约化到 $SO(n)$ 当且仅当 $E$ 是可定向的. 黎曼度量.

命题 7.6. 向量丛的运算

  直和、张量积、$Hom(E,E^{\prime })$、对偶、拉回, 及其转移函数变化.

定理 7.7. 向量丛的同伦性质

  假定 $Y$ 是紧流形. 若 $f_0,f_1:Y\to X$ 是同伦映射且 $\pi :E\to X$ 是向量丛, 则 $f_0^{-1}E$ 同构于 $f_1^{-1}E$, 即同伦映射诱导了同构丛.

  定理对仿紧空间 $Y$ 均成立.

推论 7.8. 可缩流形上向量丛是平凡的.

练习 7.9. 计算 $Vec{t}_k(S^1)$.

8Thom 同构

命题 8.1. $$H^{\ast }(E)\cong H^{\ast }(s(M))\cong H^{\ast }(M).$$

命题 8.2. 设 $\pi :E\to M$ 是秩 $n$ 向量丛. 若 $E$ 与 $M$ 是可定向的有限性流形, 则$$H_c^{\ast }(E)\cong H_c^{\ast -n}(M).$$若将开 $M\ddot{o}bius$ 带视作 $S^1$ 上秩 $1$ 向量丛, 其不满足上式.

引理 8.3. 可定向流形 $M$ 上一个可定向向量丛 $E$ 作为流形也是可定向的, 局部乘积定向.

命题 8.4. 若 $M$ 是可定向的有限维流形, $\pi :E\to M$ 是秩 $n$ 可定向向量丛, 则$$H_c^{\ast }(E)\cong H_c^{\ast -n}(M).$$事实上, 流形 $M$ 的可定向性假定是多余的, 见习题.

定义 8.5. 紧垂直上同调、沿纤维的积分 ${\pi }_{\ast }$ 是链映射.

命题 8.6. 投射公式. 设 $\pi :E\to M$ 是秩 $n$ 定向向量丛.

  (a) 设 $\tau \in {\Omega }^{\ast }(M)$, $\omega \in {\Omega }_{cv}^{\ast }(E)$. 则$${\pi }_{\ast }({\pi }^{\ast }\tau \wedge \omega )=\tau \wedge {\pi }_{\ast }\omega .$$  (b) 设 $M$ 是 $m$ 维定向流形. 设 $\omega \in {\Omega }_{cv}^q(E)$, $\tau \in {\Omega }_c^{m+n-q}(M)$. 若 $E$ 作为流形取局部乘积定向, 则$${\int }_E{\pi }^{\ast }\tau \wedge \omega ={\int }_M\tau \wedge {\pi }_{\ast }\omega .$$

命题 8.7. 紧垂直上同调的 Poincaré 引理

  沿纤维的积分 ${\pi }_{\ast }$ 定义同构$${\pi }_{\ast }:H_{cv}^{\ast }(M\times {\mathbb{R}}^n)\to H^{\ast -n}(M).$$

定理 8.8. Thom 同构.

若 $\pi :E\to M$ 是有限型流形 $M$ 上秩 $n$ 可定向向量丛, 则$$H_{cv}^{\ast }(E)\cong H^{\ast -n}(M).$$若 $M$ 不是有限型的, Thom 同构仍成立, 见书 12 节.

定义 8.9. Thom 同构 $\mathcal{T}$、Thom 类 $\Phi$. $$\mathcal{T}()={\pi }^{\ast }()\wedge \Phi .$$

命题 8.10. 秩 $n$ 定向向量丛 $E$ 的 Thom 类 $\Phi$ 是 $H_{cv}^n(E)$ 中唯一的上同调类, 它限制在每条纤维 $E_x$ 上是 $H_c^n(E_x)$ 的生成元.

命题 8.11. 设 ${\pi }_1:E\to M$ 与 ${\pi }_2:E^{\prime }\to M$ 是流形 $M$ 上两个定向向量丛. 则$$\Phi (E\oplus E^{\prime })=p{r}_1^{\ast }\Phi (E)\wedge p{r}_2^{\ast }\Phi (E^{\prime }).$$

练习 8.12. Thom 类的函子性. 设 $f:N\to M$ 是光滑映射, $\pi :E\to M$ 是定向向量丛. 证明$$\Phi (f^{-1}E)=f^{\ast }\Phi (E).$$

练习 8.13. 仿照 Thom 同构的证明, 应用 MV 方法证明若 $\pi :E\to M$ 是有限型流形 $M$ 上秩 $n$ 定向向量丛, 则$$H_c^{\ast }(E)\cong H_c^{\ast -n}(M).$$注意这里去掉了 $M$ 的可定向性假设.

9Poincaré 对偶与 Thom 类

定义 9.1. 商丛、直和定向、法丛 $N_{S/M}$ 是商丛$$0\to TS\to TM{|}_S\to N_{S/M}\to 0.$$

定理 9.2. 管状邻域定理

  设 $i:S\hookrightarrow M$ 是子流形, $N=N_{S/M}$ 是法丛. 则存在映射 $j:N\to M$ 使得以下条件满足:

  (a) $j(N)\subset M$ 是开集;

  (b) $j:N\to j(N)(\subset M)$ 是微分同胚;

  (c) $j\circ s=i$, 其中 $s:S\to N$ 是零截面.

  $j(N)\subset M$ 称为 $S$ 在 $M$ 中的管状邻域. 以下记 $T=j(N)$, 显然 $i(S)$ 是 $T$ 的形变收缩核.

命题 9.3. 记 $\Phi$ 为 $S$ 的法丛 $N$ 的 Thom 类. 应用 Thom 同构定理于 $N$, 得映射的序列: $$H^{\ast }(S)\stackrel{\wedge \Phi }{\to }{H}_{cv}^{\ast +n-k}(N)\stackrel{(j^{-1}{)}^{\ast }}{\to }{H}_{cv}^{\ast +n-k}(T)\stackrel{j_{\ast }}{\to }{H}^{\ast +n-k}(M),$$其中最后一个映射 $j_{\ast }$ 是零延拓, 它是由定义的因为 $\mathrm{Supp}\Phi \subset T$.

引理 9.4. $n$ 为定向流形 $M$ 的 $k$ 维闭定向子流形 $S$ 的 Poincaré 对偶 $[{\eta }_S]$ 是 $S$ 的法丛 $N_{S/M}$ 的 Thom 类, 即$$[{\eta }_S]=j_{\ast }(1\wedge \Phi )=j_{\ast }\Phi \in H^{n-k}(M).$$

注 9.5. 注意若 $S$ 是紧的, 则法丛 $N$ 的 Thom 类 $\Phi$ 在 $N$ 中的支集是紧的, 即它在 $T$ 中的支集是紧的, 所以 $j_{\ast }\Phi$ 在 $M$ 中的支集也是紧的. 这就是说, 紧子流形的 Poincaré 对偶总可被支集紧的形式表示.

命题 9.6. $E$ 是定向流形 $M$ 上的定向向量丛.$M$ 与 $E$ 的零截面微分同胚, 即可把 $M$ 看作 $E$ 的闭子流形. 则 $M$ 作为 $E$ 的子流形的法丛是 $E$ 本身, 即有正合序列$$0\to TM\to TE{|}_M\to E\to 0.$$

命题 9.7. 综上所述,

  (a) 定向流形 $M$ 的闭定向子流形 $S$ 的 Poincaré 对偶与 $S$ 的法丛的 Thom 类可被相同的形式表示. 特别地, 若 $S$ 是紧的, 则它的 Poincaré 对偶总可被支集紧的形式表示.

  (b) 定向流形 $M$ 上定向向量丛 $E$ 的 Thom 类与 $E$ 的零截面的 Poincaré 对偶可被相同的形式表示.

命题 9.8. 局部化原理

  闭子流形 $S$ 的 Poincaré 对偶的支集可缩小到 $S$ 的任意给定的管状邻域中. (管状邻域可充分小)

例 9.9. (a) $n$ 为流形 $M$ 中点 $p$ 的 Poincaré 对偶.

(b) $M$ 的 Poincaré 对偶.

(c) 环面 $T^2$ 上圆周 $S^1$ 的 Poincaré 对偶.

命题 9.10. 两个横截相交的闭定向子流形的交, 它的 Poincaré 对偶等于这两个子流形的 Poincaré 对偶的外积.

命题 9.11. 设 $M$ 与 $m^{\prime }$ 是定向流形, 光滑映射 $f:M^{\prime }\to M$ 横截于 $M$ 的闭定向子流形 $S$. 若 $[\eta {|}_S]$ 是 $S$ 在 $M$ 中的 Poincaré 对偶, 则 $f^{\ast }[\eta {|}_S]$ 是 $f^{-1}(S)$ 在 $M^{\prime }$ 中的 Poincaré 对偶.

  根据 Thom 的横截性同伦定理, 任意光滑映射 $f:M^{\prime }\to M$ 光滑同伦于一个横截于 $S$ 的光滑映射 $f^{\prime }:M^{\prime }\to M$. 由于 Thom 类与闭子流形的 Poincaré 对偶是同伦不变量, 所以上述命题中关于 $f$ 的横截性假定其实是多余的.

10平面丛 Thom 类的显示表示

定义 10.1. $\sigma \in {\Omega }^{n-1}(S^{n-1})$ 是 $S^{n-1}$ 生成元的代表元, $p:{\mathbb{R}}^n-0\to S^{n-1}$ 是形变收缩, 则 $\sigma$ 在 $S^{n-1}$ 是正的当且仅当 $dr\wedge p^{\ast }\sigma$ 在 ${\mathbb{R}}^n-0$ 上是正的.

定义 10.2. 设 $\sigma$ 是 $S^{k-1}$ 上正形式且 ${\int }_{S^{k-1}}\sigma =1$, 称 $\psi =p^{\ast }\sigma$ 为 ${\mathbb{R}}^k-0$ 上的角形式. $\rho$ 是 $r\ge 0$ 的函数, 其具紧支集 $\rho (0)=1$, 则 $d\rho ={\rho }^{\prime }(r)dr$ 是 ${\mathbb{R}}^1$ 上的一个积分为 $1$ 的 bump 形式.

  ${\int }_{{\mathbb{R}}^k}d\rho \wedge \psi =1$, 故 $[d\rho \wedge \psi ]$ 是 $H_c^k({\mathbb{R}}^k)$ 的生成元.

定义 10.3. $E^0$ 的一个 $(k-1)$-形式 $\psi$ 称为整体角形式若 $\psi$ 限制在每条纤维 $E_x^0\cong {\mathbb{R}}^k-0$ 上是角形式并且 $d\psi$ 能自然延拓成 $E$ 的一个 $k$-形式.

