用户: ACR/李群, 李代数及其表示

1基本概念

定义. 一个 (抽象) 李代数是指一个线性空间 $V$ 配上一个双线性映射 $[-,-]:V\times V\to V$ , 满足

$(1)$ $[x,y]=-[y,x]$;

$(2)$ $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$.

定义. 一个李群是指一个配上光滑流形/复解析流形结构的群, 要求群运算、取逆元均与流形结构相容 (光滑/解析) . 李群间的态射是光滑的群同态.

李群 $G$ 在单位元处的切空间 $T_{1}G$ 称为此李群的李代数, 记为 $\mathrm{Lie}(G)$.

上面的定义不能看出为什么称单位元的切空间为李代数. 接下来, 我们要在切空间 $T_{1}G$ 上造出我们需要的李代数结构.

例子. 对任意实线性空间 $V$, $\mathrm{GL}(V)$ 成一李群. 其李代数记为 $\mathfrak{gl}(V)$. 可以看到 $[A,B]=AB-BA$ 给出 $\mathfrak{gl}(V)$ 上的一个李代数结构.

事实上, 任给一个向量 $v\in T_{1}G$, 利用李群的乘法, 可将其扩为一个在李群元素左乘下不变的向量场. 我们设想令其从 $1$ 处开始 “流动”, 就得到 $G$ 上的一条曲线 ${\gamma }_v(t):\mathbb{R}\to G$ (或者 $\mathbb{C}\to G$) , 使得曲线在每一点处的切向量是向量场当中对应的那个向量 (可以用 ODE 的结果证明这一点) .

我们定义 $\exp :\mathfrak{g}\to G,v\mapsto {\gamma }_v(1)$, 这个映射称为指数映射 (在下面 $\mathfrak{gl}(V)$ 的例子里面, 这个映射恰为矩阵的 “指数映射”) . 我们可以以此建立在 “充分小” 的单位元邻域内李群元素和李代数元素的一一对应. 这一事实说明, 我们可以把李代数中的元素看作李群的 “无穷小自同构”.

性质. 对一切 $s,t\in \mathbb{R}$ (相应地, $s,t\in \mathbb{C}$) 和 $v\in T_1(G)$,

$\exp (tv)={\gamma }_v(t)$;

$\exp ((s+t)v)=\exp (sv)\exp (tv)$.

$\exp$ 给出 $G$ 中 $1$ 的某个邻域和 $\mathfrak{g}$ 中 $0$ 的某个邻域的微分同胚.

$\exp$ 有某种意义上的函子性. 即对李群态射 $\phi :G_1\to G_2$, 有诱导的映射 ${\phi }_{\ast }:\mathrm{Lie}(G_1)\to \mathrm{Lie}(G_2)$. 此时我们有 $\exp ({\phi }_{\ast }v)=\phi \exp (v)$.

既然 $\exp$ 在足够小的邻域上是可逆的, 对充分小的 $x,y$, 我们可设$$\exp (x)\exp (y)=\exp (\mu (x,y)),$$其中 $\mu :\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$. 将其展开, 可以得到$$\mu (x,y)=x+y+\lambda (x,y)+(\mathrm{deg}\ge 3\text{terms}).$$

我们取 $[x,y]=2\lambda (x,y)$. 可以证明这是一个反对称的双线性型. 不难发现, 在之前 $\mathfrak{gl}(V)$ 的例子里, $[-,-]$ 正是换位子.

此外, 注意到李群上有共轭作用给出的自同构: $$G\to G,x\mapsto gx{g}^{-1}.$$于是这一自同构诱导李代数 $\mathfrak{g}$ 上的自同构, 记为 ${\mathrm{Ad}}_g$. 由于 $\exp$ 的函子性, ${\mathrm{Ad}}_g$ 和 $\exp$ 可以交换.

我们同样记 $\mathrm{Ad}:G\to \mathrm{GL}(\mathfrak{g})$, 其诱导李代数之间的态射 $\mathrm{ad}:\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$. 那么可以证明

性质. $(1)$ $\mathrm{ad}(x)(y)=[x,y]$;

$(2)$ $\mathrm{ad}[x,y]=\mathrm{ad}x\mathrm{ad}y-\mathrm{ad}y\mathrm{ad}x$.

这就给出了我们想要的李代数结构.

设 $\mathfrak{h}$ 是 $\mathfrak{g}$ 作为线性空间的子空间. 若 $[\mathfrak{h},\mathfrak{h}]\subset \mathfrak{h}$, 则称其为 $\mathfrak{g}$ 的子代数.

若 $[\mathfrak{g},\mathfrak{h}]\subset \mathfrak{h}$, 称其为 $\mathfrak{g}$ 的理想. $\mathfrak{h}$ 上有典范的李括号.

定理. 设 $H\subset G$ 为李子群, $\mathfrak{h}\subset \mathfrak{g}$ 为子代数. 若 $H⊲G$, 那么 $\mathfrak{h}\subset \mathfrak{g}$ 为理想, 且 $G/H$ 的李代数同构于 $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$.

作为对李群的类比, 对一个流形 $M$, 我们可以考虑其全体光滑自同胚 $\mathrm{Diff}(M)$. 一般来说, 这不是李群. 考虑单参微分自同胚 ${\phi }^t:M\to M$, 对每个 $m\in M$, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\phi }^t$ 在 $t=0$ 给出一个向量场. 因此, 对很靠近恒等的自同胚, 我们可以将其视为 $M$ 上向量场. 因此 $M$ 上的全体向量场 $\mathrm{Vect}(M)$ 可视为对 “李代数” 这一概念的模拟.

设 $\xi$ 是一个向量场, 我们考虑其 “流动”${\Phi }_{\xi }^t:M\to M$. 那么存在唯一一个 $[\xi ,\eta ]$, $${\Psi }_{\xi }^t{\Psi }_{\eta }^s{\Psi }_{{\xi }^{-1}}^t{\Psi }_{{\eta }^{-1}}^s={\Psi }_{[\xi ,\eta ]}^{t}s+(\mathrm{deg}\ge 3\text{terms}).$$

$[-,-]$ 可按如下方式定义: $${\partial }_{[\eta ,\xi ]}f={\partial }_{\eta }({\partial }_{\xi }f)-{\partial }_{\xi }({\partial }_{\eta }f).$$

$[\xi ,\eta ]=\frac{d}{dt}({\Psi }_{\xi }^t{)}_{\ast }\eta (\gamma (-t))$. 如果我们取坐标卡 $x^i$, 我们可以计算: $$[f_i\frac{\partial }{\partial x^i},g_i\frac{\partial }{\partial x^i}]=(f_i\frac{\partial g_j}{\partial x^i}-g_i\frac{\partial f_j}{\partial x^i})\frac{\partial }{\partial x^j}.$$

定义李群 $G$ 在流形 $M$ 上的作用是一个光滑映射 $\rho :G\to \mathrm{Diff}(M)$. 这个映射诱导 ${\rho }_{\ast }:\mathfrak{g}\to \mathrm{Vect}(M)$, 可以视为 “无穷小位移”.

定义. 作用 $\rho :G\to M$ 下, 定义 $m\in M$ 的稳定化子为$$G_m=\{g\mid gm=m,\forall g\in G\}.$$这是 $G$ 的一个闭李子群. 其李代数为$$\mathfrak{h}=\{x\in \mathfrak{g}\mid {\rho }_{\ast }(x)(m)=0\}.$$

$G/G_m\to M,g\mapsto gm$ 是一个浸入. 我们定义其像为 ${\mathcal{O}}_m$. 有 $T_m({\mathcal{O}}_m)=\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$.

