用户: Cute rqy

数学系鸽猫 (指天天咕咕咕的猫) 一只. 喵喵喵.

以下是数分讲义目录草稿:

本讲义是 2018 年秋季学期起随课程编写的数学分析讲义, 其中第三部分是 2020 年秋季学期随课程编写. 目前正在进行修改笔误并向香蕉空间搬运的工作. 上传后的讲义仍然有很多影响观感的排版疏漏或笔误, 欢迎大家修改. 具体请参见本页面的讨论.

1数学分析一

目录

	1 实数的公理化描述
	2 区间套公理与确界原理, 距离空间
	4 极限与收敛
	5 收敛判别法
	6 指数函数与三角函数的构造与性质
	7 乘积级数与 Riemann $\zeta$ 函数, 振荡级数的收敛判断, 完备赋范线性空间
	8 函数的连续性
	9 连续映射, 介值定理, 初等函数的构造
	10 连续函数的拓扑刻画
	11 紧性与开覆盖, 一致连续性与函数列的收敛
	12 利用级数收敛来构造连续函数, 距离空间的完备化
	13 导数的定义与计算
	14 导数的基本性质、应用与推广
	15 中值定理的应用
	16 空间填充曲线, L’Hôpital 法则, Taylor 展开
	17 凸函数与 Jensen 不等式
	18 Riemann 积分的定义
	19 Riemann 和与 Darboux 上下和
	20 Riemann 可积函数的刻画, Newton–Leibniz 公式
	21 Lebesgue 定理
	22 积分的基本性质, 积分余项, 反常积分
	24 常微分方程解的存在唯一性, Kepler 三大定律的证明, 变分法
	25 变分法续
	26 第二积分中值定理, Stieltjes 积分
	27 Stieltjes 积分的中值定理

2数学分析二

目录

	31 映射的微分
	32 微分同胚与光滑子流形
	33 子流形的坐标表示, 反函数定理
	34 隐函数定理, 子流形的判定
	35 子流形的原像定理, 切空间
	36 子流形上的光滑映射与微分学
	37 Hesse 矩阵与极值点, 凸函数
	38 $\sigma$-代数, 可测空间与可测函数
	39 测度与测度空间, Carathéodory 扩张定理
	40 Lebesgue 测度及其性质
	41 测度空间上的积分, Beppo Levi 定理
	42 可积函数空间, Fatou 引理和 Lebesgue 控制收敛定理
	43 积分与求导的交换性, 乘积空间
	44 乘积测度与 Fubini 定理
	45 抽象换元积分, Borel 测度的正则性
	46 常用的换元积分, 子流形上的积分
	47 子流形上的积分计算, Stokes 定理
	48 Sard 型引理, Stokes 定理的微分拓扑证明
	49 子流形上的积分计算, 散度定理与 Green 公式
	50 二维的 Brouwer 不动点定理, Hilbert 空间
	51 $L^2$ 与 $L^{\infty }$ 的完备性, 卷积与逼近
	52 $L^1$ 函数的光滑逼近, Fourier 级数
	53 Fourier 的 $L^2$ 理论
	54 光滑性–衰减速率关系, 积分核, 局部化引理
	55 Fourier 级数的收敛理论
	56 Bernstein 定理, 等分布定理
	57 Roth 三项等差数列定理

3数学分析三

目录

	58 分布的定义和例子
	61 分布的局部刻画与支集
	62 分布的卷积
	63 微分方程的基本解
	64 可卷集, 波动算子的基本解
	66 Fourier 分析, $L^1$ 上的 Fourier 变换
	67 $L^2$ 上的 Fourier 变换, Schwartz 空间与缓增分布
	69 缓增分布的 Fourier 变换与卷积
	70 波动方程和热方程的基本解, Sobolev 空间
	71 Sobolev 空间的基本性质, Sobolev 嵌入定理
	72 Sobolev 空间的对偶性, Sobolev 空间的限制定理
	73 有界区域上的 Sobolev 空间
	74 期中测验
	75 Dirichlet 问题的初步研究, 半空间上的 $H^1$ 函数
	76 半空间上的限制性定理 (迹定理)
	77 高指数 Sobolev 空间从半空间到全空间的扩张, Sobolev 函数的局部刻画, 从 $H^1(\Omega )$ 到 $H^1({\mathbb{R}}^n)$ 扩张, 用全空间上的光滑函数逼近的 $H^1(\Omega )$, 曲面上的 Sobolev 空间的定义
	[[用户:Cute rqy/子流形上的 Sobolev 空间的定义与等价定义, 有界区域上 Sobolev 空间的限制 (迹) 定理以及限制正合列, Dirichlet 问题的边值的确切含义以及 Dirichlet 问题的解决, 位势方程的边值问题的高阶椭圆正则性定理|78 子流形上的 Sobolev 空间的定义与等价定义, 有界区域上 Sobolev 空间的限制 (迹) 定理以及限制正合列, Dirichlet 问题的边值的确切含义以及 Dirichlet 问题的解决, 位势方程的边值问题的高阶椭圆正则性定理]]
	79 完备内积空间上的紧算子, 自伴算子与弱收敛理论
	82 $H_0^1(\Omega )\cap H_2(\Omega )$ 的刻画, 保证分布落在 $H_0^1(\Omega )\cap H_m(\Omega )$ 中的必要条件, 特征函数到边界的连续性 (光滑边界) , 利用特征函数构造热核 (频率空间的观点)
	83 利用热方程刻画热核 (物理空间的观点) , 热方程的极大值原理, 热的正性与对称性, 区域上热核与全空间热核的比较定理
	84 热核的渐近展开, 热核在对角线上的积分, Karamata 的 Tauber 型渐近公式, Weyl 渐近公式的证明, 波前集的定义
	85 波前集以及其等价定义, 微局部光滑性意味着局部光滑性, 一个非驻相法的引理 (理论的技术核心) , 波前集在微分同胚下的变换
	86 微局部的椭圆正则性定理, 拟解 (paramatrix) 的构造, 双特征曲线 (bicharacteristics) , 奇性传播定理的叙述
	87 奇性传播定理的证明
	分布理论期末复习题一
	分布理论期末复习题二
	分布理论期末复习题三