  若在 $E^0$ 上存在整体角形式 $\psi$, 则 $E$ 的 Thom 类是$$\Phi =d\rho \wedge \psi +\rho d\psi .$$

命题 10.4. 一些公式.

$${\theta }_{\beta }={\theta }_{\alpha }+{\pi }^{\ast }{\phi }_{\alpha \beta },{\phi }_{\alpha \beta }\to \mathbb{R}.$$$${\epsilon }_{\alpha \beta \gamma }=\frac{1}{2\pi }({\phi }_{\beta \gamma }-{\phi }_{\alpha \gamma }+{\phi }_{\alpha \beta }).$$$$\frac{1}{2\pi }d{\phi }_{\alpha \beta }={\xi }_{\beta }{|}_{U_{\alpha \beta }}-{\xi }_{\alpha }{|}_{U_{\alpha \beta }}.$$$$e{|}_{U_{\alpha }}=d{\xi }_{\alpha }\text{是}M\text{上整体定义的}2\text{-形式，Euler类}$$$$r_{\alpha }{e}^{i{\theta }_{\alpha }}=r_{\beta }{e}^{i{\theta }_{\beta }}{\pi }^{\ast }{g}_{\alpha \beta }$$$${\phi }_{\alpha \beta }=-\frac{1}{i}\log g_{\alpha \beta }=i\log g_{\alpha \beta }.$$$$e{|}_{U_{\alpha }}=d{\xi }_{\alpha }=-\frac{1}{2\pi i}\sum _{\gamma }d({\rho }_{\gamma }d\log g_{\gamma \alpha })=\frac{i}{2\pi }\sum _{\gamma }d({\rho }_{\gamma }d\log g_{\gamma \alpha })$$

命题 10.5. 设 $f:N\to M$ 是光滑映射, $\pi :E\to M$ 是秩 $2$ 定向向量丛, 则$$e(f^{-1}E)=f^{\ast }e(E)\in H^2(N).$$

定义 10.6. $$\frac{d{\theta }_{\alpha }}{2\pi }-{\pi }^{\ast }{\xi }_{\alpha }=\frac{d{\theta }_{\beta }}{2\pi }-{\pi }^{\ast }{\xi }_{\beta }.$$定义了 $E^0$ 上一个 $1$-形式 $\psi$, 是整体角形式, 有$$d\psi =-{\pi }^{\ast }e.$$$$\Phi =d\rho (r)\wedge \psi +\rho (r)d\psi =d\rho (r)\wedge \psi -\rho (r){\pi }^{\ast }e$$

命题 10.7. 若 $s$ 是 $E$ 上的零截面, 则$$s^{\ast }\Phi =s^{\ast }(d\rho (r)\wedge \psi -\rho (r){\pi }^{\ast }e=d\rho (0)\wedge s^{\ast }\psi -\rho (0)s^{\ast }{\pi }^{\ast }e=e.$$零截面将 Thom 类拉回 Euler 类.

命题 10.8. 定向平面丛的 Thom 类的显式表示公式. $$\Phi =d\rho (r)\wedge \frac{d{\theta }_{\alpha }}{2\pi }+\frac{1}{2\pi i}d(\rho (r){\pi }^{\ast }\sum _{\gamma }{\rho }_{\gamma }d\log g_{\gamma \alpha }.$$

练习 10.9. 设 $\pi :E\to M$ 是定向平面丛, $\Phi$ 是 $E$ 的 Thom 类. 于是有同构$$\wedge \Phi :H^{\ast }(M)\to H_{cv}^{\ast +2}(E).$$因此 $E$ 上每个紧垂直上同调类是 $\Phi$ 与 $M$ 上一个上同调类的拉回的外积. 求上同调类 $[u]\in H^{\ast }(M)$ 使得$${\Phi }^2=\Phi \wedge {\pi }^{\ast }[u]\in H_{cv}^{\ast }(E).$$

练习 10.10. 复射影空间 $\mathbb{C}{P}^n$, 法丛 $N_{\mathbb{C}{P}^1/\mathbb{C}{P}^2}$, $\mathbb{C}{P}^1$ 在 $\mathbb{C}{P}^2$ 中的法丛的 Euler 类, 万有子丛.

11广义 MV 原理

命题 11.1. 广义 MV 序列$$0\to {\Omega }^{\ast }(M)\stackrel{r}{\to }\prod {\Omega }^{\ast }(U_{{\alpha }_0})\stackrel{\delta }{\to }\prod {\Omega }^{\ast }(U_{{\alpha }_0{\alpha }_1})\stackrel{\delta }{\to }\prod {\Omega }^{\ast }(U_{{\alpha }_0{\alpha }_1{\alpha }_2})\to \cdots$$是正合的; 换句话说, 这个复形的 $\delta$-上同调恒等于零.

定义 11.2. 双复形 $C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })=\underset{p,q\ge 0}{⨁}{C}^p(\mathcal{U},{\Omega }^q)$、微分算子 $D$、Čech 上同调 $H^{\ast }(\mathcal{U},\mathbb{R})$.

命题 11.3. 广义 MV 原理

  $M$ 的 de Rham 上同调可由双复形 $C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })$ 计算. 更准确地说, 限制映射 $r:{\Omega }^{\ast }(M)\to C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })$ 诱导上同调的同构: $$r^{\ast }:H_{dR}^{\ast }(M)\to H_D\{C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })\}.$$

命题 11.4. 若一个增广列的双复形的每一行是正合的, 则复形的 $D$-上同调同构于初始列即增广列的上同调.

命题 11.5. 若 $\mathcal{U}$ 是 $M$ 的好覆盖, 则 $M$ 的 de Rham 上同调同构于好覆盖 $\mathcal{U}$ 的 Čech 上同调 $H_{dR}^{\ast }(M)\cong H^{\ast }(\mathcal{U},\mathbb{R}).$

命题 11.6. 总结  因为复形是广义 MV 序列, 增广行对任意开覆盖是正合的, 于是 $M$ 的 de Rham 上同调 “总是” 同构于双复形的上同调.

  另外若 $\mathcal{U}$ 是好覆盖, 则由 Poincaré 引理知增广列是正合的, 此时覆盖 $\mathcal{U}$ 的 Čech 上同调也同构于双复形的上同调.

  于是, 若 $\mathcal{U}$ 是好覆盖, 则 $M$ 的 de Rham 上同调和 Čech 上同调之间存在同构, 故可以从组合的角度计算 de Rham 上同调.

  赋予三个复形以合适的乘积结构, 可以使得同构是代数同构, 见定理 14.28.

推论 11.7. Čech 上同调 $H^{\ast }(\mathcal{U},\mathbb{R})$ 与好覆盖 $\mathcal{U}$ 的选取无关.

推论 11.8. 若 $M$ 有一个有限好覆盖 (如紧流形) , 则其 Čech 上同调是有限维的, 故 de Rham 上同调是有限维的.

注 11.9. 此处关于 de Rham 上同调的维数有限性的证明与第 5 节的归纳证明都依赖于 MV 序列, 但它们是彼此独立的.

12显式同构

例 12.1. $H_{dR}^2(M)\cong H^2(\mathcal{U},\mathbb{R})$.

引理 12.2. $$\delta (D^{\prime \prime }K{)}^i=(D^{\prime \prime }K{)}^i\delta -(D^{\prime \prime }K{)}^{i-1}{D}^{\prime \prime }.$$

命题 12.3. de Rham 与 Čech 之间的显式同构

  若 $\eta \in C^n(\mathcal{U},\mathbb{R})$, $\delta \eta =0$, 则对应 $\eta$ 的整体闭 $n$-形式为$$(-1{)}^n(D^{\prime \prime }K{)}^n\eta .$$

命题 12.4. Collating 公式

  给定一个 $n$-上链$$\alpha =\sum _{i=0}^n{\alpha }_i,{\alpha }_i\in C^i(\mathcal{U},{\Omega }^{n-i}),$$对每个 ${\alpha }_i$ 定义$$f({\alpha }_i)=(1-K\delta )(-D^{\prime \prime }K{)}^i{\alpha }_i\in C^0(\mathcal{U},{\Omega }^n).$$

  因为 $1-K\delta =\delta K$, 所以 $\delta f({\alpha }_i)=0$, 即 $f(\alpha )=\sum _{i=0}^{n}f({\alpha }_i)$ 是整体定义的 $n$-形式.

  记 $D\alpha =\beta =\sum _{i=0}^{n+1}{\beta }_i$, 则$$f(\alpha )=\sum _{i=0}^n(-D^{\prime \prime }K{)}^i{\alpha }_i-\sum _{i=0}^{n+1}(-D^{\prime \prime }K{)}^{i-1}{\beta }_i.$$  $f$ 是链映射, 且 $f\circ r=id$.

  满足 $1-r\circ f=DL+LD$ 的同伦算子$$L:C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })\to C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })$$定义如下: 对 $n$-上链 $\alpha =\sum _{i=0}^n{\alpha }_i$, $$L\alpha =\sum _{p=0}^{n-1}(L\alpha {)}_p,$$$$(L\alpha {)}_p=\sum _{i=p+1}^{n}K(-D^{\prime \prime }K{)}^{i-(p+1)}{\alpha }_i\in C^p(\mathcal{U},{\Omega }^{n-1-p}).$$

练习 12.5. 实射影空间 $\mathbb{R}{P}^2$、环面 $T^2$.

13Čech 上同调

定义 13.1. 预层、开覆盖的 Čech 上同调、有向极限、拓扑空间的 Čech 上同调.

例 13.2. 设 $\pi :E\to M$ 是以 $F$ 为纤维的纤维丛. 在 $M$ 上定义预层 ${\mathcal{H}}^q$ 如下:   (a) 对 $M$ 的任意开集 $U$, 令 ${\mathcal{H}}^q(U)=H^q({\pi }^{-1}(U))$;

  (b) 对 $M$ 的任意开集的包含 $V\subset U$, 限制  对可缩的开集 $U$, ${\pi }^{-1}(U)\cong U\times F$, 所以由 Künneth 公式知$${\mathcal{H}}^q(U)=H^q({\pi }^{-1}(U))\cong H^q(F).$$此外, 若 $V\subset U$ 是可缩开集的包含, 则 ${\rho }_V^U:{\mathcal{H}}^q(U)\to {\mathcal{H}}^q(V)$ 是同构.

  预层 ${\mathcal{H}}^q$ 是好覆盖上局部常值预层的一个例子. 好覆盖上局部常值预层在纤维化的谱序列中具有基本的重要性.

引理 13.3. 给定开覆盖 $\mathcal{U}=\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$ 与它的加细 $\mathcal{V}=\{V_{\beta }{\}}_{\beta \in J}$, 若 $\phi ,\psi :J\to I$ 是两个加细映射, 则 ${\phi }^{\#}$ 与 ${\psi }^{\#}$ 链同伦.

  构造链同伦算子 $K:C^q(\mathcal{U},\mathcal{F})\to C^{q-1}(\mathcal{V},\mathcal{F})$ 为$$(K\omega {)}_{{\beta }_0\cdots {\beta }_{q-1}}=\sum _{i=0}^{q-1}(-1{)}^i{\omega }_{\phi ({\beta }_0)\cdots \phi ({\beta }_i)\psi ({\beta }_i)\cdots \psi ({\beta }_{q-1})}.$$有 ${\psi }^{\#}-{\phi }^{\#}=\delta K+K\delta$.

命题 13.4. 给定开覆盖 $\mathcal{U}=\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$ 与它的加细 $\mathcal{V}=\{V_{\beta }{\}}_{\beta \in J}$, 若 $\phi :J\to I$ 是加细映射. 则 $\phi$ 诱导了同态$${\phi }^{\#}:H^q(\mathcal{U},\mathcal{F})\to H^q(\mathcal{V},\mathcal{F}),$$并且这个同态与加细映射 $\phi$ 的选取无关.

定义 13.5. 有向集、群的有向系、有向极限、拓扑空间 $X$ 取值于预层 $\mathcal{F}$ 的 Čech 上同调 $H^{\ast }(X,\mathcal{F})$.

