用户: Afsdfsadasd/一些平易近人的算子代数(理论)

所有未指明的域按 $\mathbb{C}$ 记, 除非另有说明.

如果证明难度不超过 (我认为的) 数学分析通常习题难度, 将只简略给出.

1Banach 代数

定义

定义 1.1 (Banach 代数). 称 $\mathcal{A}$ 是一个 Banach 代数, 如果 $\mathcal{A}$ 含有以下要素:

(1)$\mathcal{A}$ 上有结合代数结构, 即交换的加法, 不一定交换的乘法.

加法当以+ 记, 而乘法直接并置表示. ($\mathcal{A}$ 可以没有乘法单位元, 当它有的时候, 以 $1$ 或 $e$ 记)

(2)$\mathcal{A}$ 上有范数, 除了通常的线性空间上的范数要求外, 还满足$$\Vert ab\Vert \le \Vert a\Vert \Vert b\Vert .$$

而当 $\mathcal{A}$ 上有乘法单位元 $e$ 时, 有 $\Vert e\Vert =1.$

(3)$\mathcal{A}$ 对此范数诱导的度量是完备的, 即每个 Cauchy 列都收敛.

注 1.2. (1) 可以定义实 Banach 代数, 甚至可以定义 $p$-进域上的. 但兼顾方便, 和理论的丰富、实用性, 只考虑复的情形.

(2) 列举一些额外条件与对应的名称: 含乘法单位时称为 unital (比较尴尬的是这很难翻译, 通常我记为含幺); 乘法交换时称为交换 Banach 代数.

添加单位元

介绍的第一个操作即添加乘法单位元/加幺 (unitization).

定理 1.3 (加幺). 假设 $\mathcal{A}$ 是不含幺的 Banach 代数, 那么存在含幺 Banach 代数 ${\mathcal{A}}^{†}$ 使得 $\mathcal{A}$ 等距同构于 ${\mathcal{A}}^{†}$ 的一个余维数为 $1$ 的理想.

证明. 证明是朴素的. 在 $\mathcal{A}\oplus \mathbb{C}$ 上考虑 $\Vert (x,\lambda )\Vert =\Vert x\Vert +|\lambda |$, 并且定义好符合直观的代数运算即可.

$\square$

注 1.4. 仅从代数上作出含幺的扩张是不难的, 给出上述范数是自然的. 然而, 加幺后的范数并不唯一, 并且有最大者 (此处便是) 和最小者. 但一般不需要多介绍了, 初学时如此便可.

但是, 稍后要和 C*-代数的情形做一些比较.

谱

鉴于 Banach 代数总可以加幺 (定理 1.3), 余下的大部分时间将考虑含幺 Banach 代数.

在含幺 Banach 代数 $\mathcal{A}$ 中, $a\in \mathcal{A}$ 可逆是指存在 $b\in \mathcal{A}$ 使得 $ab=ba=e.$

定义 1.5 (可逆性, 谱集, 预解集, 预解式). 在含幺 Banach 代数 $\mathcal{A}$ 中, $a\in \mathcal{A}$ 的谱记为 $\sigma (a):=\{\lambda \in \mathbb{C}:\lambda e-a不是可逆的\}.$

$\sigma (a)$ 在 $\mathbb{C}$ 中的补集通常记为 $\rho (a)$, 称为预解集.

预解式是指 ( Banach 向量值) 函数 $R_a:\rho (a)\to \mathcal{A},R_a(\lambda )=(\lambda e-a{)}^{-1}.$

很快, 就会遇上第一个非平凡事实: $\sigma (a)$ 是复平面中的非空紧集. 为此, 需要一些基础准备.

命题 1.6. (1) 设 $a\in \mathcal{A}$ 且复数 $\lambda$ 使得 $|\lambda |>\Vert a\Vert$ 时, 一定有 $\lambda e-a$ 可逆且$$(\lambda e-a{)}^{-1}=\sum _{n\ge 0}{\lambda }^{-n-1}{a}^n,$$(1)其中 $a^0=e.$

(2)$\mathcal{A}$ 的可逆元全体构成范数拓扑下的开集.

(3)$a\mapsto a^{-1}$ 是可逆元全体上的连续函数.

证明. (1) 利用条件可知右端绝对收敛, 将右端的级数与 $(\lambda e-a)$ 左乘、右乘就得到 $e$.