设 $A$ 是一个域 $k(=\mathbb{R}\text{或}\mathbb{C})$ 上的有限维结合代数, 那么 $\mathrm{Aut}(A)$ 是一个李群. 我们定义$$\mathrm{Der}(A)=\mathrm{Lie}(\mathrm{Aut}(A)).$$

定义. 对李群 $G$, 定义其中心 $Z(G)$ 为和一切元素交换的元素. 对李代数 $\mathfrak{g}$, 定义其中心为 $\{x\in \mathfrak{g}\mid [x,y]=0,\forall y\in \mathfrak{g}\}.$

接下来我们介绍 Campbell-Hausdorff 定理. 这个定理告诉我们, 李群的 “非交换” 结构的信息由其李代数完全确定.

定理. 对上面定义的 $\mu (x,y)$, 我们可以用李括号完全决定更高阶的小量: $$\mu (x,y)=x+y+\frac{1}{2}[x,y]+\frac{1}{12}([x,[x,y]]+[y,[y,x]])+\cdots .$$

这说明李群和李代数在一定程度上 “相互对应”. 由此我们可以相信下面的定理:

定理. $(1)$ 设 $G$ 是连通李群, $\mathfrak{g}$ 是其李代数.

$G\supset H\mapsto \mathrm{Lie}(H)$ 给出 $G$ 的连通李子群和 $\mathfrak{g}$ 的子代数之间的双射.

$(2)$ 若 $G_1,G_2$ 是李群, $G_1$ 单连通, 则一切 $G_1\to G_2$ 的态射由对应李代数之间的态射诱导.

$(3)$ 设 $\mathfrak{g}$ 是有限维李代数, 那么存在唯一的单连通李群 $G$, 使其以 $\mathfrak{g}$ 为李代数. 其余以 $\mathfrak{g}$ 为李代数的连通李群为 $G/Z$, 其中 $Z$ 为 $G$ 的离散子群.

用抽象废话来说, 有限维李代数范畴和单连通李群范畴是等价的.

我们可以将一个实的李代数进行复化. 对一个实李代数 $\mathfrak{g}$, 我们定义其复化为$${\mathfrak{g}}_{\mathbb{C}}=\mathfrak{g}\otimes \mathbb{C}.$$称 $\mathfrak{g}$ 为 ${\mathfrak{g}}_{\mathbb{C}}$ 的实形式.

例子. 取 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$, 则 ${\mathfrak{g}}_{\mathbb{C}}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$.

取 $\mathfrak{g}=\mathfrak{u}(n)$, 则 ${\mathfrak{g}}_{\mathbb{C}}=\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})$.

设 $G$ 是一个连通复李群, $\mathfrak{g}$ 是其李代数, $K\subset G$ 是一个实闭李子群. 若 $\mathrm{Lie}(K)$ 是 $\mathfrak{g}$ 的实形式, 则称 $K$ 为 $G$ 的实形式.

例子. 接下来, 我们来重点关注 $\mathfrak{so}(3,\mathbb{R})$, $\mathfrak{su}(2)$ 和 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$.

对 $\mathfrak{so}(3,\mathbb{R})$, 我们取$$J_x=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),J_y=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right),J_z=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$于是$$[J_x,J_y]=J_z,[J_z,J_x]=J_y,[J_y,J_z]=J_x.$$

$\mathfrak{su}(2)$ (其包含全体迹 $0$ 的反 Hermite 矩阵) . 取$$\mathrm{i}{\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& \mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right),\mathrm{i}{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),\mathrm{i}{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& 0\\ 0& -\mathrm{i}\end{array}\right)$$于是$$[\mathrm{i}{\sigma }_1,\mathrm{i}{\sigma }_2]=-2\mathrm{i}{\sigma }_3,[\mathrm{i}{\sigma }_3,\mathrm{i}{\sigma }_1]=-2\mathrm{i}{\sigma }_2,[\mathrm{i}{\sigma }_2,\mathrm{i}{\sigma }_3]=-2\mathrm{i}{\sigma }_1.$$

对 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$, 我们取$$e=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),f=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),h=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$$$[e,f]=h,[h,e]=2e,[h,f]=-2f.$$

这几个李代数之间有着密切的关系. 首先, 我们知道 $\mathrm{SU}(2)$ 是 $\mathrm{SO}(3)$ 上的二重覆叠, 这就给出了相应的实李代数 (切空间) 的同构: $$\mathrm{i}{\sigma }_1\mapsto -2J_x,\mathrm{i}{\sigma }_2\mapsto -2J_y,\mathrm{i}{\sigma }_3\mapsto -2J_z.$$

作为实流形有嵌入 $\mathrm{SU}(2)\to \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$. 这给出实李代数的嵌入: $$\mathfrak{su}(2)\to \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}).$$但 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 实际上是复李代数. 因此有$$\mathfrak{su}(2{)}_{\mathbb{C}}\to \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}).$$这是一个同构, 其具体表达式为$$\mathrm{i}{\sigma }_1\mapsto \mathrm{i}(e+f),\mathrm{i}{\sigma }_2\mapsto e-f,\mathrm{i}{\sigma }_3\mapsto \mathrm{i}h.$$

在上面的各个李代数的例子里, 我们都可以定义一个双线性型: $$x,y\mapsto -\mathrm{Tr}(xy),$$这个双线性型在 $\mathrm{Ad}G$ 的作用下保持不变.

2一点表示论

这一部分主要介绍表示论当中的一些基本结果. 如无特殊声明, 我们总是考虑有限维的复表示.

设 $G$ 是李群, $\mathfrak{g}$ 是其李代数, $V$ 是一个有限维的复线性空间.

定义. 一个李群 $G$ 的表示是指一个线性空间 $V$ 连同同态 $\rho :G\to \mathrm{GL}(V)$.

一个李代数 $\mathfrak{g}$ 的表示是指一个线性空间 $V$ 连同李代数同态 $\rho :\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(V)$.

两个李群的表示之间的态射是指一个线性映射 $V\to V^{\prime }$, 与群元素的作用交换. 李代数的表示之间的态射是类似的.

性质. 一个李群表示 $\rho :G\to \mathrm{GL}(V)$ 诱导一个李代数的表示 $\rho :\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(V)$.

若 $G$ 单连通, 则 $G$ 和 $\mathfrak{g}$ 的表示之间有一一对应, 这是一个范畴等价.

李群的具体结构一般比较复杂, 但其李代数是有限维的, 所以研究李代数的表示是比较方便的. 如果 $G$ 不是单连通, 我们可以商去一个离散子群, 再取其万有覆叠.

我们知道, 一个 $G$ 的复表示相当于一个 $\mathbb{C}[G]$-模. 我们可以用研究模的方式来研究表示.

引理. 设 $\mathfrak{g}$ 是李代数, ${\mathfrak{g}}_{\mathbb{C}}$ 是其复化, 则 $\mathfrak{g}$ 与 ${\mathfrak{g}}_{\mathbb{C}}$ 的表示是等价的.

定义. 子表示: 若 $W\subset V$ 是子空间, 且在 $G$ 下稳定, 则为子对象.

按我们熟知的方式, 可以得到商表示.

直和与张量积: 两个空间 $V_1,V_2$ 上的 $G$ 作用可以得到 $V_1\oplus V_2,V_1\otimes V_2$ 上的 $G$ 作用, 分别称为表示的直和与张量积.

李代数作用在张量积上的方式略有不同: $\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(V_1\otimes V_2),v(x\otimes y)={\rho }_1(v)x\otimes y+x\otimes {\rho }_2(v)y$.

定义. 伴随表示: $V$ 的对偶空间 $V^{\ast }$ 上有自然的 $G$ 表示结构: $${\rho }^{\ast }(g)(v^{\ast })=\overline{\rho (g^{-1}{)}^t}{v}^{\ast }.$$

表示 $\mathrm{Hom}(V,W{)}^G={\mathrm{Hom}}_G(V,W)$.

定义. 若 $V$ 没有真子表示, 称其为不可约表示.

如果 $V$ 不能写成两个真子表示的直和, 称其为不可分解表示.

定义. 称 $V$ 是半单的, 如果 $V$ 可以写成不可约表示的直和. 在有限的情况, 我们可以把一个半单表示写成 $V=⨁V_i^{n_i}$.