命题 13.6. 设 $\mathbb{R}$ 是流形 $M$ 上常值预层. $M$ 的取值于 $\mathbb{R}$ 的 Čech 上同调同构于 $M$ 的 de Rham 上同调$$H^{\ast }(M,\mathbb{R})\cong H_{dR}^{\ast }(M).$$  同构与好覆盖的加细相容, 即下列图表是可交换的: 故$$H^{\ast }(M,\mathbb{R})=\underset{c.g.c.\mathcal{U}}{\lim }{H}^{\ast }(\mathcal{U},\mathbb{R})\cong H_{dR}^{\ast }(M).$$

练习 13.7. Twiseted 系数的上同调.

14球面丛和 Euler 类

定义 14.1. 可定向的

  设 $\pi :E\to M$ 是 $n$ 维球面丛, $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$ 是 $M$ 的好覆盖. 若对任意的 $\alpha \in I$, 存在 $H^n(E{|}_{U_{\alpha }}$ 的生成元 $[{\sigma }_{\alpha }]$ 使得$$[{\sigma }_{\alpha }]{|}_{E{|}_{U_{\alpha \beta }}}=[{\sigma }_{\beta }]{|}_{E{|}_{U_{\alpha \beta }}},$$则称 $E$ 是可定向的.

  它等价于对每条纤维 $E_x$, 可选取 $H^n(E_x)$ 的生成元 $[{\sigma }_x]$ 满足以下的局部相容性条件: $M$ 的每点有一个邻域 $U$ 与 $H^n(E{|}_U)$ 的一个生成元 $[{\sigma }_U]$ 使得对任意的 $x\in U$, $[{\sigma }_U]{|}_{E_x}=[{\sigma }_x]$. 等价于$${\sigma }_{\alpha }{|}_{E{|}_{U_{\alpha \beta }}}-{\sigma }_{\beta }{|}_{E{|}_{U_{\alpha \beta }}}=d{\sigma }_{\alpha \beta },{\sigma }_{\alpha \beta }\in {\Omega }^{n-1}(E{|}_{U_{\alpha \beta }}).$$

命题 14.2. 向量丛 $E$ 是可定向的当且仅当它的球面丛 $S(E)$ 是可定向的.

注 14.3. 因为 $SO(1)=\{1\}$, 连通流形 $M$ 上线丛 $\pi :L\to M$ 是可定向的当且仅当它是平凡的. 此时球面丛 $S(L)$ 有两个连通分支.

命题 14.4. 向量丛 $E$ 是可定向的当且仅当它的行列式丛 $\det E$ 是可定向的.

命题 14.5. 每个单连通流形上向量丛是可定向的.

  不论 $E$ 是否可定向, $0$-球面丛 $S(\det E)$ 是 $M$ 的二重覆盖, 而单连通流形不可能有重数大于 $1$ 的连通覆盖空间.

  单连通流形的切丛可定向, 进而单连通流形可定向.

定义 14.6. Euler 类

  设 $\pi :E\to M$ 是可定向的 $S^n$-丛, $\mathcal{U}=\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$ 是 $M$ 的好覆盖. $E$ 可定向则给出了一个 $0$-上链 ${\sigma }^{0,n}=({\sigma }_{\alpha },{\sigma }_{\beta },\cdots )\in C^0({\pi }^{-1}\mathcal{U},{\Omega }^n)$ 及 ${\sigma }^{1,n-1}=({\sigma }_{\alpha \beta },\cdots )\in C^1({\pi }^{-1}\mathcal{U},{\Omega }^{n-1})$ 使得$$\delta {\sigma }^{0,n}+D^{\prime \prime }{\sigma }^{1,n-1}=0.$$  扩张成 $D$-上闭链, 得到 $\sigma ={\sigma }^{0,n}+{\sigma }^{1,n-1}+\cdots +{\sigma }^{n,0}$ 使得$$D\sigma =\delta {\sigma }^{n,0}.$$因为$$d(\delta {\sigma }^{n,0})=\delta d{\sigma }^{n,0}=\pm {\delta }^2{\sigma }^{n-1,1}=0,$$即 $\delta {\sigma }^{n,0}$ 是局部常值函数, 所以$$D\sigma =\delta {\sigma }^{n,0}=i(-\epsilon )$$对某个$$\epsilon \in C^{n+1}({\pi }^{-1}\mathcal{U},\mathbb{R})\cong C^{n+1}(\mathcal{U},\mathbb{R}),$$其中 $i:C^{n+1}({\pi }^{-1}\mathcal{U},\mathbb{R})\to C^{n+1}({\pi }^{-1}\mathcal{U},{\Omega }^0)$ 是包含映射.

  显然 $\delta \epsilon =0$, 故 $[\epsilon ]\in H^{n+1}(\mathcal{U},\mathbb{R})$. 因为 $\mathcal{U}$ 是好覆盖, 可从 Čech 上同调类 $[\epsilon ]$ 对应得到 de Rham 上同调类 $e(E)$, 称为相对于定向 ${\sigma }^{0,n}$ 的 Euler 类.

命题 14.7. 良定性: Euler 类定义与 ${\sigma }^{j,n-j}$ 的选取无关、与好覆盖的选取无关.

命题 14.8. 若球面丛 $E$ 是可定向的且它的 Euler 类为零, 则 $E$ 上有一个闭形式使得它限制到每条纤维是生成元.

命题 14.9. 具有截面的定向球面丛 $E$ 的 Euler 类为零. 该命题的逆不成立.

练习 14.10. 研究此处平面丛 Euler 类的定义和第 6 节中的定义的关系.

定义 14.11. 设 $\pi :E\to M$ 是定向 $S^n$-丛, 整体角形式 $\psi \in {\Omega }^n(E)$ 使得

  (a) $[\psi {|}_{E_x}\in H^n(E_x)$ 是生成元;

  (b) $d\psi =-{\pi }^{\ast }e$, 其中 $e$ 是 Euler 类.

命题 14.12. 由 collating 公式, $$e=(-1{)}^{n+1}(D^{\prime \prime }K{)}^{n+1}\epsilon .$$令 $\alpha ={\alpha }_0+\cdots +{\alpha }_n$, 其中 ${\alpha }_i={\sigma }^{i,n-i}$. 则 $D\alpha =-{\pi }^{\ast }\epsilon$. 由 collating 公式$$\psi =f(\alpha )=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(D^{\prime \prime }K{)}^i{\alpha }_i+(-1{)}^{n+1}K(D^{\prime \prime }K{)}^n(-{\pi }^{\ast }\epsilon )$$是 $E$ 上整体定义的 $n$-形式, 并且 $d\psi =-{\pi }^{\ast }e$. 球面丛 $E$ 上整体 $n$-形式 $\psi$ 满足前面的性质, 被称为球面丛 $E$ 上的整体角形式.

注 14.13. 由以上命题, 可以将 $e$ 的支集限制在 $\cup U_{{\alpha }_0\cdots {\alpha }_n}$ 中.

练习 14.14. 应用整体角形式 $\psi$ 的存在性证明命题 14.9(书 11.9).

15Hopf 指标定理

定义 15.1. 假定 $M$ 是紧定向 $n$ 维流形, $\pi :E\to M$ 是定向 $S^{n-1}$-丛, 且 $E$ 的结构群可约化到 $O(n)$, 也就是说它是某个秩 $n$ 定向向量丛的球面丛.

  由于 $e(E)\in H^n(M)\cong \mathbb{R}$, 故 $e(E)$ 与 $E$ 的 Euler 数 ${\int }_{M}e(E)$ 等同, 它依赖于 $E$ 与 $M$ 的定向的选取.

  定义 $M$ 的 Euler 数为 ${\int }_{M}e(TM)$, 它与 $M$ 的选取无关, 因为若改变 $M$ 的定向, 单位切丛 $S(TM)$ 的定向也改变.

命题 15.2. 设 $\pi :E\to M$ 是 $n$ 维紧流形 $M$ 上 $S^{n-1}$-丛. 假定 $E$ 的结构群可约化到 $O(n)$, 则 $E$ 限制在 $M-\{x_1,\cdots ,x_q\}$ 上有截面, 其中 $x_1,\cdots ,x_q$ 是 $M$ 的某些点.

定理 15.3. 横截性定理

  设 $X$ 是紧流形, $Z$ 是流形 $Y$ 的闭子流形, $f^{\prime }:X\to Y$ 是光滑映射. 则存在 $f^{\prime }$ 的充分小扰动 $f:X\to Y$ 使得 $f$ 与 $Z$ 横截, 即对任意点 $x\in f^{-1}(Z)$, $$f_{\ast }(T_{x}X)+T_{f(x)}Z=T_{f(x)}Y.$$

定理 15.4. 设 $\pi :E\to M$ 是 $n$ 维紧定向流形 $M$ 上的定向 $S^{n-1}$-丛. 若 $E$ 限制在 $M-\{x_1,\cdots ,x_q\}$ 上有截面 $s$, 则 $E$ 的 Euler 数$${\int }_{M}e(E)=\sum _{i=1}^{q}l.d.(x_i),$$其中 $l.d.(x_i)$ 表示截面 $s$ 在点 $x_i$ 的局部度数.

定理 15.5. 设 $\pi :E\to M$ 是 $n$ 维紧定向流形 $M$ 上的秩 $n$ 定向向量丛. 设 $s$ 是 $E$ 的具有限多零点的截面, 则 $E$ 的 Euler 类 Poincaré 对偶于 $s$ 的零点的形式线性组合, 组合系数为零点的重数.

例 15.6. $S^2$ 的单位切丛的 Euler 类.

练习 15.7. 证明偶数维纤维的定向球面丛的 Euler 类为零.

命题 15.8. 由上一练习及 Leray-Hirsch 定理, 有若 $\pi :E\to M$ 是定向 $S^{2n}$-丛, 则$$H^{\ast }(E)=H^{\ast }(M)\otimes H^{\ast }(S^{2n}).$$

练习 15.9. 在球面 $S^n$ 上找一个向量场并计算它的局部度数, 从而计算球面 $S^n$ 的单位切丛的 Euler 类.

命题 15.10. 设 $M$ 是紧定向 $n$ 维流形, 则 $M$ 的 Euler 数 ${\int }_{M}e(TM)$ 等于它的 Euler 示性数$$\chi (M)=\sum _{q=0}^n(-1{)}^q\dim H^q(M).$$

定义 15.11. 设 $\{[{\omega }_i]\}$ 是向量空间 $H^{\ast }(M)$ 的一组基, $\{[{\tau }_j]\}$ 是在 Poincaré 对偶下的对偶基, 即$${\int }_M{\omega }_i\wedge {\tau }_j={\delta }_{ij}.$$  设 $\pi ,\rho :M\times M\to M$ 分别是两个投射. 由 Künneth 公式得$$H^{\ast }(M\times m)=H^{\ast }(M)\otimes H^{\ast }(M).$$它的一组基为 $\{{\pi }^{\ast }{\omega }_i\wedge {\rho }^{\ast }{\tau }_j\}$.

  对角流形 $\Delta =\{(x,x)\in M\times M\mid x\in M\}$, 对角映射 $\iota :M\to \Delta$. 作为 $M\times M$ 的子流形, $\Delta$ 的 Poincaré 对偶 ${\eta }_{\Delta }$ 可表示为线性组合$${\eta }_{\Delta }=\sum _{i,j}{c}_{ij}{\pi }^{\ast }{\omega }_i\wedge {\rho }^{\ast }{\tau }_j.$$

  自相交数$${\int }_{M\times M}{\eta }_{\Delta }\wedge {\eta }_{\Delta }.$$

引理 15.12. ${\eta }_{\Delta }=\sum (-1{)}^{\mathrm{deg}{\omega }_i}{\pi }^{\ast }{\omega }_i\wedge {\rho }^{\ast }{\tau }_i$.

