用户: Cute rqy

数学系鸽猫 (指天天咕咕咕的猫) 一只. 喵喵喵.

以下是数分讲义目录草稿:

本讲义是 2018 年秋季学期起随课程编写的数学分析讲义, 其中第三部分是 2020 年秋季学期随课程编写. 目前正在进行修改笔误并向香蕉空间搬运的工作. 上传后的讲义仍然有很多影响观感的排版疏漏或笔误, 欢迎大家修改. 具体请参见本页面的讨论.

1数学分析一

目录

1实数的公理化描述

2区间套公理与确界原理, 距离空间

3实数的构造: Dedekind 分割

作业: 可数与不可数, Schroeder–Bernstein 定理

4极限与收敛

5收敛判别法

6指数函数与三角函数的构造与性质

作业: Riemann 重排, Cesàro 求和, Banach–Mazur 游戏

7乘积级数与 Riemann 函数, 振荡级数的收敛判断, 完备赋范线性空间

作业: 素数的倒数和, Basel 问题的 Euler “证明”

8函数的连续性

9连续映射, 介值定理, 初等函数的构造

10连续函数的拓扑刻画

作业: 拓扑与连续性

11紧性与开覆盖, 一致连续性与函数列的收敛

12利用级数收敛来构造连续函数, 距离空间的完备化

作业: 有无穷多素数的拓扑证明

期中考试: 连续函数环的极大理想

13导数的定义与计算

14导数的基本性质、应用与推广

15中值定理的应用

作业: 高木贞治函数

16空间填充曲线, L’Hôpital 法则, Taylor 展开

17凸函数与 Jensen 不等式

作业: Émile Borel 引理, Peano 的证明

18Riemann 积分的定义

19Riemann 和与 Darboux 上下和

作业: Sturm–Liouville 理论的一个例子

20Riemann 可积函数的刻画, Newton–Leibniz 公式

作业: Dini 定理, 多项式逼近与 Weierstraß–Stone 定理

21Lebesgue 定理

22积分的基本性质, 积分余项, 反常积分

23历史注记: 微分与积分的交换定理, 含参积分

作业: 的无理性

24常微分方程解的存在唯一性, Kepler 三大定律的证明, 变分法

25变分法续

作业: 二平方和数的密度

26第二积分中值定理, Stieltjes 积分

27Stieltjes 积分的中值定理

作业: 振荡积分

28一元微积分拾遗: Baire 纲定理, Liouville 定理

29一元微积分拾遗: 振荡与衰减

期末考试: 两个积分的计算, 整系数多项式的逼近

2数学分析二

目录

30高维的微分学: 高维函数的微分

31映射的微分

作业: 齐次函数与 Euler 公式

32微分同胚与光滑子流形

33子流形的坐标表示, 反函数定理

习题课: 拓扑空间

作业: 反函数和隐函数定理

34隐函数定理, 子流形的判定

35子流形的原像定理, 切空间

作业: 隐函数定理, 经典群的子流形结构

36子流形上的光滑映射与微分学

37Hesse 矩阵与极值点, 凸函数

习题课: 球极投影

作业: Lagrange 乘子法, Morse 引理, 横截相交性

38-代数, 可测空间与可测函数

39测度与测度空间, Carathéodory 扩张定理

40Lebesgue 测度及其性质

41测度空间上的积分, Beppo Levi 定理

作业: 子流形与零测集, Stieltjes 测度, Borel–Cantelli 定理

42可积函数空间, Fatou 引理和 Lebesgue 控制收敛定理

43积分与求导的交换性, 乘积空间

习题课: 硬币空间的测度理论

作业: Lebesgue 控制收敛, 十进制小数的研究

44乘积测度与 Fubini 定理

作业: Archimedes 对抛物线面积的计算, Gauss 积分

45抽象换元积分, Borel 测度的正则性

46常用的换元积分, 子流形上的积分

期中考试: 非 Borel 集的构造

47子流形上的积分计算, Stokes 定理

48Sard 型引理, Stokes 定理的微分拓扑证明

作业: 曲线曲面积分的计算

习题课: Riemann 积分的定义 1

49子流形上的积分计算, 散度定理与 Green 公式