定理. 设 $A:V\to V$ 是表示的态射. 若 $A$ 半单 (可对角化) , 那么每个特征子空间 $V_{\lambda }$ 都是子表示.

推论. (Schur 引理) 若 $V$ 不可约, $V\to V$ 的同态只可能是恒等的常数倍.

若 $V,W$ 是不同构的不可约表示, 那么 $V\to W$ 的表示态射只有零态射.

推论. 设 $V=⨁V_i^{n_i}$, $V_i$ 是互不同构的不可约表示, $\phi$ 是 $V\to V$ 的表示态射. 那么 $\phi$ 形如 $\oplus {\phi }_i$.

性质. 若 $G$ 交换, $G$ 的不可约表示都是一维的.

定义. 一个酉表示是指一个表示 $V$ 配上一个非退化 Hermite 双线性型, 使得 $G$ 作用保持此双线性型.

对李代数, 相应的条件是 $(\rho (g)v,w)+(v,\rho (g)w)=0$.

对酉表示来说, 我们可以取一个子表示的正交补, 从而任一可约表示是可分解的.

3Haar 测度

我们总是希望通过巧妙地选取 Hermite 型, 把一个表示变成酉表示. 在有限群的时候, 只要取出一个 Hermite 型 $(-,-)$, 并对 $G$ 取平均: $$\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}(gx,gy).$$这就有了我们想要的双线性型.

为了过渡到连续版本, 我们希望使用积分来代替求和: $${\int }_G(gx,gy)\mathrm{d}g.$$

要实现积分, 首先要求可定向性. 好在对李群来说, 这是自动满足的: 在单位元处任意选取一个标架, 通过李群的平移作用, 我们自然能够将其延拓到整个李群上, 保持光滑性与非退化性. 从而李群总是可以定向的.

其次, 出于对积分收敛性的考虑, 我们希望操作紧支的函数. 但不幸的是, 通常我们还希望我们的对象有 $G$ 不变性. 所以我们假定 $G$ 是紧李群. 我们有$$C(G)\to \mathbb{C},f\to {\int }_{G}f\omega .$$如果 $f\ge 0$, 这是一个线性泛函. 根据 Riesz 表示定理, 我们可以得到一个 Borel 测度 $\mu$, 使得$${\int }_{G}f\omega ={\int }_{G}f\mathrm{d}\mu .$$$\omega$ 的 $G$ 左乘不变性给出 $\mu$ 的左平移不变性. 称其为李群 $G$ 的 Haar 测度.

性质. 紧李群上的 Haar 测度在相差一个常数因子的意义下是唯一的.

其证明使用了测度论中的 Lesbesgue-Radon-Nikodym 定理, 我们不在此给出.

我们总是可以适当地选择常数, 使得$${\int }_X\mathrm{d}\mu =1.$$

性质. 紧李群 $G$ 上的 Haar 测度还是右不变的.

证明概要. 对 $t\in g$, ${\mu }_t:A\to \mu (At)$ 也是一个左不变的 Haar 测度. 于是 ${\mu }_t$ 和 $\mu$ 相差一个常数 $\Delta (t)$. 可以证明这是一个从 $G$ 映到 ${\mathbb{R}}^{\times }$ 的连续函数. 但连续函数总把紧集映到紧集, 而 ${\mathbb{R}}^{\times }$ 的紧子群只有 $1$.

$\square$

有了 Haar 测度, 参考之前 “取平均” 的证明思路, 很容易证明有限维表示 $V$ 都是半单的. 事实上, 对无限维表示同样如此: 考虑 $V$ 的子表示族 $\{V_i\}$, 使得同一族中的表示空间两两交为 $0$. 应用 Zorn 引理即可得到证明.

性质. 紧李群的不可约表示都是有限维的.

证明需要一点泛函分析的知识. 我们在此呈现黎景辉《拓扑群引论》中对紧群给出的更一般的证明:

证明.

证明. 设 $(\pi ,V)$ 是紧群的酉表示. 我们不妨设 $V$ 是 Hilbert 空间, $\pi$ 是循环的, $u\in V$ 是相应模长 $1$ 的循环向量. 考虑新的内积$$⟨v,w⟩={\int }_G(\pi (x)v,u)(u,\pi (x)v)\mathrm{d}x.$$根据 Cauchy-Schwartz 不等式, $⟨v,w⟩\le \Vert v\Vert \Vert w\Vert$. 于是存在有界 Hermite 算子 $A$, 使得 $⟨v,w⟩=(Av,w)$. 有$$(Av,v)={\int }_G|(\pi (x)v,u){|}^2\mathrm{d}x\ge 0,$$同时 $x\mapsto (\pi (x)v,u)$ 连续, $(Av,v)=0$ 可推出 $(\pi (x)v,u)=0$ 对一切 $x$ 成立, 故 $v=0$. 如果 $v\ne 0$ 使得 $Av=\lambda v$, 则有 $\lambda >0$. 又由于$$\begin{array}{rl}(A\pi (x)v,w)& ={\int }_G(\pi (s)\pi (s)v,u)(u,\pi (s)w)\mathrm{d}s\\ & ={\int }_G(\pi (s)v,u)(u,\pi (s{x}^{-1})w)\mathrm{d}s)\\ & =(Av,\pi (x^{-1})w)=(\pi (x)Av,w),\end{array}$$$\pi (x)$ 和 $A$ 可以交换. 令 $V_{\lambda }=\{v\in V\mid Av=\lambda v\}$, 则 $\pi (x)V_{\lambda }\subset V_{\lambda }$.

下面我们来证明 $A$ 是一个紧算子. 在 Hilbert 空间里, 我们只用证 $A$ 将弱收敛序列映为按范数收敛的序列.

设 $v_n$ 弱收敛于 $v$, 则由 Banach-Steinhaus 定理, 存在 $M$ 使得 $\Vert v_n\Vert \le M$. 于是$$|(\pi (x)v_n,u)(u,\pi (s)v_n)(\pi (s{x}^{-1})u,u)|\le M^2.$$故根据 Lesbesgue 控制收敛定理, $$\begin{array}{rl}\underset{n\to +\infty }{\lim }\Vert A{v}_n{\Vert }^2& =\underset{n\to \infty }{\lim }(A{v}_n,A{v}_n)\\ & =\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_G(\pi (x)v_n,u)(u,\pi (x)A{v}_n)\mathrm{d}x\\ & =\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_G{\int }_G(\pi (x)v_n,u)(u,\pi (s)v_n)(\pi (s)\pi (x^{-1})u,u)\mathrm{d}x\mathrm{d}s\\ & ={\int }_G{\int }_G(\pi (x)v,u)(u,\pi (s)v)(\pi (s)\pi (x^{-1})u,u)\mathrm{d}x\mathrm{d}s=\Vert A_v{\Vert }^2.\end{array}$$同时 $\underset{n\to +\infty }{\lim }(Av,A(v-v_n))=0$. 由此可以推出 $\underset{n\to +\infty }{\lim }\Vert Av-A{v}_n\Vert =0$, 因此 $A$ 是紧算子.

于是根据紧算子的谱分解定理, V=\bigoplus_\limits{\lambda}V_\lambda. 同时 $\dim (V_{\lambda })<+\infty$. 每个 $V_{\lambda }$ 都是不变的.

$\square$

注 3.1.

由证明过程可以看出, 若 $\pi$ 可和紧算子交换, 则 $\pi$ 可写成有限维不可约表示的直和.

4Peter-Weyl 定理

我们知道, $L^2$ 周期函数可以展成 Fourier 级数. 如何看待这一事实? 通过表示论当中的一些结果, 我们可以给这一现象一个比较合理的解释.