引理 15.13. $N_{\Delta /M\times M}\cong {\iota }^{-1}T\Delta$.

证明.

证明. 因为对角映射 $\iota :M\to \Delta$ 是微分同胚, 所以 ${\iota }^{-1}T\Delta \cong TM$. 于是从交换图得到$$N_{\Delta /M\times M}\cong TM\oplus TM/TM\cong TM\cong {\iota }^{-1}T\Delta .$$

$\square$

命题 15.14. 对紧定向流形 $M$, ${\int }_{M}e(TM)=\chi (M)$.

命题 15.15. Hopf 指标定理

  紧定向流形 $M$ 上光滑向量场的指标和等于 $M$ 的 Euler 示性数.

练习 15.16. Lefschetz 不动点公式.

  设 $M$ 是紧定向 $n$ 维流形, $f:M\to M$ 是光滑映射. $f$ 的 Lefschetz 数定义为$$L(f)=\sum q(-1{)}^{q}trace{H}^q(f),$$其中 $H^q(f):H^q(M)\to H^q(M)$ 是由 $f$ 诱导的映射. 设 $\Gamma =\{(x,f(x))\mid x\in M\}$ 是 $f$ 在 $M\times M$ 的图.

(a)	证明 ${\int }_{\delta }{\eta }_{\Gamma }=L(f)$
(b)	证明若 $f$ 没有不动点, 则 $L(f)$ 为零.
(c)	$f$ 在不动点 $p$ 的切映射 $f_{\ast p}$ 是切空间 $T_{p}M$ 的自同态. 不动点 $O$ 的重数定义为$${\sigma }_p=sgn\det (I-f_{\ast p}).$$证明若图 $\Gamma$ 横截于 $M\times M$ 中对角流形 $\Delta$, 则 $L(f)=\sum _p{\sigma }_p$, 此处是对 $f$ 的所有不动点 $p$ 求和.

证明.

证明.

(a)	定义 $\tilde{f}:M\to M\times M,x\mapsto (x,f(x))$, 则 $\tilde{f}(M)=\Gamma$ 且 $\pi \circ \tilde{f}=id,\rho \circ \tilde{f}=f$. $${\int }_{\Delta }{\eta }_{\Gamma }={\int }_{M\times M}{\eta }_{\Gamma }\wedge {\eta }_{\Delta }=(-1{)}^n{\int }_{M\times M}{\eta }_{\Delta }\wedge {\eta }_{\Gamma }=(-1{)}^n{\int }_{\Gamma }{\eta }_{\Delta }=(-1{)}^n{\int }_M{\tilde{f}}^{\ast }{\eta }_{\Delta }.$$而$$\begin{array}{rl}(-1{)}^n{\int }_M{\tilde{f}}^{\ast }{\eta }_{\Delta }& =(-1{)}^n\sum (-1{)}^{\mathrm{deg}{\omega }_i}{\int }_M{\tilde{f}}^{\ast }({\pi }^{\ast }{\omega }_i\wedge {\rho }^{\ast }{\tau }_i)\\ & =(-1{)}^n\sum (-1{)}^{\mathrm{deg}{\omega }_i}{\int }_M{\omega }_i\wedge f^{\ast }{\tau }_i.\end{array}$$固定 $\mathrm{deg}{\omega }_i=q$, 则$$\begin{array}{rl}(-1{)}^n\sum _{\mathrm{deg}{\omega }_i=q}(-1{)}^q{\int }_M{\wedge }_i\wedge f^{\ast }{\tau }_i& =\sum _{{\omega }_i}(-1{)}^{n-q}{\int }_M{\omega }_i\wedge f^{\ast }{\tau }_i\\ & =\sum _{\mathrm{deg}{\tau }_i=n-q}(-1{)}^{n-q}{\int }_M{\omega }_i\wedge f^{\ast }{\tau }_i\\ & =(-1{)}^{n-q}trace{H}^{n-q}(f).\end{array}$$对 $q$ 求和, 即得所求式.
(b)	若 $f$ 无不动点, 则 $\Delta$ 与 $\Gamma$ 不交, 可以取适当的 ${\eta }_{\Gamma }$ 使得 $(supp{\eta }_{\Gamma })\cap \Delta =\varnothing$, 故积分为 $0$.
(c)	1. 横截保证不动点离散, 进而有限.   $\dim \Delta =\dim \Gamma =n$, $\dim (M\times M)=2n$ 推出 $\dim (\Delta \cap \Gamma )=0$, 故离散. 而 $M\times M$ 紧致, 故有限. 2. 在不动点 $p$ 附近, 取 ${\eta }_{\Delta },{\eta }_{\Gamma }$ 分别在 $\Delta$ 和 $\Gamma$ 的管状邻域的 fiber 上足够小, 使得 $supp{\eta }_{\Delta }\cap supp{\eta }_{\Gamma }\subset {\bigsqcup }_p{U}_p$. 由 (a), $$\begin{array}{rl}L(f)={\int }_{\Delta }{\eta }_{\Gamma }& =(-1{)}^n{\int }_{\Gamma }{\eta }_{\Delta }\\ & =(-1{)}^n\sum _p{\int }_{U_p\cap \Gamma }{\eta }_{\Delta }\\ & =(-1{)}^n\sum _p{\int }_{\widetilde{U_p}}{\tilde{f}}^{\ast }{\eta }_{\Delta }\\ & =(-1{)}^n\sum _p{\int }_{\widetilde{U_p}}\sum (-1{)}^{\mathrm{deg}{\omega }_i}{\omega }_i\wedge f^{\ast }{\tau }_i,\end{array}$$其中 $\tilde{f}(\widetilde{U_p})=U_p\cap \Gamma$. 由 ${\eta }_{\Delta },{\eta }_{\Gamma }$ 的定义知, 该积分在每个 $U_p$ 上积分为 $\pm 1$, 故我们只在意符号. 3. 最后我们证明 $(-1{)}^n\sum _p{\int }_{\widetilde{U_p}}\sum (-1{)}^{\mathrm{deg}{\omega }_i}{\omega }_i\wedge f^{\ast }{\tau }_i=sgn\det (I-f_{\ast p})$.   不妨设 $M$ 的体积为 $1$(这是为了使 ${\tau }_i=\ast \omega$.). 在 $p$ 点附近取标准正交标架场 $\{e_i\}$, 取 $\{{\omega }^i\}$ 是其对偶余切标架场. 则对于 $\omega ={\omega }^{i_1}\wedge \cdots \wedge {\omega }^{i_q}$, 有 $\tau =\ast \omega =sgnI{\omega }^{i_{q+1}}\wedge \cdots \wedge {\omega }^{i_n}$, 其中 $i_1<\cdots <i_q$, $i_{q+1}<\cdots <i_n$ 且 $i_1,\cdots ,i_n$ 是 $1,\cdots ,n$ 的置换, 用 $sgnI$ 表示其奇偶性. 设 $f^{\ast }{\omega }^i=a_j^i{\omega }^j$, $A=\{a_j^i\}$. $$\begin{array}{rl}(-1{)}^n\sum _p{\int }_{\widetilde{U_p}}\sum (-1{)}^{\mathrm{deg}{\omega }_i}{\omega }_i\wedge f^{\ast }{\tau }_i& =(-1{)}^n{\int }_{\widetilde{U_p}}\sum _{q=0}^n(-1{)}^q\sum _{i_1<\cdots <i_q}{\omega }^{i_1}\wedge \cdots \wedge {\omega }^{i_q}\wedge f^{\ast }(sgnI{\omega }^{i_{q+1}}\wedge \cdots \wedge {\omega }^{i_n})\\ & =(-1{)}^n{\int }_{\widetilde{U_p}}\sum _{q=0}^n(-1{)}^q\sum _{i_1<\cdots <i_q}(sgnI){\omega }^{i_1}\wedge \cdots \wedge {\omega }^{i_q}\wedge (a_{{\sigma }_{q+1}}^{i_{q+1}}{\omega }^{{\sigma }_{q+1}}\wedge \cdots \wedge a_{{\sigma }_n}^{i_n}{\omega }^{{\sigma }_n})\\ & =(-1{)}^n{\int }_{\widetilde{U_p}}\sum _{q=0}^n(-1{)}^q\sum _{i_1<\cdots <i_q}(sgnI){\omega }^{i_1}\wedge \cdots \wedge {\omega }^{i_q}\wedge {\omega }^{{\sigma }_{q+1}}\wedge \cdots \wedge {\omega }^{{\sigma }_n}(a_{{\sigma }_{q+1}}^{i_{q+1}}\cdots a_{{\sigma }_n}^{i_n})\\ & =(-1{)}^n{\int }_{\widetilde{U_p}}\sum _{q=0}^n(-1{)}^q\sum _{i_1<\cdots <i_q}(sgnI)(sgn(I,\sigma )){\omega }^{i_1}\wedge \cdots \wedge {\omega }^{i_n}(a_{{\sigma }_{q+1}}^{i_{q+1}}\cdots a_{{\sigma }_n}^{i_n})\\ & =(-1{)}^n{\int }_{\widetilde{U_p}}\sum _{q=0}^n(-1{)}^q\sum _{i_1<\cdots <i_q}sgn(I,\sigma )(a_{{\sigma }_{q+1}}^{i_{q+1}}\cdots a_{{\sigma }_n}^{i_n}){\omega }^1\wedge \cdots \wedge {\omega }^n.\end{array}$$其中 $sgn(I,\sigma )$ 表示从 $i_{q+1},\cdots ,i_n$ 到 ${\sigma }_{q+1},\cdots ,{\sigma }_n$ 置换的奇偶. 故符号为$$\begin{array}{rl}(-1{)}^n{\int }_{\widetilde{U_p}}\sum _{q=0}^n(-1{)}^q\sum _{i_1<\cdots <i_q}sgn(I,\sigma )(a_{{\sigma }_{q+1}}^{i_{q+1}}\cdots a_{{\sigma }_n}^{i_n})& =(-1{)}^n{\int }_{\widetilde{U_p}}\sum _{q=0}^n(-1{)}^q\sum _{i_1<\cdots <i_q}\det A_{i_{q+1}\cdots i_n}\\ & =(-1{)}^n\sum _{q=0}^n(-1{)}^q{\sigma }_{n-q}(A)\\ & =\sum _{q=0}^n(-1{)}^q{\sigma }_q(A)\\ & =\det (I-A)=\det (I-f_{\ast p}),\end{array}$$其中 $A_{i_{q+1},\cdots ,i_n}$ 表示 $A$ 中由第 $i_{q+1},\cdots ,i_n$ 行列构成的方阵, ${\sigma }_q$ 是矩阵的 $q$ 阶不变多项式, 满足 $\det (I-A)=1-{\sigma }_1(A)\pm \cdots +(-1{)}^n{\sigma }_n(A)$.

$\square$

16再论 Poincaré 对偶

  这节从 tic-tac-toe 的观点研究 Thom 同构与 Poincaré 对偶, 从以下两个方面推广第 5 节和第 6 节的结果:

  (a) 流形 $M$ 不必有有限好覆盖;

  (b) 去掉了向量丛 $E$ 的可定向性假定.

