用户: Dforsign/于品数学分析习题解

1实数的公理化描述

练习. 证明, 加法逆元 $-x$ 是唯一的, 即如果 $x^{\prime }\in \mathbb{R}$ 也满足 $x+x^{\prime }=0$, 那么 $x^{\prime }=-x$.

证明.

证明. $$x^{\prime }=x^{\prime }+0=x^{\prime }+(x+(-x))=(x^{\prime }+x)+(-x)=0+(-x)=-x.$$$\square$

练习. 证明, $x\ne 0$ 乘法逆元 $x^{-1}$ 是唯一的, 即若 $x^{\prime }\in \mathbb{R}$ 也满足 $x\cdot x^{\prime }=1$, 那么 $x^{\prime }=x^{-1}$.

证明.

证明. 这几乎与上例同, 简述之. $$x^{\prime }=x^{\prime }\cdot x\cdot x^{-1}=x^{-1}.$$$\square$

练习.

1)	证明, 对任意的 $x,y$, 如果 $b\ne 0$, 我们有$$x+a=y+a\Rightarrow x=y;x\cdot b=y\cdot b\Rightarrow x=y.$$
2)	证明, 对任意的 $x,y,z,w$, 如果 $y\ne 0$,$w\ne 0$, 那么我们有$$\frac{x}{y}+\frac{z}{w}=\frac{xw+zy}{yw},\frac{x}{y}\cdot \frac{z}{w}=\frac{x\cdot z}{y\cdot w}.$$
3)	证明, 对任意非零的 $x$ 和 $y$, 我们有$${\left(\frac{x}{y}\right)}^{-1}=\frac{y}{x}.$$
4)	证明,$(-1)\cdot x=-x$. 据此, 进一步证明 $(-x)\cdot y=-(xy)$,$(-x)\cdot (-y)=xy$. (提示: 利用 $x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x$)

从此之后, 我们可以不计后果地使用这些公式 (熟知的公式是所谓的直观的一部分) .

证明.

证明.

1)	$$x+a=y+a\iff x+a-a=y+a-a\iff x=y,$$$$x\cdot b=y\cdot b\iff x\cdot b\cdot b^{-1}=y\cdot b\cdot b^{-1}\iff x=y.$$
2)	$$yw(\frac{x}{y}+\frac{z}{w})=xw+zy(分配律).$$由 1) 即得. 另一式仅为乘法交换律与结合律.
3)	可以看作乘法交换律, 也可显式写作$$1=\left(\frac{x}{y}\right){\left(\frac{x}{y}\right)}^{-1}=\frac{y}{x}\cdot \frac{x}{y}.$$
4)	$$x+(-1)\cdot x=x\cdot (1+(-1))=x\cdot 0=0=x-x.$$由 1) 即得. 另两式仅为乘法交换律与结合律.

$\square$