定理. 设 $V,W$ 是两个不同构的 $G$ 的有限维不可约表示, 以 ${\rho }_{ij}^V(g)$ 表示某组基下矩阵 ${\rho }^V(g)$ 的 $ij$ 分量, 则$${\int }_G{\rho }_{ij}^V(g)\overline{{\rho }_{kl}^W(g)}=0.$$如若 $f:V\to V$ 是表示态射, 那么$${\int }_G{\rho }_{ij}^V(g)\overline{{\rho }_{kl}^V(g)}=\frac{{\delta }_{ik}{\delta }_{jl}}{\dim V}.$$

对有限维表示 $V$, 我们选取一个 Hermite 内积 $(-,-)$ 使得 $V$ 成为一个酉表示, 那么对偶空间 $V^{\ast }$ 上也就有了相应的 Hermite 内积, 使其同样成为一个酉表示. 我们同样可以在空间 $C^{\infty }(G)$ 上定义一个内积: $$(f_1,f_2)={\int }_G{f}_1(g)\overline{f_2(g)}\mathrm{d}g.$$于是上面的 ${\rho }_{ij}^{V}g$ 成为 $C^{\infty }(G)$ 中两两正交的向量.

定义. 我们定义 $m:\underset{V_i\in \mathrm{Irr}(G)}{⨁}{V}_i^{\ast }\otimes V_i\to C^{\infty }(G)$,$$f\otimes v\mapsto (g\mapsto f(gv)).$$

其中 $V_i$ 上和 $V_i^{\ast }$ 上的内积诱导 $V^{\ast }\otimes V$ 上的内积: $$(f_1\otimes v_1,f_2\otimes v_2)=\frac{(f_1,f_2)(v_1,v_2)}{\dim V},$$进而诱导 $\underset{V_i\in \mathrm{Irr}(G)}{⨁}{V}_i^{\ast }\otimes V_i$ 上的内积. 不难发现 $m:V\otimes V^{\ast }\to C^{\infty }(G)$ 保内积, 因此是一个单射. 两边进行完备化, 我们得到$$\overline{⨁(V_i^{\ast }\otimes V_i)}\to L^2(G).$$由于映射保持内积, 这还是一个单射.

性质. 上述映射是满射.

证明.

我们使用如下的 Weierstrass-Stone 定理: 任意可区分点的、含 $1$ 的、对取复共轭封闭的子代数可以逼近连续函数.

我们想要证明: $⨁V_i^{\ast }\otimes V_i$ 的像满足定理条件, 从而在 $C(G)$ 内稠密, 因此其闭包是整个 $L^2(G)$. 注意到, $L^2(G)$ 是一个 $G$ 的酉表示, 因而是不可约表示的直和.

我们不妨把其中一个点取成单位元. 对任意 $g\ne 1$, 取一个 $1$ 的开邻域 $U$, 使得 $U\cap gU=\varnothing$. 于是 $g$ 在 $1_U$ 上的作用非平凡, 从而在 $L^2(g)$ 的某个不可约子表示 $V_i$ 上作用非平凡. 于是直和项 $V_i^{\ast }\otimes V_i$ 即可区分 $g$ 和 $1$. 剩余条件是容易验证的. 于是上述映射的像可以逼近连续函数, 从而取闭包后是整个 ${\mathrm{L}}^2(G)$.

$\square$

矩阵的系数给出 $V_i^{\ast }\otimes V_i$ 的一组正交基底. 于是有推论:

推论. 所有不可约表示在某组基下的矩阵系数 ${\rho }_{ij}^V(g)$ 构成 ${\mathrm{L}}^2(G)$ 的一组正交基.

例子. 现在我们来用表示论的观点看待 Fourier 级数.

考虑环面 ${\mathbb{T}}^n$, 其 Haar 测度继承自 ${\mathbb{R}}^n$. 由于环面是交换的, 其不可约表示是 $1$ 维的. 给一个标准参数化$$({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_1},\dots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_n}).$$一个 ${\mathbb{T}}^n$ 的一维表示需要满足 Cauchy 方程, 在光滑的条件下可以得到其为线性函数. 从而其由$$({\theta }_1,\dots ,{\theta }_n)\mapsto (m_1{\theta }_1,\dots ,m_n{\theta }_n),m_1,\dots ,m_n\in \mathbb{Z}$$给出. 按照前面的定理, 我们得到$$({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_1},\dots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_n})\mapsto ({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{m}_1{\theta }_1},\dots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{m}_n{\theta }_n}),m_1,\dots ,m_n\in \mathbb{Z}.$$是 ${\mathrm{L}}^2({\mathbb{T}}^n)$ 上的一组正交基. 这正是我们通常进行的 Fourier 展开.

除了矩阵系数之外, 我们还经常考虑不可约表示的特征标. 模仿有限群的情形, 可以得到其定义: $${\chi }_V(g)=\mathrm{Tr}(\rho (g))=\sum _i{\rho }_{ii}^V(g).$$但我们知道特征标在共轭作用下是不变的, 所以我们能够逼近的 ${\mathrm{L}}^2(G)$ 中的函数也应如此:

性质.

$\{{\chi }_V\mid V\in \mathrm{Irr}(G)\}$ 构成 $({\mathrm{L}}^2(G){)}^{\mathrm{Ad}}$ 的一组正交基. 其中 $({\mathrm{L}}^2(G){)}^{\mathrm{Ad}}$ 是指 ${\mathrm{L}}^2(G)$ 中在 $G$ 共轭作用下不变的部分.

5$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 的不可约表示 (正在码字)

如果没有特别声明, 我们总是研究有限维的不可约表示.

我们知道, $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 是 $\mathfrak{su}(2)$ 的复化. 所以它们的有限维复表示是一样的.

和之前一样, 我们取基$$e=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),f=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),h=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$$$[e,f]=h,[e,h]=-2e,[f,h]=2f.$$在这个矩阵表达式里, $e,f$ 不可对角化, 但 $h$ 可以. 如果任给定一个不可约表示 $V$, 我们能不能也将其分解成为 $h$ 的特征子空间的直和?

性质. $V=\underset{\lambda }{⨁}{V}_{\lambda }$, 其中 $\lambda$ 取遍 $h$ 的特征值.

证明. 我们只要证明上式右侧是 $\mathfrak{g}$ 不变的.

对 $v\in V_{\lambda }$, $hfv=fhv-2fv=(\lambda -2)fv$. 于是 $fv\in V_{(\lambda -2)}.$

类似地, $ev\in V_{(\lambda +2)}$. 于是 $\underset{\lambda }{⨁}{V}_{\lambda }$ 是 $\mathfrak{g}$ 不变的.

$\square$

我们看到一个有趣的现象: 在这个分解里, $e$ 和 $f$ 的作用分别使这个分解中的 $\lambda$ ——我们暂且称为权——增加 $2$ 和减少 $2$. 由于 $V$ 是有限维的, 我们取使得 $V_{\lambda }\ne 0$ 的 $\lambda$ 中实部最大者 ${\lambda }_0$ ($V_{{\lambda }_0}$ 中的元素称为 “最高权向量”) . 此时 $e$ 的作用已不能使权继续增大, 故 $e$ 在 $V_{{\lambda }_0}$ 上的作用是 $0$.

性质. 取 $v\in V_{{\lambda }_0}$, 那么$$V=\underset{n\ge 0}{⨁}\mathbb{C}{f}^{n}v.$$

证明概要. 和之前的思路完全一致, 我们只需要证明右端对 $e,f,h$ 都不变即可.

由于 $v$ 是最高权向量, $ev=0$, 且 $hv={\lambda }_{0}v$. 对 $n$ 归纳不难证明: $$h{f}^{k}v=({\lambda }_0-2k)f^{k}v,e{f}^{k}v=k({\lambda }_0-k+1)f^{k-1}v,$$

从而右端是 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 不变的.

$\square$

由于 $V$ 是有限维的, 存在一个最大的 $n$, 使得 $f^{n}v\ne 0$, 于是 $e{f}^{n+1}v=n({\lambda }_0-n)f^{n}v=0$. 从而我们得到 ${\lambda }_0=n$, 且 $f^{n+1}v=0$. 于是$$V=\underset{0\le k\le n}{⨁}{V}_{{\lambda }_0-2k},$$且每个 $V_{{\lambda }_0-2k}$ 由 $f^{k}v$ 张成.