(2) 如果 $a$ 可逆, 逆元为 $a^{-1}\ne 0$, 那么尝试将 $a-b$ 写为 $a(1-a^{-1}b)$, 那么当 $1>\Vert a^{-1}b\Vert$ 时括号中的元素可逆. 因此只要让 $\Vert b\Vert <\Vert a^{-1}{\Vert }^{-1}$, 就可以保证前提成立, 于是 $a-b$ 可逆.

为了方便后续参考, 沿用 (1) 的方式展开计算 $(a-b{)}^{-1}$, 可得到$$(a-b{)}^{-1}=a^{-1}\sum _{n\ge 0}(b{a}^{-1}{)}^n=\sum _{n\ge 0}(a^{-1}b{)}^n{a}^{-1}.$$

两种方法均可得到逆的表达式, 第二个等号为我们这里的算法, 第一个等号是 $(a-b)=(1-b{a}^{-1})a$ 的算法.

(3) 进一步估计 $\Vert (a-b{)}^{-1}-a^{-1}\Vert .$ 当 $\Vert b\Vert \le \frac{1}{2}\Vert a^{-1}{\Vert }^{-1}$ 时,

$$\begin{array}{rl}\Vert (a-b{)}^{-1}-a^{-1}\Vert & =\Vert a^{-1}\sum _{n\ge 1}(b{a}^{-1}{)}^n\Vert \\ & \le \Vert a^{-1}\Vert \cdot \Vert b{a}^{-1}\Vert \cdot (\sum _{n\ge 0}\Vert b{a}^{-1}{\Vert }^n)\\ & \le \Vert a^{-1}{\Vert }^2\Vert b\Vert \cdot 2\end{array}$$求逆运算的连续性由此可知.

$\square$

此外, 还需要一些关于向量值函数的知识.

定义 1.7 (强全纯函数与弱全纯函数). 现有函数 $f:\Omega \to X$, 其中 $\Omega$ 为复平面中的非空开集, 即非空连通开集, $X$ 为复 Banach 空间.

(1) 称 $f$ 为强全纯函数, 如果对任意 $z\in \Omega ,$ 均有$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$$在 $X$ 的范数拓扑中极限存在.

(2) 称 $f$ 为弱全纯函数, 如果对任意 $X$ 上的有界线性泛函 $l$, 均有 $l\circ f:\Omega \to \mathbb{C}$ 是通常意义下的全纯函数.

正如字面上表明的那样, 强全纯函数一定是弱全纯函数, 这很轻松就可以证出.

而 N. Dunford 证明了弱全纯函数也是强全纯的. 这里不需要这个结果, 因此不给出证明, 只给出 Walter Rudin 的 Functional Analysis 定理 3.31 和 Peter D. Lax 的 Functional Analysis 11.4 节作为参考.

(建议去看 Rudin 这一块的内容, 因为还有关于 Banach 向量值积分的内容后续需要)

命题 1.8. 于定义 1.5 中给出的预解式 $R_a:\rho (a)\to \mathcal{A},R_a(\lambda )=(\lambda e-a{)}^{-1}$ 是强全纯的.

证明. 根据命题 1.6, $\rho (a)$ 是复平面中的非空开集.

只需要给出这样一个观察: $$R_a(\lambda )-R_a(\mu )=-R_a(\lambda )(\lambda -\mu )R_a(\mu ),\forall \lambda \ne \mu .$$

然后再应用 $R_a$ 的连续性即可.

$\square$

以及向量值全纯函数的 Liouville 定理.

定理 1.9 (Liouville 定理). 设 $f:\mathbb{C}\to X$ 为弱全纯函数, 其中 $X$ 是复 Banach 空间. 若 $f(\mathbb{C})$ 是 $X$ 的弱有界集, 则 $f$ 为常值函数.

证明. 只需要把弱全纯函数的定义和通常的 Liouville 定理应用上去, 再注意到赋范空间上的有界线性泛函全体有分离性即可.

$\square$

定理 1.10. 对任意 $a\in \mathcal{A}$, 其中 $\mathcal{A}$ 为含幺的复 Banach 代数. 则 $\sigma (a)$ 为复平面中的非空紧集.

证明. $\sigma (a)$ 是有界闭集, 源于命题 1.6.