命题 16.1. 给定双复形 $\{K^{\ast ,\ast },d,\delta \}$, 若 $H_{\delta }^{p,q}{H}_d^q$ 仅有一行可能不为 $0$, 则$$\underset{p+q=n}{⨁}{H}_{\delta }^{p,q}{H}_d^q\cong H_D^n.$$这是一个退化谱序列的例子, 它在第二页退化.

命题 16.2. 应用该命题, 考虑 $H_d{H}_{\delta }$, 可以很快证明$$H_D^{\ast }\{C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })\}\cong H_{dR}^{\ast }(M).$$

命题 16.3. 若 $\mathcal{U}$ 是好覆盖, 考虑 $H_{\delta }{H}_d$, 可得$$H_D^{\ast }\{C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })\}\cong H^{\ast }(\mathcal{U},\mathbb{R}).$$此时有$$H_{dR}^{\ast }(M)\cong H^{\ast }(\mathcal{U},\mathbb{R}).$$

命题 16.4. 对紧支集的广义 MV 序列

  设 $M$ 是 $n$ 维流形, $\mathcal{U}=\{U_{\alpha }\}$ 是 $M$ 的开覆盖. 定义上边缘算子$$\begin{array}{rl}\delta :\oplus {\Omega }_c^{\ast }(U_{{\alpha }_0\cdots {\alpha }_p})& \to \oplus {\Omega }_c^{\ast }(U_{{\alpha }_0\cdots {\alpha }_{p-1}}),\\ (\delta \omega {)}_{{\alpha }_0\cdots {\alpha }_{p-1}}& =\sum _{\alpha }{\omega }_{\alpha {\alpha }_0\cdots {\alpha }_{p-1}}.\end{array}$$  假定开覆盖 $\mathcal{U}$ 满足局部有限条件: $$\text{每个开集}{U}_{\alpha }\text{仅与有限多个}{U}_{\beta }\text{相交}.$$则序列$$0\leftarrow {\Omega }_c^{\ast }(M)\stackrel{\text{sum}}{\leftarrow }\oplus {\Omega }_c^{\ast }(U_{{\alpha }_0})\stackrel{\delta }{\leftarrow }\oplus {\Omega }_c^{\ast }(U_{{\alpha }_0{\alpha }_1})\stackrel{\delta }{\leftarrow }\cdots$$是正合的.

练习 16.5. 若对 $\omega \in \oplus {\Omega }_c^{\ast }(U_{{\alpha }_0\cdots {\alpha }_p})$, 定义$$(K\omega {)}_{{\alpha }_0\cdots {\alpha }_{p-1}}=\sum _{i=0}^{p+1}(-1{)}^i{\rho }_{{\alpha }_i}{\omega }_{{\alpha }_0\cdots \widehat{{\alpha }_i}\cdots {\alpha }_{p+1}},$$则$$\delta K+K\delta =1.$$

命题 16.6. 考虑双复形 $C^p(\mathcal{U},{\Omega }_c^q)$, 其中 $\mathcal{U}$ 满足局部有限条件, 则 $H_d{H}_{\delta }$ 仅有一列非零, 故$$H_D(K)=H_d{H}_{\delta }(K)=H_c(M).$$另一方面, $H_d^{-p,q}(K)=C^p(\mathcal{U},{\mathcal{H}}_c^q)$, 故 $H_{\delta }{H}_d$ 只有第 $n$ 行不为零, 故$$H_D^{\ast }(K)=H_{\delta }^{\ast -n,n}{H}_d=H_{n-\ast }(\mathcal{U},{\mathcal{H}}_c^n).$$

定理 16.7. Poincaré 对偶

  设 $M$ 是 $n$ 为流形, $\mathcal{U}$ 是 $M$ 的好覆盖且满足局部有限条件, 此处不需假定 $M$ 是可定向的. 有$$H_c^{\ast }(M)\cong H_{n-\ast }(\mathcal{U},{\mathcal{H}}_c^n),$$其中 ${\mathcal{H}}_c^n$ 是协变函子 ${\mathcal{H}}_c^n(U)=H_c^n(U)$.

命题 16.8. 应用 Poincaré 对偶计算开 Möbius 带的紧上同调.

17再论 Thom 同构

定理 17.1. Thom 同构

  设 $\pi :E\to M$ 是 $M$ 上秩 $n$ 向量丛, $\mathcal{U}$ 是 $M$ 的好覆盖. 则$$H_{cv}^{\ast }(E)\cong H_{\delta }^{\ast -n}(\mathcal{U},{\mathcal{H}}_{cv}^n),$$其中 ${\mathcal{H}}_{cv}^n$ 是 $M$ 上的预层: ${\mathcal{H}}_{cv}^n(U)=H_{cv}^n(E{|}_U)$.

  考虑双复形 $C^p({\pi }^{-1}\mathcal{U},{\Omega }_{cv}^q)$ 与增广双复形 $0\to {\Omega }_{cv}^{\ast }(E)\to C^{\ast }({\pi }^{-1}\mathcal{U},{\Omega }_{cv}^{\ast })$.

  应用从属于 $\mathcal{U}$ 的单位分解, 可证这个增广双复形的每个增广行是正合的, 因此增广列的上同调同构于双复形形成的 $D$-上同调, 即$$H_{cv}^{\ast }(E)\cong H_D\{C^{\ast }({\pi }^{-1}\mathcal{U},{\Omega }_{cv}^{\ast })\}.$$  另一方面, 第 $p$ 列的紧垂直 $d$-上同调士$$H_d^p\{C^p({\pi }^{-1}\mathcal{U},{\Omega }_{cv}^q)\}=C^p(\mathcal{U},{\mathcal{H}}_{cv}^q).$$于是有开覆盖 $\mathcal{U}$ 的取值于预层 ${\mathcal{H}}_{cv}^q$ 的 Čech 上同调: $$H_{\delta }^p(\mathcal{U},{\mathcal{H}}_{cv}^q)=H_{\delta }^p\{C^{\ast }(\mathcal{U},{\mathcal{H}}_{cv}^q)\}=H_{\delta }^{p,q}{H}_d^q.$$  $H_{\delta }^{p,q}{H}_d^q$ 仅有一行即第 $n$ 行不为零, 于是$$H_D^{\ast }\{C^{\ast }({\pi }^{-1}\mathcal{U},{\Omega }_{cv}^{\ast })\}=\underset{p+q=\ast }{⨁}{H}_{\delta }^p(\mathcal{U},{\mathcal{H}}_{cv}^q)=H_{\delta }^{\ast -n}(\mathcal{U},{\mathcal{H}}_{cv}^n).$$

引理 17.2. 若 $E$ 是可定向的, 则 ${\mathcal{H}}_{cv}^n$ 是好覆盖 $\mathcal{U}$ 上常值预层 $\mathbb{R}$.

命题 17.3. 对秩 $n$ 定向向量丛 $E$, $$H_{cv}^{\ast }(E)\cong H_{\delta }^{\ast -n}(\mathcal{U},{\mathcal{H}}_{cv}^n)\cong H_{\delta }^{\ast -n}(\mathcal{U},\mathbb{R})\cong H^{\ast -n}(M).$$特别当 $M$ 单连通时, $\pi :E\to M$ 总是可定向的, 所以上述同构成立.

练习 17.4. 应用 Thom 同构计算开 Möbius 带的紧上同调.

命题 17.5. 定向向量丛 $E$ 的 Thom 类是$$\Phi =d\rho \wedge {\rho }^{\ast }\psi -\rho \cdot {\pi }^{\ast }e\in {\Omega }_{cv}^k(E)$$的上同调类.

注 17.6. 由此可知, 当 $\rho (r)$ 的支集充分靠近零时, Thom 类 $\Phi$ 的支集可任意靠近向量丛的零截面.

命题 17.7. 定向向量丛的零截面把 Thom 类拉回 Euler 类.

  事实上, 任意截面都把 Thom 类拉回 Euler 类.

定理 17.8. Euler 类的 Whitney 积公式

  若 $E$ 与 $F$ 是两个定向向量丛, 则$$e(E\oplus F)=e(E)\wedge e(F).$$

练习 17.9. 设 $\pi :E\to M$ 是定向向量丛.

  (a) 证明等式 ${\pi }^{\ast }e=\Phi$ 作为 $H^{\ast }(E)$ 中的上同调类成立, 但作为 $H_{cv}^{\ast }(E)$ 中的上同调类不成立.

  (b) 证明在 $H_{cv}^{\ast }(E)$ 中 $\Phi \wedge \Phi =\Phi \wedge {\pi }^{\ast }e$.

练习 17.10. 紧定向流形 $M$ 上秩 $k$ 定向向量丛 $E$ 的 Euler 类 $e(E)=0$ 当且仅当自然映射 $H_c^k(E)\to H^k(E)$ 是零映射.

定义 17.11. 设 $\pi :E\to M$ 是 $n$ 维流 $M$ 上秩 $r$ 向量丛. $E$ 的截面 $s$ 是横截的若像 $S=s(M)$ 与零截面的像 $S_0$ 作为 $E$ 的子流形是横截相交的, 即

  (a) $S\cap S_0$ 是 $S$ 与 $S_0$ 的闭子流形;

  (b) $TS{|}_{S\cap S_0}+TS{|}_{S\cap S_0}=TE{|}_{S\cap S_0}$.   横截截面的零点轨迹 $Z=\{x\in M\mid s(x)=0\}=s^{-1}(S\cap S_0)$ 是 $M$ 的 $(n-r)$ 维闭子流形.

  我们要把定向向量丛 $E$ 的 Euler 类解释为 $Z$ 的 Poincaré 对偶, 其 (1) 对秩没有要求, (2) 假定截面是横截的.

命题 17.12. $Z$ 是 $M$ 的闭子流形且它的法丛$$N_{Z/M}\cong E{|}_Z.$$有典则分解$$TE{|}_{S_0}\cong (s_0^{-1}{)}^{-1}E\oplus T{S}_0.$$若 $E$ 与 $M$ 是定向的, 则横截截面的零点轨迹 $Z$ 有一个自然定向使得 $TM{|}_Z\cong E{|}_Z\oplus TZ$ 有直和定向.

命题 17.13. 设 $\pi :E\to M$ 是定向流形 $M$ 上的定向向量丛. 则 $E$ 的 Euler 类 $e(E)$ 是横截截面的零点轨迹作为 $M$ 的子流形的 Poincaré 对偶.

18单纯复形的理论

定义 18.1. 单纯形、单纯复形、重心重分、星形、单纯映射、圈、边圈、边路群.

命题 18.2. 我们有以下事实:

  (a) ${\pi }_1(K)={\pi }_1(K_2)$;

  (b) ${\pi }_1(K)\cong {\pi }_1(|K|)$;

  (c) 单纯逼近定理. 设 $K$ 与 $L$ 是单纯复形. 任意映射 $f:|K|\to |L|$ 同伦于某个单纯映射 $g:|K^{(k)}|\to |L|$, 其中 $K^{(k)}$ 是 $K$ 的 $k$ 次重心重分.

命题 18.3. 延拓原理

  设 $I^n$ 是 $n$ 维方体, $X$ 是可缩拓扑空间. 则任意映射 $f:\partial I^n\to X$ 可延拓定义在整个 $I^n$ 上, 即存在映射 $g:I^n\to X$ 使得 $g{|}_{\partial I^n}=f$.