反过来, 对每个自然数 $n$, 都可以构造一个 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 的不可约表示使得 $n$ 为最高权, 且 $e,f,h$ 的作用如上所述. 这样, 我们就分类了 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 的所有有限维不可约表示.

例子. 我们来考虑 $\mathrm{SO}(3)$ 的表示.

$\mathrm{SU}(2)\to \mathrm{SO}(3)$ 的核为 $\pm I$. 观察到 $-I=\exp \left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}\pi & 0\\ 0& -\mathrm{i}\pi \end{array}\right)=\exp (\mathrm{i}\pi h)$, $\mathrm{i}\pi h\in \ker \rho$. 故 $\mathrm{SO}(3)$ 的有限维表示恰好是 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 的表示中 ${\lambda }_0$ 为偶数的那些诱导出来的表示.

例子. 有了 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 的例子, 我们来研究 $\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})$ 的表示.

我们取基$$E_{ij}(i\ne j),E_{11}-E_{22},E_{11}-E_{33}.$$我们记 $\mathfrak{h}=\mathrm{span}(E_{11}-E_{22},E_{11}-E_{33})$. 刚才我们找了 $h$ 的特征子空间, 现在我们要对 $\mathfrak{h}$ 做这件事.

记 $V_{\lambda }=\{v\in V\mid \forall A\in \mathfrak{h},Av=\lambda (A)v,\lambda (A)\in \mathbb{C}\}.$

完全一致的论证给出$$V=\underset{\lambda }{⨁}{V}_{\lambda }.$$与之前不同的是, 现在 $\lambda (A)$ 是由 $\lambda (E_{11}-E_{22})$ 和 $\lambda (E_{11}-E_{33})$ 两个参数决定的.

先前有关于 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 表示的讨论也会有所帮助, 因为 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 可以以很多种方式嵌入 $\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})$ 作为子代数. 比如, $E_{11}-E_{22},E_{12},E_{21}$ 生成的子代数同构于 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$. 我们知道, $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 的表示的权具有 “对称性”, 所以 $\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})$ 的表示的也具有某个方向上的对称性. 反映在图中, 也就是 $E_{12}$、$E_{21}$ 所对应的 “移动方向”.

对剩余两个方向, 也同样如此. 于是表示的权应该在三个方向都具有对称性. 我们在图中展示几个不可约表示:

6泛包络代数与 PBW 定理

接下来我们使用一些比较代数的手段来研究李代数本身的结构. 如果你愿意, 甚至可以暂时把李群的概念忘掉. 如无特殊声明, 我们讨论的都是域 $k$ 上有限维的李代数.

在李代数上, 我们最感兴趣的是满足反对称性和 Jacobi 恒等式的李括号 $[-,-]$. 在我们曾经见过的许多例子里, 这个李括号都是以 “交换子” 的身份出现的: $$[x,y]=xy-yx.$$但对抽象的李代数来说, 我们并没有这样一个乘法, 使得这个关系成立.

为此, 我们要制造出这样一个乘法来. 对任意线性空间 $V$, 如何形式地在 $V$ 上给出一个结合的乘法? 答案是考虑如下的张量代数: $$TV=\underset{n\ge 0}{⨁}{T}^{n}V,T^{0}V=k,T^{n}V=V^{\otimes n}.$$这是一个 $k$ 代数, 其上的乘法由$$(v_1\otimes \cdots \otimes v_m)\cdot (w_1\otimes \cdots \otimes w_n)=v_1\otimes \cdots \otimes v_m\otimes w_1\otimes \cdots \otimes w_n$$给出. 其中 $v_1\otimes \cdots \otimes v_m,w_1\otimes \cdots \otimes w_n$ 和 $v_1\otimes \cdots \otimes v_m\otimes w_1\otimes \cdots \otimes w_n$ 分别视作 $T^{m}V,T^{n}V$ 和 $T^{m+n}V$ 中的元素.

上面构造的张量代数 $TV$ 是 $k$ 模范畴到结合 $k$ 代数范畴的自由函子. 对任意 $k$ 代数 $A$ 和 $k$ 模同态 $V\to A$, 唯一的 $k$ 代数同态 $TV\to A$ 使得如下图表交换:

定义. 对李代数 $\mathfrak{g}$, 定义其泛包络代数 $U\mathfrak{g}$ 如下: $$U\mathfrak{g}=T\mathfrak{g}/(xy-yx-[x,y]),x,y\in \mathfrak{g}.$$

从 $TV$ 的泛性质就可以看出, 这是我们最 “经济” 的构造乘法的方式. 具体来说, 有如下性质:

性质. 设 $A$ 是 $k$ 代数, $\rho :\mathfrak{g}\to A$ 是 $k$ 线性映射, 使得 $\rho (x)\rho (y)-\rho (y)\rho (x)=\rho ([x,y])$, 则有唯一的一个代数同态 $U\mathfrak{g}\to A$, 使得如下图表交换:

回忆一个李代数表示是指一个李代数同态 $\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(V)={\mathrm{End}}_k(V)$, 我们可以将其提升为一个代数 $U\mathfrak{g}$ 的表示. 换言之, 一个李代数 $\mathfrak{g}$ 的表示相当于一个 $U\mathfrak{g}$ 模. 于是我们可以用研究结合代数表示的方法来研究李代数的表示.

例子. 如果李代数 $\mathfrak{g}$ 是交换的, 即李括号 $[x,y]=0$, 那么 $U\mathfrak{g}=S\mathfrak{g}$ 是 $\mathfrak{g}$ 上的对称代数.

需要注意的是, 尽管我们之前经常以矩阵表示李代数中的元素, 但是泛包络代数的乘法和矩阵的乘法未必是一样的. 比如在 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 里, $e,f,g$ 如我们之前所选取. 如果考虑矩阵乘法, 那么 $e^2=0$. 但是在泛包络代数 $U\mathfrak{g}$ 中, $e^2\ne 0$. 这是因为矩阵的乘法是 “外来” 的东西, 而非李代数本身所反映的结构. 正如我们在上一讲中看到的那样, 在大部分 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 的表示里, $e^2\ne 0$.

现在我们来关注 $U\mathfrak{g}$ 的具体结构. 首先, $U\mathfrak{g}$ 是否继承了 $T\mathfrak{g}$ 的分次结构? 答案显然是否定的, 因为对两个二次齐次元素 $xy,yx$, $xy-yx=[x,y]$ 是一次的. 但是如果我们考虑 $U\mathfrak{g}$ 中不多于 $m$ 个元素乘积生成的 $k$ 线性空间 $U^m\mathfrak{g}$, 那么$$k=U^0\mathfrak{g}\subset U^1\mathfrak{g}\subset \cdots ,$$$$U\mathfrak{g}=\bigcup _{n\ge 0}{U}^n\mathfrak{g}.$$构成 $U\mathfrak{g}$ 的一个升滤.

性质. 有如下性质:

$(1)$ 若 $x\in U^p\mathfrak{g},y\in U^q\mathfrak{g}$, 则 $xy\in U^{p+q}\mathfrak{g}$.

$(2)$ 若 $x\in U^p\mathfrak{g},y\in U^q\mathfrak{g}$, 则 $[x,y]\in U^{p+q-1}\mathfrak{g}$.

$(3)$ 取 $\mathfrak{g}$ 作为线性空间的一组基 $x_1,\dots ,x_n$. 那么 $U^m\mathfrak{g}$ 作为线性空间由形如$$x_1^{p_1}\cdots x_n^{p_n},p_1+\cdots p_n\le m$$的元素生成 (注意 $U\mathfrak{g}$ 不交换, 这里 $x_1,\dots ,x_n$ 出现的顺序是固定的.) .

这些性质都不难用归纳的方式证出来, 我们将其留给有兴趣的读者.

推论.