$\sigma (a)$ 非空, 因为如果它是空集, 那么就在 $\rho (a)=\mathbb{C}$ 上定义了弱全纯函数 $R_a$, 并且注意到当 $|\lambda |\to \infty$ 时, $\Vert R_a(\lambda )\Vert \to 0.$

由定理 1.9 , 这表明 $R_a$ 是常值的, 显然引出了矛盾.

$\square$

注 1.11. 研究复 Banach 代数的诸多原因之一便是谱集非空这一特性. 此特性在实 Banach 代数上不复存在.

命题 1.12 (谱半径公式). 对 $a\in \mathcal{A}$, 记 $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{r}(a):=\underset{\lambda \in \sigma (a)}{\sup }|\lambda |.$ 则 $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{r}(a)=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert a^n{\Vert }^{1/n}.$

此数称为 $a$ 的谱半径, 意指 $a$ 的谱集中的模长最大值.

通过数学分析技巧, 不难证明 $\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert a^n{\Vert }^{1/n}=\underset{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}{\inf }\Vert a^n{\Vert }^{1/n}.$

从 (1) 式中可以看出, 谱半径公式在形式上与数学分析中所学的幂级数收敛半径的 Hadamard 公式一致.

证明.

$\square$

可乘线性泛函

交换 Banach 代数

本节需要知道弱*-拓扑的定义.

全纯函数演算

本节需要清楚 Cauchy 积分公式的一个稍许推广的版本.

2C*-代数

定义

定义 2.1. 称 $\mathcal{A}$ 是 C*-代数, 指 $\mathcal{A}$ 是 Banach 代数, 并且 $\mathcal{A}$ 上有对合符号 $\ast :\mathcal{A}\to \mathcal{A}$, 满足:

(1) $\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{C},a,b\in \mathcal{A}$, 成立以下四条:

$(a+b{)}^{\ast }=a^{\ast }+b^{\ast }$;

$(\lambda a{)}^{\ast }=\bar{\lambda }{a}^{\ast }$;

$(a^{\ast }{)}^{\ast }=a$;

$(ab{)}^{\ast }=b^{\ast }{a}^{\ast }$.

(2) $\Vert a^{\ast }a\Vert =\Vert a{\Vert }^2,\forall a\in \mathcal{A}.$

注 2.2. 如果一个 Banach 代数上有满足 (1) 的对合符号, 就称为 Banach *-代数.

$a^{\ast }$ 通常称为 $a$ 的伴随.

例 2.3. (1) 给定 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$, 那么 $\mathcal{H}$ 上的有界线性算子全体 $\mathrm{B}(\mathcal{H})$ 按熟知的伴随运算成为 C*-代数. 其中验证满足定义 2.1 中的 (2) 是泛函分析中的一个常见习题.

(2) 对于局部紧 Hausdorff 空间 $X$, 作 ${\mathrm{C}}_0(X):=\{f:X\to \mathbb{C}|f连续,f在无穷远点为0\}$, 这里在无穷远点为 $0$ 是指对任意 $\epsilon >0$, 存在紧子集 $K\subset X$ 使得当 $x\notin K$ 时有 $|f(x)|<\epsilon .$

在 ${\mathrm{C}}_0(X)$ 上取最大模范数, 对合运算为 $f\mapsto f^{\ast },f^{\ast }(x):=\overline{f(x)}.$

添加单位元

注 2.4. C*-代数上的范数由代数性质决定: 我们用定义 2.1 的 (2), 先将一般元素 $a$ 的范数化为自伴元 $a^{\ast }a$ 的范数, 而后根据谱半径公式, 自伴元的谱半径等于自己的范数. 但是谱集的定义是由代数性质决定的, 只用到了可逆性.

这表明, 如果一个*-代数上能有 C*-范数, 那么一定是唯一的. 那么加幺时所需要的范数是唯一确定的.

交换 C*-代数

本节需要了解 Stone-Weierstrass 定理.

连续函数演算

正元与正线性泛函

近似单位元

本节需要熟悉网收敛的性质.

理想与遗传性

C*-代数间的同态

3von Neumann 代数

强算子拓扑与弱算子拓扑

von Neumann Double Commutant Theorem

4C*-代数的表示

态

循环表示

GNS 构造

关于表示的其他命题