50二维的 Brouwer 不动点定理, Hilbert 空间

51 的完备性, 卷积与逼近

作业: Stokes 定理的应用

习题课: Riemann 积分的定义 2

52 函数的光滑逼近, Fourier 级数

53Fourier 的 理论

作业: 波动方程的局部能量估计

习题课: Riemann 积分的定义 3

54光滑性–衰减速率关系, 积分核, 局部化引理

55Fourier 级数的收敛理论

作业: Fourier 级数的计算, 三角函数与球谐函数

56Bernstein 定理, 等分布定理

57Roth 三项等差数列定理

作业: Fourier 级数几乎处处发散的 函数

期末考试: Maaß 波函数的展开

3数学分析三

目录

58分布的定义和例子

59分布的操作: 限制, 求导及复合

60分布的简单应用: Cauchy 积分公式

61分布的局部刻画与支集

作业: 齐次分布, Hadamard 有限部分

62分布的卷积

63微分方程的基本解

作业: 分布的例子, 位势方程

64可卷集, 波动算子的基本解

65选读: 复分析相关知识简介

66Fourier 分析, 上的 Fourier 变换

67 上的 Fourier 变换, Schwartz 空间与缓增分布

作业: Fourier 逆变换, 分布的扩张与张量积

68缓增分布的 Fourier 变换: 定义和基本例子

69缓增分布的 Fourier 变换与卷积

70波动方程和热方程的基本解, Sobolev 空间

71Sobolev 空间的基本性质, Sobolev 嵌入定理

作业: Heisenberg 测不准原理, Sobolev 空间的物理刻画

72Sobolev 空间的对偶性, Sobolev 空间的限制定理

73有界区域上的 Sobolev 空间

74期中测验

75Dirichlet 问题的初步研究, 半空间上的 函数

76半空间上的限制性定理 (迹定理)

77高指数 Sobolev 空间从半空间到全空间的扩张, Sobolev 函数的局部刻画, 从 扩张, 用全空间上的光滑函数逼近的 , 曲面上的 Sobolev 空间的定义

作业: 二维波动方程的基本解, Airy 函数与 KdV 方程

[[用户:Cute rqy/子流形上的 Sobolev 空间的定义与等价定义, 有界区域上 Sobolev 空间的限制 (迹) 定理以及限制正合列, Dirichlet 问题的边值的确切含义以及 Dirichlet 问题的解决, 位势方程的边值问题的高阶椭圆正则性定理|78子流形上的 Sobolev 空间的定义与等价定义, 有界区域上 Sobolev 空间的限制 (迹) 定理以及限制正合列, Dirichlet 问题的边值的确切含义以及 Dirichlet 问题的解决, 位势方程的边值问题的高阶椭圆正则性定理]]

习题: 一个弹性力学的模型

79完备内积空间上的紧算子, 自伴算子与弱收敛理论

80紧算子的谱理论: Hilbert–Schmidt 定理, Laplace 算子的谱分解定理, 正方形区域上 Laplace 算子的特征函数与特征值的计算, 正方形区域上 Laplace 算子特征值的增长率

81Laplace 算子的特征函数的应用: 利用特征函数刻画函数空间, 各阶特征值的变分表述, 相互包含区域的特征值比较, 弱化版本的 Weyl 渐近公式: 一般区域上的 Laplace 算子的特征值的增长率

82 的刻画, 保证分布落在 中的必要条件, 特征函数到边界的连续性 (光滑边界) , 利用特征函数构造热核 (频率空间的观点)

83利用热方程刻画热核 (物理空间的观点) , 热方程的极大值原理, 热的正性与对称性, 区域上热核与全空间热核的比较定理

84热核的渐近展开, 热核在对角线上的积分, Karamata 的 Tauber 型渐近公式, Weyl 渐近公式的证明, 波前集的定义

85波前集以及其等价定义, 微局部光滑性意味着局部光滑性, 一个非驻相法的引理 (理论的技术核心) , 波前集在微分同胚下的变换

86微局部的椭圆正则性定理, 拟解 (paramatrix) 的构造, 双特征曲线 (bicharacteristics) , 奇性传播定理的叙述

87奇性传播定理的证明

分布理论期末复习题一

分布理论期末复习题二

分布理论期末复习题三