$(1)$ 每个 $U^m\mathfrak{g}$ 都是有限维的;

$(2)$ 借由 $U\mathfrak{g}$ 的滤结构定义的分次代数$$\mathrm{Gr}U\mathfrak{g}\underset{n\ge 0}{⨁}{U}^n\mathfrak{g}/U^{n-1}\mathfrak{g},U^{-1}\mathfrak{g}=0$$是交换的.

我们还想寻求 $U\mathfrak{g}$ 的一组基. 最自然的想法是诉诸上述性质 $(3)$ 中给出的元素 $x_1^{p_1}\cdots x_n^{p_n}$. 幸运的是, 这确实是一组基. 这就是下面我们叙述的 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理 (以下简称 PBW 定理) :

定理 (Poincaré-Birkhoff-Witt). 设 $x_1,\dots ,x_n$ 是 $\mathfrak{g}$ 作为线性空间的一组基, 那么$$x_1^{p_1}\cdots x_n^{p_n}$$构成 $U\mathfrak{g}$ 的一组基.

换言之, 有自然的同构 $S\mathfrak{g}\to \mathrm{Gr}U\mathfrak{g}$.

证明概要.

证明概要. 为了证明线性无关性, 我们需要一个合适的表示, 使得这些元素的作用是线性无关的. 注意到定理断言 $\mathrm{Gr}U\mathfrak{g}\cong S\mathfrak{g}$, 我们可以考虑建立一个 $U\mathfrak{g}$ 在 $S\mathfrak{g}$ 上的表示. 我们要求$$\rho (x_i)(x_{j_1}\cdots x_{j_n})=x_i{x}_{j_1}\cdots x_{j_n}$$如果 $i\le j_1\le \cdots j_n$. 但我们还需要对 $i>j_1$ 的情形确定 $\rho (x_i)$ 在 $x_{j_1}\cdots x_{j_n}$ 上的作用. 借助如下关系$$\begin{array}{rl}\rho (x_i)x_{j_1}\cdots x_{j_n}& =\rho (x_i)\rho (x_{j_1})x_{j_2}\cdots x_{j_n}\\ & =\rho (x_{j_1})\rho (x_i)x_{j_2}\cdots x_{j_n}+\rho ([x_i,x_{j_1}])x_{j_2}\cdots x_{j_n},\end{array}$$我们可以降低表达式的 “次数”. 通过归纳地构造映射 $U\mathfrak{g}\otimes (\underset{0\le i\le n}{⨁}{S}^i\mathfrak{g})\to S\mathfrak{g}$, 我们得到一个良好定义的映射 $U\mathfrak{g}\to \mathrm{End}(S\mathfrak{g})$. 最后只要验证这是一个李代数表示.

$\square$

由 PBW 定理, 我们可以得到一些有用的推论:

推论. $(1)$ $\mathfrak{g}\to U\mathfrak{g}$ 是单射;

$(2)$ 若 ${\mathfrak{g}}_1,{\mathfrak{g}}_2$ 是 $\mathfrak{g}$ 的子代数, 且作为线性空间有 $\mathfrak{g}={\mathfrak{g}}_1\oplus {\mathfrak{g}}_2$, 那么作为线性空间, $U\mathfrak{g}=U{\mathfrak{g}}_1\otimes U{\mathfrak{g}}_2$.

$(3)$ 代数 $U\mathfrak{g}$ 没有零因子.

$(4)$ 如果 $\mathrm{Char}k=0$, 那么作为 $\mathfrak{g}$ 的表示 (而非代数) , 我们有同构$$S\mathfrak{g}\to U\mathfrak{g},$$$$x_1\cdots x_p\mapsto \frac{1}{p!}\sum _{\sigma \in S_p}{x}_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (p)}.$$

证明概要. $(1)$ 到 $(3)$ 都是简单的, 我们只稍微提示一下 $(4)$ 的证明:

容易验证这是一个 $\mathfrak{g}$ 表示的同态, 并且是单的. 由于复合 $S\mathfrak{g}\to U\mathfrak{g}\to \mathrm{Gr}U\mathfrak{g}$ 正是 PBW 定理给出的同构, 因而 $S\mathfrak{g}$ 映满 $U^n\mathfrak{g}/U^{n-1}\mathfrak{g}$, 从而映满 $U^n\mathfrak{g}$, 因此映满 $U\mathfrak{g}$.

$\square$

7幂零性与可解性

我们先前已经定义过子代数的概念. 出于对结合代数的模仿, 我们还希望定义商代数. 为此, 我们还要定义一个类似于结合代数中 “理想” 的概念. 这就是我们之前所定义过的:

定义. 定义一个李代数的理想是指一个子空间 $\mathfrak{h}\subset \mathfrak{g}$, 使得对任意 $x\in \mathfrak{h},y\in \mathfrak{g}$, 有 $[x,y]\in \mathfrak{h}$.

对子代数 $\mathfrak{h}\subset \mathfrak{g}$, $N_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})=\{x\in \mathfrak{g}\mid [x,\mathfrak{h}]\subset \mathfrak{h}\}$ 是一个子代数, 称为 $\mathfrak{h}$ 在 $\mathfrak{g}$ 中的正规化子. 可以把 $\mathfrak{h}$ 作为 $N_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})$ 中的理想.

由于李括号总是反交换的, 我们不需要强调左理想、右理想或是双边理想.

对理想 $\mathfrak{h}\subset \mathfrak{g}$, $\mathfrak{g}$ 上的李括号诱导商空间 $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ 上的一个李括号, 从而 $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ 有李代数结构.

性质. 对李代数同态 $f:{\mathfrak{g}}_1\to {\mathfrak{g}}_2$, $\ker f$ 是 ${\mathfrak{g}}_1$ 的理想, $\mathrm{im}f$ 是 ${\mathfrak{g}}_2$ 的子代数. 同时$${\mathfrak{g}}_1/\ker f\to \mathrm{im}f.$$

性质. 设 $I_1,I_2$ 是 $\mathfrak{g}$ 的理想, 那么$$I_1+I_2=\{x+y\mid x\in I_1,y\in I_2\},$$$$[I_1,I_2]={\mathrm{span}}_k\{[x,y]\mid x\in I_1,y\in I_2\},$$以及 $I_1\cap I_2$ 都是 $\mathfrak{g}$ 的理想.

定义. 我们称 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ 为李代数 $\mathfrak{g}$ 的换位子代数, 称 $\mathfrak{z}(\mathfrak{g})=\{x\in \mathfrak{g}\mid [x,y]=0,\forall y\in \mathfrak{g}\}$ 为 $\mathfrak{g}$ 的中心.

性质. $\mathfrak{g}/[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ 是交换的, 且对任意理想 $\mathfrak{h}$, $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ 是交换的当且仅当 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\subset \mathfrak{h}$.

例子. 我们可以考虑一下 $\mathfrak{gl}(n,k)$ 和 $\mathfrak{sl}(n,k)$ 的换位子代数. 注意到对 $i\ne j$, $$[E_{ii}-E_{jj},E_{ij}]=2E_{ij},E_{ii}-E_{jj}=[E_{ij},E_{ji}],$$同时 $\mathfrak{gl}(n,k)$ 的换位子代数中元素有迹 $0$. 因而 $\mathfrak{gl}(n,k)$ 和 $\mathfrak{sl}(n,k)$ 的换位子代数都是 $\mathfrak{sl}(n,k)$.

仿照群论的情形, 我们可以通过导出列和定义可解李代数和幂零李代数.

定义. 我们定义 $\mathfrak{g}$ 的导出列 $D^i\mathfrak{g}$ 如下: $$D^0\mathfrak{g}=\mathfrak{g},D^{i+1}\mathfrak{g}=[D^i\mathfrak{g},D^i\mathfrak{g}].$$则 $D^0\mathfrak{g}\supset D^1\mathfrak{g}\supset \cdots$ 是 $\mathfrak{g}$ 的理想降链, 且 $D^i\mathfrak{g}/D^{i+1}\mathfrak{g}$ 交换.