定理 18.4. 设拓扑空间 $X$ 有好覆盖 $\mathcal{U}$, $N(\mathcal{U})$ 是 $\mathcal{U}$ 的 nerve. 则$${\pi }_1(X)\cong {\pi }_1(N(\mathcal{U})).$$

19单值性

定理 19.1. 若连通拓扑空间 $X$ 的好覆盖 $\mathcal{U}$ 的 nerve $N(\mathcal{U})$ 的边路群等于零, 则 $\mathcal{U}$ 上局部常值预层同构于常值预层.

命题 19.2. 设 $\mathcal{U}$ 是 $X$ 的开覆盖, $\mathcal{F}$ 与 $\mathcal{G}$ 是 $X$ 上预层. 若 $\mathcal{F}\cong \mathcal{G}$, 则 Čech 上同调$$H^{\ast }(\mathcal{U},\mathcal{F})\cong H^{\ast }(\mathcal{U},\mathcal{G}).$$

例 19.3. $S^1$ 上好覆盖 $\mathcal{U}$ 上局部常值预层不是常值预层的例子.

20谱序列

定义 20.1. 正合偶, 导出偶, 子复形 $K^{\prime }$ 若 $D{K}^{\prime }\subset K^{\prime }$. 子复形的序列$$K=K_0\supset K_1\supset K_2\supset K_3\supset \cdots$$称为 $K$ 上一个滤列 (filtration). 这使得 $K$ 称为一个滤复形 (filtered complex), 它的相伴分级复形是$$GK=\underset{p=0}{\overset{\infty }{⨁}}{K}_p/K_{p+1}.$$  记 $A=\underset{p\in \mathbb{Z}}{⨁}{K}_p$, $B=\underset{p=0}{\overset{\infty }{⨁}}{K}_p/K_{p+1}=GK$. $(A,D)$, $(B,D)$ 都是微分复形

命题 20.2. 存在同态 $i_1,j_1,k_1$ 使得有正合偶事实上, 有有正合偶的导出偶此处的 $i$ 当然不是包含.

命题 20.3. 给定 $K$ 上滤列$$K=K_0\supset K_1\supset K_2\supset K_3\supset 0,$$得到

  (1) 上同调之间的映射$$H(K)=H(K_0)\stackrel{i}{\leftarrow }H(K_1)\stackrel{i}{\leftarrow }H(K_2)\stackrel{i}{\leftarrow }H(K_3)\leftarrow 0;$$  (2) 上同调 $H(K)$ 上滤列$$H(K)\supset iH(K_1)\supset i^{2}H(K_2)\supset i^{3}H(K_3)\supset 0;$$  (3) 以及它的相伴分级复形: $$B_{\infty }=H(K)/iH(K_1)\oplus iH(K_1)/i^{2}H(K_2)\oplus i^{2}H(K_2)/i^{3}H(K_3)\oplus i^{3}H(K_3).$$

定义 20.4. 现回到一般情形. $K$ 的子复形序列$$\cdots =K=K\supset K_1\supset K_2\supset \cdots$$诱导了上同调序列$$\cdots \stackrel{\cong }{\leftarrow }H(K)\stackrel{i}{\leftarrow }H(K_1)\stackrel{i}{\leftarrow }H(K_2)\stackrel{i}{\leftarrow }H(K_3)\stackrel{i}{\leftarrow }\cdots$$其中的映射 $i$ 当然不再是包含. 设 $F_p=i^{p}H(K_p)$, 它是 $H(K_p)$ 在 $H(K)$ 中的像, 则有包含的序列$$H(K)=F_0\supset F_1\supset F_2\supset F_3\supset \cdots$$使得 $H(K)$ 称为一个滤复形. 这个滤列称为 $H(K)$ 上的诱导滤列.

定义 20.5. 滤复形 $K$ 上一个滤列 $\{K_p\}$ 称为有长度 $l$ 若 $K_p=0$ 对 $p>l$. 当 $K$ 上滤列的长度有限时, $A_r$ 与 $B_r$ 最终会不变, 而不变的值 $B_{\infty }$ 是 $H(K)$ 上滤列的相伴分级复形 $\oplus F_p/F_{p+1}$.

  习惯上把 $B_r$ 记作 $E_r$.

定义 20.6.   微分群的序列 $\{E_r,d_r\}$ 称为谱序列, 若每个 $E_r$ 是前一个 $E_{r-1}$ 的 (上) 同调群. 若 $E_r$ 最终不变了, 记不变的值为 $E_{\infty }$, 并且若 $E_{\infty }$ 等于某个滤群 $H$ 的相伴分级群, 则称谱序列 $\{E_r,d_r\}$ 收敛于 $H$, 记作$$\{E_r,d_r\}\Rightarrow H.$$

  给定 $K$ 上一个滤列 $\{K_p\}$, 导出偶中的 $\{E_r,d_r{\}}_{r=1}^{\infty }$ 是谱序列, 并且当滤列的长度有限时, 它收敛于 $H(K)$: $$\{E_r,d_r\}\Rightarrow H(K).$$

定义 20.7. 现假定滤复形 $K$ 是一个分级复形: $K=\underset{n\in \mathbb{Z}}{⨁}{K}^n$, $D:K^n\to K^{n+1}$. 为了区别分级次数 $n$ 与滤列次数 $p$, 通常称 $n$ 为维数.

  $K$ 上屡列 $\{K_p\}$ 在每个维数诱导了一个滤列: 若令 $K_p^n=K_p\cap K^n$, 则 $\{K_p^n\}$ 是 $K^n$ 上一个滤列.

  现假定 $K$ 的分级诱导了 $K_p$ 的分级, 即 $K_p=⨁K_p^n$. 所以它也诱导了 $B_p=K_p/K_{p+1}$ 的分级$$B_p=\oplus B_p^n,B_p^n=K_p^n/K_{p+1}^n.$$于是有分级复形 $(K_p,D)$, $(B_p,D)$ 与分级复形的短正合列$$0\to K_{p+1}\to K_p\to B_p\to 0.$$它诱导了上同调群的长正合序列$$\cdots \to H^n(K_{p+1})\stackrel{i_1}{\to }{H}^n(K_p)\stackrel{j_1}{\to }{H}^n(B_p)\stackrel{k_1}{\to }{H}^{n+1}(K_{p+1})\to \cdots$$所以对固定的 $p$ 有正合偶对 $p$ 求直和, 有正合偶记 $A_1^n={\oplus }_p{H}^n(K_p)$, $E_1^n={\oplus }_p{H}^n(B_p)$, 以上正合偶即为于是有相继对导出偶

  在实际应用中, $K$ 上滤列 $\{K_p\}$ 的长度不一定是有限的, 但对每个维数 $n$, $K^n$ 上滤列 $\{K_p^n\}$ 的长度是有限的.

定理 20.8. 设 $K={\oplus }_n{K}^n$ 是滤列为 $\{K_p\}$ 的分级滤复形, 并且设 $K$ 的分级诱导了 $K_p$ 的分级. 设 $H_D^{\ast }(K)$ 是 $K$ 的上同调, 具有滤列: $$H(K)=F_0\supset F_1\supset F_2\supset \cdots .$$假定对每个维数 $n$, 滤列 $\{K_p^n\}$ 的长度是有限的, 则短正合序列$$0\to \oplus K_{p+1}\to \oplus K_p\to \oplus K_p/K_{p+1}\to 0$$诱导了一个收敛于 $H_D^{\ast }(K)$ 的谱序列.

21双复形的谱序列

定义 21.1. 设 $K=\underset{p,q\ge 0}{⨁}{K}^{p,q}$ 是双复形, $K$ 上有一个自然的滤列 $K_p=\underset{i\ge p}{⨁}\underset{q\ge 0}{⨁}{K}^{i,q}$ 与自然的分级 $K=\underset{n}{⨁}{K}^n$, $K^n=\underset{p+q=n}{⨁}{K}^{p,q}$. $K^n$ 上有自然的滤列 $K_p^n=K^n\cap K_p$, 它的长度最多为 $n$.

  它的上同调 $H_D(K)$ 有诱导滤列$$H(K)=F_0\supset F_1\supset F_2\supset \cdots ,$$其中 $F_p=i^{p}H(K_p)$.

  对每个维数 $n$, 有 $H^n(K)$ 上的滤列$$H^n(K)=F_0^n\supset F_1^n\supset F_2^n\supset \cdots \supset F_n^n\supset 0,$$其中 $F_p^n=F_p\cap H^n(K)=i^p{H}^n(K_p)\subset H^n(K)$.

  商 $B_p=K_p/K_{p+1}$ 继承了分级 $B_p=\underset{n}{⨁}{B}_p^n$, $B_p^n=K_p^n/K_{p+1}^n$. 于是有分级复形 $(K_p,D)$, $B_p,D)$ 与分级复形的短正合序列$$0\to ⨁K_{p+1}\to ⨁K_p\to ⨁B_p\to 0.$$它诱导了上同调的长正合序列$$\cdots \to H^n(K_{p+1})\stackrel{i_1}{\to }{H}^n(K_p)\stackrel{j_1}{\to }{H}^n(B_p)\stackrel{k_1}{\to }{H}^{n+1}(K_{p+1})\to \cdots$$由此得到定理, 即存在收敛于 $H(K)$ 的谱序列 $\{E_r,d_r\}$, 即$$E_{\infty }=GH(K)=\underset{p\ge 0}{⨁}{F}_p/F_{p+1},$$并且它也是分级的: $E_{\infty }=\underset{n}{⨁}{E}_{\infty }^n$, $E_{\infty }^n=\underset{p=0}{\overset{n}{⨁}}{F}_p^n/F_{p+1}^n=G{H}^n(K)$. 我们要改进上述分解, 使得 $E_{\infty }^n$ 从而 $E_{\infty }$ 也是双分次的.

定义 21.2. 定义 $A=\underset{p\ge 0}{⨁}{K}_p$, 它形成单复形 $A=\underset{k}{⨁}{A}^k$. 令 $B=\underset{p}{⨁}{B}_p=\underset{p}{⨁}{K}_p/K_{p+1}$, 它形成单复形 $B=\underset{k}{⨁}{B}^k$, $D=(-1{)}^{p}d$, 这是因为 $\delta$ 被模掉了. 所以$$E_1=H_D(B)=H_d(K).$$它是双分次的: $E_1^{p,q}=H_d^q(K^{p,\ast })$.

命题 21.3. $E_2=H_{\delta }{H}_d(K)$, 它是双分次的.

  我们说元 $b\in K$ 能活到 $E_r$, 即 $[b{]}_i$ 为 $E_i$ 的上闭链, $1\le i\le r-1$. $b$ 能活到 $E_r$ 若它能延拓成长度为 $r$ 的 zig-zag: 并且 $E_r$ 上微分 $d_r$ 由 $\delta$ 作用在 zig-zag 的尾巴得到: $d_r[b{]}_r=[\delta c_{r-1}{]}_r$.

  所以双复形 $K$ 的双次数 $(p,q)$ 在谱序列中是保持的, 并且 $d_r$ 把双次数 $(p,q)$ 变为 $(p+r,q-r+1)$.

  这样, 对 $b\in K^{p,q}$, $[b{]}_{q+1}\in E_{q+1}^{p,q}$ 当且仅当存在 $c_1,\cdots ,c_1$ 使得$$D(b+c_1+\cdots +c_1)=0$$其中 $c_i\in K^{p+i,q-i}$. 如果这样 $b$ 就可以一直活下去了, $[b{]}_{q+1}=\cdots =[b{]}_{\infty }\in E_{\infty }^{p,q}$. 所以 $E_{\infty }^n$ 也是双分次的.

