用户: Afsdfsadasd/例子或题目

例 0.1. 设 $a,b\in \mathcal{A}$, 其中 $\mathcal{A}$ 是含幺 Banach 代数.

证明: 在下式中各逆有意义时, $$(a(ba-\lambda e{)}^{-1}b-e)(ab-\lambda e)=\lambda e$$并推出 $\sigma (ab)\cup \{0\}=\sigma (ba)\cup \{0\}$

当上式给出之后再证明, 并不是一件复杂的事情. 但是如果我们忘记了这个有点复杂的式子, 可以试试这样:

以 $\lambda =1$ 为例, 形式上展开 $(e-ba{)}^{-1}=\sum _{n\ge 0}(ba{)}^n,$ 然后注意到 $a(ba{)}^{n}b=(ab{)}^{n+1},$ 因此我们几乎有 $a(e-ba{)}^{-1}b=\sum _{n\ge 1}(ab{)}^n$, 再添个 $e$ 进去, 就得到了应有的式子.

例 0.2. 假设 $a,b\in \mathcal{A}$, 其中 $\mathcal{A}$ 是含幺 Banach 代数.

则不可能成立 $ab-ba=e.$

证明. 应用性质 $\sigma (ab)\cup \{0\}=\sigma (ba)\cup \{0\}$, 以及在含幺 Banach 代数中, 谱总是非空紧集的性质.

例如, 考虑谱集中实部最大者, 就有矛盾.

$\square$

由于 Hilbert 空间上的全体有界线性算子构成一个最经典的 Banach 代数的例子 (当然它实际上更进一步, 是 C*-代数), 因此任意两个有界线性算子无法成立上述交换关系.

对于研究自然界来说, 无界线性算子是必要的.

It is unfortunate for the world we live in that all of the operators that arise naturally are not bounded. (J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Chap. X, 国内世图出版社有影印版)

在量子力学中, 位置算符和动量算符便是无界的, 且满足典范交换关系: $[x,p]:=xp-px=i\hslash .$