性质. 如下条件等价:

$(1)$ 对充分大的 $n$, $D^n\mathfrak{g}=0$;

$(2)$ 存在一列子代数$$\mathfrak{g}={\mathfrak{a}}^0\supset {\mathfrak{a}}^1\supset \cdots {\mathfrak{a}}^k=0,$$使得 ${\mathfrak{a}}^{i+1}$ 是 ${\mathfrak{a}}^i$ 的理想, 且 ${\mathfrak{a}}^i/{\mathfrak{a}}^{i+1}$ 均交换.

$(3)$ 对充分大的 $n$, $$[\cdots [[[x_1,x_2],[x_3,x_4]],[[x_5,x_6],[x_7,x_8]]]\cdots ]=0$$对一切 $x_1,\cdots ,x_{2^n}$ 成立.

称满足上述三条性质的李代数为可解的.

注 7.1. 我们知道可解群与方程的根式解是关联的. 实际上, 可解李代数与一个微分方程是否能用 “积分” 的方法求解有关.

定义. 我们定义 $\mathfrak{g}$ 的降中心列 $D^i\mathfrak{g}$ 如下: $$D_0\mathfrak{g}=\mathfrak{g},D_{i+1}\mathfrak{g}=[D_i\mathfrak{g},\mathfrak{g}].$$则 $D_0\mathfrak{g}\supset D_1\mathfrak{g}\supset \cdots$ 是 $\mathfrak{g}$ 的理想降链, 且 $D^i\mathfrak{g}/D^{i+1}\mathfrak{g}$ 位于 $\mathfrak{g}/D^{i+1}\mathfrak{g}$ 的中心之内.

性质. 如下条件等价:

$(1)$ 对充分大的 $n$, $D_n\mathfrak{g}=0$;

$(2)$ 存在一列子代数$$\mathfrak{g}={\mathfrak{a}}_0\supset {\mathfrak{a}}_1\supset \cdots {\mathfrak{a}}_k=0,$$使得 $[\mathfrak{g},{\mathfrak{a}}_i]\subset {\mathfrak{a}}_{i+1}$.

$(3)$ 对充分大的 $n$, $$[\cdots [[[x_1,x_2],x_3],x_4]\cdots ]=0$$对一切 $x_1,\cdots ,x_n$ 成立 (换言之, $[\mathfrak{g},-]$ 是幂零的) .

称满足上述三条性质的李代数为幂零的.

性质. $(1)$ 若实李代数 $\mathfrak{g}$ 是可解 (幂零) 的, 那么 ${\mathfrak{g}}_{\mathbb{C}}$ 同样是可解 (幂零) 的.

$(2)$ 若 $\mathfrak{g}$ 可解 (幂零) , 那么 $\mathfrak{g}$ 的子代数、商代数同样可解 (幂零) .

$(3)$ 若 $\mathfrak{g}$ 幂零, 则 $\mathfrak{g}$ 可解.

$(4)$ 设 $I\subset \mathfrak{g}$ 是理想, $I$ 和 $\mathfrak{g}/I$ 均可解, 那么 $\mathfrak{g}$ 可解.

证明. $(1)$ 和 $(2)$ 可以由相应的 “换位子为零” 的条件推出.

$(3)$ 只需注意降中心列满足 $D^i\mathfrak{g}\subset D_i\mathfrak{g}$.

$(4)$ 设 $\phi :\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}/I$, 那么 $\phi (D^i\mathfrak{g})=D^i(\mathfrak{g}/I)$. 于是对充分大的 $n$, $\phi (D^n\mathfrak{g})=0\Rightarrow D^n\mathfrak{g}\subset I$. 于是存在 $k$, 使得 $D^{k}I=0$, 因此$$D^{n+k}\mathfrak{g}\subset D^{k}I=0.$$

(请考虑: 如果把可解换成幂零, 这个证明成立吗? )

$\square$

例子. 我们考虑线性空间 $V$ 中的一个旗 $\mathcal{F}$, 也就是一串子空间$$0=V_0\subset V_1\subset V_2\subset \cdots \subset V_n=V,$$使得 $\dim (V_{i+1})=\dim (V_i)+1$. 定义$$\mathfrak{b}(\mathcal{F})=\{x\in \mathfrak{gl}(V)\mid x{V}_i\subset V_i,0\le i\le n\}$$$$\mathfrak{n}(\mathcal{F})=\{x\in \mathfrak{gl}(V)\mid x{V}_i\subset V_{i-1},0\le i\le n\}$$我们来证明 $\mathfrak{b}$ 是可解的, $\mathfrak{n}$ 是幂零的. 为此我们定义$${\mathfrak{a}}_k(\mathcal{F})=\{x\in \mathfrak{gl}(V)\mid x{V}_i\subset V_{i-k},k\le i\le n\}$$于是 $\mathfrak{b}(\mathcal{F})={\mathfrak{a}}_0$, $\mathfrak{n}(\mathcal{F})={\mathfrak{a}}_1$. 对 $x\in {\mathfrak{a}}_k$ 和 $y\in {\mathfrak{a}}_l$, 有 $xy\in {\mathfrak{a}}_{k+l}$. 从而 $D_i\mathfrak{n}\subset {\mathfrak{a}}_{i+1}$, 于是 $\mathfrak{n}$ 是幂零的.

至于 $\mathfrak{b}$ 的可解性, 注意到: 由于 $V_{i+1}/V_i$ 是一维的, 对任意 $x,y\in \mathfrak{b}$, $xy$ 和 $yx$ 在 $V_{i+1}/V_i$ 上诱导出相同的线性映射. 故 $[\mathfrak{b},\mathfrak{b}]\subset {\mathfrak{a}}_1$, 因此 $D^{i+1}\mathfrak{b}\subset {\mathfrak{a}}_{2^i}$, 故 $\mathfrak{b}$ 可解.

我们可以把 $\mathfrak{b}$ 和 $\mathfrak{n}$ 写成更具体的矩阵形式: $\mathfrak{b}$ 是全体上三角矩阵, 而 $\mathfrak{n}\subset \mathfrak{b}$ 是对角线元素全为零的上三角矩阵.

注意到, $\mathfrak{b}$ 一般不是幂零的. 我们取 $x=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$, 那么 $[x,E_{ij}]=({\lambda }_i-{\lambda }_j)E_{ij}$.

8Lie 定理和 Engel 定理

在这一节, 我们假定 $k$ 是一个特征 $0$ 代数闭域. 所有的对象都在代数闭域的情形考虑.

在线性代数里我们见过这样的事实: 一族相互交换的矩阵可以被同时上三角化.“相互交换” 的条件意味着这些矩阵实际上构成了一个李括号平凡的李代数. 这族矩阵可被同时上三角化的事实可以被推广, 这就是我们将要叙述的 Lie 定理:

定理. 设 $(V,\rho )$ 是可解李代数 $\mathfrak{g}$ 的一个有限维复表示, 那么存在一组基使得每个 $\rho (x)(x\in \mathfrak{g})$ 在这组基下取上三角形式.

和线性代数中的情形一致, 我们首先来证明如下引理:

引理. 在定理的假设下, 存在 $v\in V-\{0\}$ 是每一个 $\rho (x)(x\in \mathfrak{g})$ 的特征向量.

证明. 我们对 $\dim (\mathfrak{g})$ 进行归纳. 如果 $\dim (\mathfrak{g})=0,1$, 命题是显然成立的.

如果 $\dim (\mathfrak{g})>1$, 由可解性知 $\dim ([\mathfrak{g},\mathfrak{g}])<\dim (\mathfrak{g})$. 取 ${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 为 $\mathfrak{g}$ 的一个包含 $\mathfrak{g}$ 且余维数为 $1$ 的子空间: $\mathfrak{g}={\mathfrak{g}}^{\prime }\oplus kx$. 那么 ${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 成为 $\mathfrak{g}$ 的一个理想, 从而也是可解的. 于是由归纳假设我们得到 $v\in V$ 是 ${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 中全体元素的公共特征向量: 对一切 $w\in {\mathfrak{g}}^{\prime }$, $wv=\lambda (w)v$.