  但是 $E_{\infty }^n$ 是 $H^n(K)$ 上滤列$$H^n(K)=F_0\cap H^n\supset F_1\cap H^n\supset \cdots \supset F_n\cap H^n\supset 0$$的相伴分级复形, 所以 $E_{\infty }^{0,n},E_{\infty }^{1,n-1},\cdots ,E_{\infty }^{n,0}$ 是上述滤列的相继商.

定理 21.4. 综上所述, 给定复形 $K$, 存在收敛于全上同调 $H_D(K)$ 的谱序列 $\{E_r,d_r\}$ 使得每个 $E_r$ 是双分次的, 其中 $d_r:E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q-r+1}$, 并且$$E_1^{p,q}=H_d^{p,q}(K),$$$$E_2^{p,q}=H_{\delta }^{p,q}{H}_d(K).$$此外, 全上同调的相伴分级复形为$$G{H}_D^n(K)=\underset{p+q=n}{⨁}{E}_{\infty }^{p,q}(K).$$

注 21.5. 因为维数是向量空间的唯一不变量, 所以一个滤向量空间 $V$ 的相伴分级向量空间 $GV$ 同构于 $V$. $$H_D^n(K)\cong G{H}_D^n(K)\cong \underset{p+q=n}{⨁}{E}_{\infty }^{p,q}.$$但若 $K$ 是群, 则上述等式不一定成立, 因为有挠元.

注 21.6. 当然可用 $K$ 上以下滤列 $K_q=\underset{p\ge 0}{⨁}\underset{j\ge q}{⨁}{K}^{p,j}$, 它给出收敛于全上同调 $H_d(K)$ 的第二谱序列 $\{E_r^{\prime }.d_r^{\prime }\}$, 其中 $E_1^{\prime }=H_{\delta }(K)$, $E_2^{\prime }=H_d{H}_{\delta }(K)$ 与$$d_r^{\prime }:E_r^{\prime p,q}\to E_r^{\prime p-r+1,q+r}.$$

定义 21.7. 谱序列称为在 $E_r$ 页退化, 若 $d_r=d_{r+1}=\cdots =0$. 对这样的谱序列$$E_r=E_{r+1}=\cdots =E_{\infty }.$$

例 21.8. de Rham 与 Čech 之间的同构

$M$ 是流形, $\mathcal{U}$ 是好覆盖, 考虑 $K^{p,q}=C^p(\mathcal{U},{\Omega }^q)$. 其第二谱序列在第二页退化, 故$$H_{dR}^k(M)=\underset{p+q=k}{⨁}{E}_2^{\prime p,q}=\underset{p+q=k}{⨁}{E}_{\infty }^{\prime p,q}=H_D^k\{C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })\}.$$  再考虑第一谱序列, 因为 $\mathcal{U}$ 是好覆盖, 故其在第二页退化, 有$$H_{(}^k\mathcal{U},\mathbb{R})=\underset{p+q=k}{⨁}{E}_2^{p,q}=\underset{p+q=k}{⨁}{E}_{\infty }^{p,q}=H_D^k\{C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })\}.$$  结合两个等式, 得到 $H_{dR}^k(M)=H^k(\mathcal{U},\mathbb{R})$.

  纤维丛的谱序列

定理 21.9. 对 de Rham 上同调的 Leray 定理

  给定流形 $M$ 上以 $F$ 为纤维的纤维丛 $\pi :E\to M$ 与 $M$ 的好覆盖 $\mathcal{U}$, 存在一个收敛于全上同调 $H^{\ast }(E)$ 的谱序列 $\{E_r\}$, 它的 $E_2$ 页为$$E_2^{p,q}=H^p(\mathcal{U},{\mathcal{H}}^q),$$其中 ${\mathcal{H}}^q$ 是 $\mathcal{U}$ 上局部常值预层 ${\mathcal{H}}^1(U)=H^q({\pi }^{-1}U)$.

  若 $M$ 是单连通的且 $H^q(F)$ 是有限维的, 则$$E_2^{p,q}=H^p(M)\otimes H^q(F).$$

22谱序列的应用

例 22.1. Künneth 公式与 Leray-Hirsch 定理

  设 $M$ 与 $F$ 是流形, $\mathcal{U}$ 是 $M$ 的好覆盖. 假定 $F$ 的上同调是有限维的, 根据 Leray 定理, $M$ 上以 $F$ 为纤维的平凡丛 $\pi :M\times F$ 的双复形 $C^{\ast }({\pi }^{-1}\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })$ 的谱序列的 $E_2$ 页为$$E_2^{p,q}=H^p(\mathcal{U},{\mathcal{H}}^q(F)).$$因为 $M\times F$ 是 $M$ 上平凡丛, 预层 ${\mathcal{H}}^q(F)$ 是常值预层 $H^q(F)$. 所以$$E_2^{p,q}=H^p(\mathcal{U},\mathbb{R})\otimes H^q(F)=H^p(M)\otimes H^q(F).$$  $E_2^{p,q}$ 的每个元 $[b{]}_2$ 可由 $M\times F$ 上一个整体闭形式 $b={\pi }^{-1}\varphi \wedge {\rho }^{-1}\psi$ 表示, 对一般的纤维丛, 这样的投射 $\rho :M\times F\to F$ 是不存在的, 所以这样的 $b$ 是没有意义的.

  因为 $\delta b=0$, 所以 $d_2=d_3=\cdots =0$, 于是 $E_2=E_{\infty }=H^{\ast }(M\times F)$, 因此有 Künneth 公式$$H^{\ast }(M\times F)=E_{\infty }=E_2=H^{\ast }(M)\otimes H^{\ast }(F).$$Leray-Hirsch 的证明是类似的.

注 22.2. 球面丛的可定向性与 Euler 类.

  其 $E_1$ 页只有第 $0$ 行和第 $n$ 行非零, 所以 $d_2=d_3=\cdots =d_n=0$. 于是$$E_{n+1}=E_2=H_{\delta }{H}_d.$$  设 $[\sigma {]}_1$ 对应于 $E$ 上局部角形式, $E$ 是可定向的当且仅当 $\sigma$ 能活到第二页. 进而其能活到 $E_{n+1}$, 有$$E_{n+1}^{n+1,0}=E_2^{n+1,0}=H^{n+1}({\pi }^{-1}\mathcal{U},\mathbb{R})=H^{n+1}(M),$$于是$$-d_{n+1}[\sigma {]}_{n+1}=[-\delta c_n{]}_{n+1}\in H^{n+1}(M)$$是球面丛的 Euler 类. 它是否等于零当且仅当 $\sigma$ 能否延拓为一个 $D$-上闭链, 即球面丛上一个整体闭 $n$-形式.

例 22.3. 单连通流形的可定向性.

例 22.4. 复射影空间的上同调

  利用纤维化和 de Rham 上同调的 Leray 定理.

定义 22.5. 乘积结构

  $C^{\ast }(\mathcal{U},\mathbb{R})$ 定义乘法: "$\cdot$" $$\begin{array}{rl}\cdot :C^p(\mathcal{U},\mathbb{R})\otimes C^r(\mathcal{U},\mathbb{R})& \to C^{p+r}(\mathcal{U},\mathbb{R}),\\ \omega \otimes \eta & \mapsto \omega \cdot \eta ,\\ (\omega \cdot \eta {)}_{{\alpha }_0\cdots {\alpha }_{p+r}}& ={\omega }_{{\alpha }_0\cdots {\alpha }_p}\cdot {\eta }_{{\alpha }_p\cdots {\alpha }_{p+r}}.\end{array}$$  $C^{\ast }(\mathcal{U},Omeg{a}^{\ast })$ 定义乘法: 杯积 "$\cup$" $$\begin{array}{rl}\cup :C^p(\mathcal{U},{\Omega }^q)\otimes C^r(\mathcal{U},{\Omega }^s)& \to C^{p+r}(\mathcal{U},{\Omega }^{q+s}),\\ (\omega \cup \eta {)}_{{\alpha }_0\cdots {\alpha }_{p+r}}& =(-1{)}^{qr}{\omega }_{{\alpha }_0\cdots {\alpha }_p}{|}_{U_{{\alpha }_0\cdots {\alpha }_{p+r}}}\wedge {\eta }_{{\alpha }_p\cdots {\alpha }_{p+r}}{|}_{U_{??a_0\cdots {\alpha }_{p+r}}}.\end{array}$$符号 $(-1{)}^{qr}$ 是分次代数要求的, 因为要把指标的顺序 $(p,q,r,s)$ 变成顺序 $(p,r,q,s)$.

练习 22.6. 设 $\omega \in K^{p,q}$, $\eta \in K^{r,s}$, 证明

  (a) $\delta (\omega \cup \eta )=\delta \omega \cup \eta +(-1{)}^{\mathrm{deg}\omega }\omega \cup \delta \eta$;

  (b) $D^{\prime \prime }(\omega \cup \eta )=D^{\prime \prime }\omega \cup \eta +(-1{)}^{\mathrm{deg}\omega }\omega \cup D^{\prime \prime }\eta$;

  (c) $\delta D^{\prime \prime }+D^{\prime \prime }\delta =0$.

因此 $\cup$ 诱导了 $H_D^{\ast }\{C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })\}$ 上乘积结构.

命题 22.7. 包含映射$$r:{\Omega }^{\ast }(M)\to C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast }),$$$$i:C^{\ast }(\mathcal{U},\mathbb{R})\to C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })$$是代数同态. 所以对好覆盖, 它们诱导的同构$$H_{dR}^{\ast }(M)\cong H_D\{C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })\},$$$$H^{\ast }(\mathcal{U},\mathbb{R})\cong H_D\{C^{\ast }(\mathcal{U},{\Omega }^{\ast })\}$$是代数同构. 又因为对好覆盖 $\mathcal{U}$, $H^{\ast }(M,\mathbb{R})=H^{\ast }(\mathcal{U},\mathbb{R})$, 所以我们有$$H_{dR}^{\ast }(M)\cong H^{\ast }(M,\mathbb{R})$$是分次代数的同构.

定理 22.8. 设 $K$ 是双复形, 具有一个乘积结构且微分算子 $D$ 相对于这个乘积结构是反导子. 则存在收敛于 $H_D(K)$ 的谱序列$$\{E_r,d_r\},d_r:E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q-r+1},$$它具有以下性质:

  (1) $E_2^{p,q}$ 页是 $H_{\delta }^{p,q}{H}_d(K)$;

  (2) 作为前一个 $E_{r-1}$ 的同调, 每个 $E_r$ 从 $E_{r-1}$ 继承了一个乘积结构. $d_r$ 相对于此乘积结构是反导子.

警示: 虽然 $E_{\infty }$ 与 $H_D(K)$ 都从 $K$ 继承了它们的环结构, 但它们作为环一般不是同构的.

练习 22.9. 在两个分次环 $A$ 与 $B$ 的张量积 $A\otimes B$ 上定义乘积结构: 对 $a,c\in A$, $b,d\in B$, $$(a\otimes b)(c\otimes d)=(-1{)}^{(\mathrm{deg}b)(\mathrm{deg}c)}(ac\otimes bd).$$证明若 $\pi :E\to M$ 是单连通流形 $M$ 上以 $F$ 为纤维的纤维丛, 且 $F$ 的上同调维数是有限的, 则谱序列的 $E_2$ 页与 $H^{\ast }(M)\otimes H^{\ast }(F)$ 的同构是分次代数的同构.