考虑由 $x^{n}v$ 张成的线性子空间 $W$. 容易发现这是一个 ${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 不变的子空间, 因为对任意 $w\in {\mathfrak{g}}^{\prime }$, $$w{x}^{n}v=xw{x}^{n-1}v+[w,x]x^{n-1}v=\cdots =x^{n}wv+\sum _{k<n}{x}^k{a}_{kn}v,$$其中 $a_{kn}\in {\mathfrak{g}}^{\prime }$.

现设 $n$ 是最小的自然数, 使得 $v,xv,\dots ,x^{n}v$ 张成的空间包含 $x^{n+1}v$. 那么 $x^{i}v(1\le i\le n)$ 线性无关, 且张成整个 $W$. 在这组基下, 对一切 $w\in {\mathfrak{g}}^{\prime }$, $\rho (w)$ 都是上三角的, 并且对角线上的元素均是 $\lambda (w)$. 从而 ${\mathrm{Tr}}_W(\rho (w))=(n+1)\lambda (w)$. 但对一切 $w\in {\mathfrak{g}}^{\prime }$, ${\mathrm{Tr}}_W([x,w])=0$, 因此 $\lambda ([x,w])=0$. 于是 $wxv=xwv+[w,x]v=xwv$. 由归纳进一步可得$$w{x}^{n}v=x^{n}wv=\lambda (w)x^{n}v.$$从而 $W-\{0\}$ 中每一个元素都是 ${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 中元素的公共特征向量. 我们取 $w$ 为 $x$ 的一个特征向量即可.

$\square$

由引理我们立即得到 Lie 定理的证明:

证明. 对 $\dim (V)$ 进行归纳.$\dim (V)=1$ 时无需任何证明, 设 $\dim (V)=n+1\ge 2$, 取 $v$ 为 $\mathfrak{g}$ 中元素的一个公共特征向量, 在商空间 $V/kv$ 中取一组基 $v_1^{\prime },\dots ,v_n^{\prime }$, 使得 $\mathfrak{g}$ 中元素的矩阵是上三角的. 将 $v_i^{\prime }$ 提升到 $v_i\in V$, 则在基 $v,v_1,\dots ,v_n$ 下 $\mathfrak{g}$ 中元素的矩阵都是上三角的.

$\square$

推论. $(1)$ 每一个可解李代数 $\mathfrak{g}$ 的不可约表示都是一维的.

$(2)$ 若 $\mathfrak{g}$ 可解, 则有 $\mathfrak{g}$ 的理想链 $0\subset I_1\subset I_2\subset \cdots \subset I_n=\mathfrak{g}$, 使得 $I_{k+1}/I_k$ 都是一维的.

$(3)$ $\mathfrak{g}$ 可解当且仅当 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ 幂零.

证明. $(1)$ 使用引理即可.

$(2)$ 将 Lie 定理用于 $\mathfrak{g}$ 的伴随表示. 我们得到一个不变子空间组成的旗, 但不变子空间都是理想.

$(3)$ 由于 $\mathfrak{g}/[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ 交换, $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ 的可解性自动推出 $\mathfrak{g}$ 的可解性. 反之, 根据 Lie 定理在伴随表示上的应用, 存在旗 $\mathcal{F}$ 使得 $\mathfrak{g}\subset \mathfrak{b}(\mathcal{F})$, 从而由上一节的例子得到 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\subset \mathfrak{n}(\mathcal{F})$, 故 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ 是幂零的.

$\square$

对幂零李代数, 我们当然期望得到更强的结论, 但仅仅把 Lie 定理中的 “上三角” 换成 “严格上三角” 显然是不对的 (比如, 令交换李代数 $\mathfrak{g}$ 中元素对角地作用) . 我们应该稍微进行一些调整:

定理. 若 $\mathfrak{g}\subset \mathfrak{gl}(V)$ 是仅包含 (作为自同态的) 幂零算子的子代数, 那么存在一组基使得 $\mathfrak{g}$ 中元素同时取严格上三角矩阵的形式.

这个定理的证明和 Lie 定理的证明非常相似. 我们也需要一个引理:

引理. 在定理假设下, 存在 $v\in V-\{0\}$ 被每一个 $\mathfrak{g}$ 中元素零化.

证明引理. 首先, 让我们注意到这样一个事实: 如果 $x$ 是幂零算子, 那么 $\mathrm{ad}x$ 也是幂零的. 这是因为, 如果我们把左乘 $x$ 和右乘 $x$ 分别记作 $L_x$ 和 $R_x$, 那么 $L_x,R_x$ 均幂零且彼此可交换. 从而对充分大的 $n$, $$\mathrm{ad}{x}^n=(L_x-R_x{)}^n=0.$$现在我们对 $\dim (\mathfrak{g})$ 进行归纳. 当 $\dim (\mathfrak{g})=0,1$ 时, 命题是显然成立的.

当 $\dim (\mathfrak{g})\ge 2$, 取 ${\mathfrak{g}}^{\prime }\ne \mathfrak{g}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的一个极大的真子代数.${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 以共轭的方式作用在 $\mathfrak{g}$ 上, ${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 是其不变子空间, 所以 ${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 作用在 $\mathfrak{g}/{\mathfrak{g}}^{\prime }$ 上, 同时每个 ${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 中的元素作用在 $\mathfrak{g}/{\mathfrak{g}}^{\prime }$ 上都是幂零的自同态. 根据归纳假设, 我们可以找到 $x\in \mathfrak{g}-{\mathfrak{g}}^{\prime }$, 使得 $[{\mathfrak{g}}^{\prime },x]\subset {\mathfrak{g}}^{\prime }$. 这说明 $N_{\mathfrak{g}}({\mathfrak{g}}^{\prime })$ 严格包含 ${\mathfrak{g}}^{\prime }$, 从而是 $\mathfrak{g}$ 本身. 于是 ${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 是一个理想. 如果 ${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 的余维数大于 $1$, 在 $\mathfrak{g}/{\mathfrak{g}}^{\prime }$ 里取一个一维子代数, 提升成 $\mathfrak{g}$ 的一个子代数, 就违背了 ${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 的极大性. 于是 ${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 的余维数是 $1$. 我们设 $\mathfrak{g}={\mathfrak{g}}^{\prime }\oplus kx$.

根据归纳假设, 存在 $V$ 中的非零元素 $w$, 使得 $w$ 被 ${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 零化. 记所有这样的 $w$ 生成的子空间为 $W$. 显然 $W$ 是 ${\mathfrak{g}}^{\prime }$ 不变的. 由于对任意 $w\in W$ 和 $y\in {\mathfrak{g}}^{\prime }$, 有 $[y,x]\in {\mathfrak{g}}^{\prime }$, 故$$yxw=xyw+[y,x]w=0.$$从而 $W$ 是 $\mathfrak{g}$ 不变子空间. 我们取 $w\in W$ 是 $x$ 的一个特征向量, 则由 $x$ 幂零知其特征值为 $0$, 故 $w$ 就是我们需要的向量.

$\square$

由引理对 $\dim (V)$ 归纳, 就能得到上面的定理. 我们将其留给读者.

作为推论, 我们可以得到 Engel 定理:

定理. $\mathfrak{g}$ 是幂零的, 当且仅当对一切 $x\in \mathfrak{g}$, $\mathrm{ad}x:y\mapsto [x,y]$ 是幂零的.

证明. “$\Rightarrow$” 的方向是明显的: 由于 $[\mathfrak{g},-]$ 幂零, 每个 $\mathrm{ad}x(x\in \mathfrak{g})$ 都是幂零的.

“$\Leftarrow$” 对伴随表示, 由上面的定理, 我们可以将 $\mathfrak{g}$ 嵌入某个 $\mathfrak{n}(\mathcal{F})$ 中, 因而是幂零的.

$\square$