注 22.10. 这样, 在 Leray 定理中每个群 $E_r$ 是一个代数而 $d_r$ 相对于此代数结构是反导子; 另外, 若 $M$ 是单连通的且 $F$ 的上同调维数是有限的, 则同构 $E_2\cong H^{\ast }(M)\otimes H^{\ast }(F)$ 是分次代数的同构.

例 22.11. $H^{\ast }(\mathbb{C}{P}^n)$ 的环结构.

例 22.12. Leray 构造: 从 $S^1$ 到线段 $I$ 的投射, 计算 $S^1$ 的上同调.

练习 22.13. 把球面 $S^2$ 投射到单位圆盘 $D$ 并用 Leray 方法计算 $H^{\ast }(S^2)$.

练习 22.14. 设 $Y$ 是流形, 具有有限好覆盖 $\mathcal{U}$. 用 ${\beta }_p$ 记 $(p+1)$-重非空交 $U_{{\alpha }_0\cdots {\alpha }_p}$ 的个数. 证明: $\chi (Y)=\sum (-1{)}^p{\beta }_p$.

练习 22.15. 设 $\pi :X\to Y$ 是任意映射, $\mathcal{U}$ 是 $Y$ 的一个有限好覆盖. 证明$$\chi (X)=\sum _{p,q}\sum _{{\alpha }_0<\cdots <{\alpha }_p}(-1{)}^{p+q}\dim H^q({\pi }^{-1}(U_{{\alpha }_0\cdots {\alpha }_p})).$$证明若 $\pi :X\to Y$ 是以 $F$ 为纤维的纤维丛, $Y$ 具有有限好覆盖且 $F$ 的上同调是有限维的, 则$$\chi (X)=\chi (F)\chi (Y).$$

23整系数奇异同调

定义 23.1. Extension 问题、函子 Ext 与 Tor、奇异同调、锥构造、对奇异链的 MV 序列、对两个开集的同调 MV 序列.

24奇异上同调

定义 24.1. 奇异上同调、对奇异上链的 MV 序列 (直积) .

命题 24.2. 用双复形 $C^{\ast }(\mathcal{U},S^{\ast })$ 计算 $H^{\ast }(X)$.

  这与 de Rham 理论相同. 因为根据 MV 序列的正合性, 这个双复形的 $H_{{\delta }^{\ast }}$ 仅有一列不为零, 所以谱序列在 $E_2$ 页退化, $$H^{\ast }(X)=H_d{H}_{{\delta }^{\ast }}=E_2^{\prime }=E_{\infty }^{\prime }\cong H\{C^{\ast }(\mathcal{U},S^{\ast })\},$$最后一个同构是因为 $E_{\infty }^{\prime }$ 只有一列不为零, 虽然它可能有挠元.

命题 24.3. 用双复形 $C^{(}\mathcal{U},S^{\ast })$ 计算 $H^{\ast }(X,\mathbb{Z})$.

  此时要求 $X$ 具有好覆盖. 此时双复形的第一谱序列 $E_1=H_d$ 仅有第一行不为零, 有$$H^{\ast }(\mathcal{U},\mathbb{Z})=H_{\delta }{H}_d=E_2=E_{\infty }\cong H\{C^{\ast }(\mathcal{U},S^{\ast })\},$$最后一个同构也是因为 $E_{\infty }$ 只有一行不为零, 虽然它可能有挠元.

定理 24.4. 可三角剖分的空间 $X$ 的奇异上同调同构于系数在常值预层 $\mathbb{Z}$ 的 Čech 上同调. 若 $\mathcal{U}$ 是 $X$ 的好覆盖, 则$$H^{\ast }(X)\cong H^{\ast }(\mathcal{U},\mathbb{Z})\cong H^{\ast }(X,\mathbb{Z}).$$

定理 24.5. 对系数在交换环 $A$ 的奇异上同调的 Leray 定理

  设 $\pi :E\to X$ 是拓扑空间 $X$ 上以 $F$ 为纤维的纤维丛, $\mathcal{U}$ 是 $X$ 的开覆盖. 则存在一个收敛于 $H^{\ast }(E;A)$ 的谱序列, 它的 $E_2$ 页是$$E_2^{p,q}=H^p(X,{\mathcal{H}}^q(F;A)).$$谱序列中每个 $E_r$ 能给一个乘积结构使得微分 $d_r$ 对此乘积结构是反导子. 若 $X$ 是单连通的且有好覆盖, 则$$E_2^{p,q}=H^p(X,H^q(F;A)).$$另若 $H^{\ast }(F;A)$ 是有限生成的自由 $A$-模, 则作为 $A$ 上代数$$E_2=H^{\ast }(X;A)\otimes H^{\ast }(F;A).$$

练习 24.6. 对奇异上同调的 Künneth 公式

  若 $X$ 是具有好覆盖的拓扑空间, 如可三角剖分的空间, $Y$ 是任意拓扑空间, 应用纤维丛 $X\times Y\to X$ 的谱序列证明: $$H^n(X\times Y)=\underset{p+q=n}{⨁}{H}^p(X,H^q(Y)).$$

定理 24.7. 泛系数定理. 对任意空间 $X$ 与 Abel 群 $G$,

  (a) $X$ 的系数在 $G$ 的同调有分裂: $$H_q(X;G)\cong H_q(X)\times G\oplus Tor(H_{q-1}(X),G);$$  (b) $X$ 的系数在 $G$ 的上同调也有分裂: $$H^q(X;G)\cong Hom(H_q(X),G)\oplus Ext(H_{q-1}(X),G).$$

例 24.8. 球面的单位切丛的奇异上同调.

练习 24.9. 计算单位切丛 $S(T{S}^n)$ 的上同调.

注 24.10. $S(T{S}^2)$ 与 $SO(3)$ 微分同胚, $SO(3)$ 与 $\mathbb{R}{P}^3$ 微分同胚.

练习 24.11. $SO(4)$ 的上同调. 应用纤维丛

练习 24.12. 酉群的上同调. 应用纤维丛

命题 24.13. 对拓扑空间 $X$ 的任意覆盖 $\mathcal{U}$, 双复形 $C_{\ast }(\mathcal{U},S_{\ast })$ 计算 $X$ 的奇异同调: $$H_D\{C_{\ast }(\mathcal{U},S_{\ast })\}=H_{\ast }(X).$$

定理 24.14. 若 $E\to X$ 是纤维为 $F$ 的纤维丛并且若 $X$ 是一个具有好覆盖的单连通空间, 则存在一个收敛于奇异同调 $H_{\ast }(E)$ 的谱序列, 它的 $E^2$ 页是$$E_{p,q}^2=H_p(X,H_q(F)).$$另若 $H_q(F)$ 是自由 $\mathbb{Z}$-模, 则 $E^2$ 页与张量积 $H_p(X)\otimes H_q(F)$ 作为 $\mathbb{Z}$-模同构. 不像上同调谱序列, 在同调中一般没有乘积结构.

25道路纤维化

定义 25.1. 道路空间 $PX$, 圈空间 $\Omega X$, 纤维化, 覆盖同伦性质.

引理 25.2. 自然投影 $\pi :PX\to X$ 具有性质: $$\text{对某个固定空间}F\text{与对}X\text{的任意可缩开集}U,H^q({\pi }^{-1}(U))\cong H^q(F).$$事实上, 对 $X$ 的任意可缩开集 $U$, $$H^{\ast }({\pi }^{-1}(U))\cong H^{\ast }(\Omega X).$$  自然映射 $\pi :PX\to X$ 是纤维化, $\Omega X$ 是它的纤维, 称为 $X$ 的道路纤维化. 全空间 $PX$ 是可缩空间.

引理 25.3. 道路连通空间上的纤维化的人一两条纤维具有相同伦型.

命题 25.4. 设 $\pi :E\to X$ 是纤维化, $X$ 是单连通的且 $E$ 是道路连通的. 则纤维也是道路连通的.

例 25.5. $H^{\ast }(\Omega S^n)$ 的计算及其环结构.

26纤维化的同伦序列

定义 26.1. 同伦群

命题 26.2. ${\pi }_q(X\times Y)={\pi }_q(X)\times {\pi }_q(Y)$. 对 $q\ge 2$, ${\pi }_q(X)$ 是一个 Abel 群.

命题 26.3. 纤维化的同伦序列.

命题 26.4. 对 $q\ge 2$, ${\pi }_{q-1}(\Omega X)={\pi }_q(X)$.

命题 26.5. 设 $X$ 是道路连通空间. 忘基点映射诱导了一个双射$${\pi }_q(X,x)/{\pi }_1(X,x)\cong [S^q,X],$$其中左边记号表示等价关系: $[\alpha ]\sim {\gamma }_{\ast }[\alpha ]$ 对 $[\gamma ]\in {\pi }_1(X,x)$.

27Hurewicz 同构定理

命题 27.1. $q<n$ 时, ${\pi }_q(S^n)=0$. (不是满射, Sard 定理)

命题 27.2. ${\pi }_n(S^n)=\mathbb{Z}$.

定理 27.3. 设 $X$ 是道路连通空间, 则$$H_q(X)={\pi }_1(X)/[{\pi }_1(X),{\pi }_1(X)].$$

定理 27.4. Hurewicz 同构定理

  设 $X$ 是单连通的、道路连通的 CW 复形. 则它的第一个不等于零的同伦群与同调群在相同维数出现并且相等

例 27.5. ${\pi }_3(S^2)=\mathbb{Z}$.

28EM 空间

命题 28.1. 无穷维实射影空间 $\mathbb{R}{P}^{\infty }$ 的套叠构造.

  对 $q>1$, ${\pi }_q(\mathbb{R}{P}^{\infty })=0$.

  $S^{\infty }$ 是 $\mathbb{R}{P}^{\infty }$ 的二重覆盖, 且 ${\pi }_q(S^{\infty })=0,q\ge 1$.

  ${\pi }_1(\mathbb{R}{P}^{\infty })={\mathbb{Z}}_2$.

故 $\mathbb{R}{P}^{\infty }$ 是 EM 空间 $K({\mathbb{Z}}_2,1)$.

命题 28.2. 无穷维复射影空间 $\mathbb{C}{P}^{\infty }$ 的套叠构造. 有纤维化故 $\mathbb{C}{P}^{\infty }$ 是 EM 空间 $K(\mathbb{Z},2)$.

练习 28.3. 应用纤维化的谱序列证明 $\mathbb{C}{P}^{\infty }$ 的上同调环是具有一个 $2$ 维生成元的多项式代数: $$H^{\ast }(\mathbb{C}{P}^{\infty })=\mathbb{Z}[x],\dim x=2.$$

例 28.4. 透镜空间

  $S^{2n+1}$ 由 ${\mathbb{Z}}_5$ 作用得到的商空间是透镜空间 $L(n,5)$.

  应用套叠构造得到一个五层覆盖的纤维化  $L(\infty ,q)$ 是 $K({\mathbb{Z}}_q,1)$.

  若计算其上同调, 需用交换图所以 $S^1$ 在 $S^{2n+1}$ 上的作用可以降到 $L(n,5)$ 上的作用, 从而有纤维丛

29${\pi }_4(S^3)$ 与 ${\pi }_5(S^3)$ 的计算

命题 29.1. $K(\mathbb{Z},3)$ 的上同调