用户: 鲖阳路人/有限拟 Frobenius 环上线性码的 Griesmer 界

本文译自

•

Keisuke Shiromoto, Leo Storme, A Griesmer bound for linear codes over finite quasi-Frobenius rings, Discrete Applied Mathematics, Volume 128, Issue 1, 2003, Pages 263-274, ISSN 0166-218X, https://doi.org/10.1016/S0166-218X(02)00450-X. (https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X0200450X)

在本文中, 我们给出了有限拟 Frobenius 环上线性码的 Griesmer 型界, 并考虑了达到该界的线性码. 我们还研究了有限链环上达到该界的线性码的几何特征, 即这些码与这些环上的射影 Hjelmslev 空间中的 minihyper 之间一一对应.

1引言

对于有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上的一个 $[n,k,d]$ 线性码 $C$, 即向量空间 ${\mathbb{F}}_q^n$ 的一个 $k$ 维子空间且最小 Hamming 距离为 $d$, 有以下著名的不等式, 称为 Griesmer 界 (参见 [3][18][16]):

$$n\ge \sum _{i=0}^{k-1}\lceil \frac{d}{q^i}\rceil ,\text{\hspace{1em}(1)}$$其中 $\lceil x\rceil$ 表示大于或等于 $x$ 的最小整数. 在构造码时, 从经济的角度来看, 希望对于给定的 $k$, $d$ 和 $q$ 找到一个长度 $n$ 最小的 $[n,k,d]$ 码 $C$. 因此, 已经发表了许多关于达到该界的有限域上码的论文 (参见 [2][9] 等). 一种通用的方法是研究这些码与有限域上射影空间中的 minihyper 之间的对应关系 (参见 [4][5][6][7]).

最近, 许多研究人员研究了有限环上的码. 特别是, Wood [19] 证明了有限 Frobenius 环上码的两个 MacWilliams 定理——扩张定理和 MacWilliams 恒等式. Horimoto 和 Shiromoto [??] 引入了有限拟 Frobenius (QF) 环上码的 Singleton 界, 并研究了达到该界的码, 即所谓的 MDS 码. Honold 和 Landjev [??] 研究了有限链环上的码与这些环上的射影 Hjelmslev 空间中的多重集之间的关系.

在本文中, 我们将对有限拟 Frobenius 环上的线性码引入一个关于 Hamming 距离的 Griesmer 型界, 并给出达到该界的线性码的几何特征.

Ashikhmin [1] 给出了关于 Lee 度量的 ${\mathbb{Z}}_4$-线性码的 Griesmer 型界, 该码的长度为 $n$, 基数为 $4^{r_1}{2}^{r_2}$. Ashikhmin 将上述基数的 ${\mathbb{Z}}_4$-线性码记为 $[n;r_1,r_2]$ 码. 参数 $N(r_1,r_2;d_{\mathrm{L}})$ 表示最小 Lee 距离为 $d_{\mathrm{L}}$ 的 $[n;r_1,r_2]$ ${\mathbb{Z}}_4$-线性码的最小长度.

对于 $[n;r,0]$ 码的情况, [1] 中证明了

$$N(r,0;d_{\mathrm{L}})\ge \sum _{i=0}^{r-1}\lceil \frac{3\cdot 2^{i(i-1)/2}}{4\cdot {\prod }_{j=0}^{i-1}(2^{i+1-j}+1)}{d}_{\mathrm{L}}\rceil .$$

在本文中, 所有环都假定为有限的, 并且是结合的, 且 $1\ne 0$. 在任何模上, $1$ 被假定为恒等元.

2Griesmer 界

设 $R$ 是一个有限 QF 环, 即一个可以视为自身上的内射模的环 (参见 [??]). 设 $R^n$ 是由 $R$ 中元素的所有 $n$ 元组组成的秩为 $n$ 的自由 $R$-模. 关于逐分量加法和右/左乘法, $R^n$ 具有 $(R,R)$-双模结构. $R$ 上的长度为 $n$ 的右 (或左) 线性码 $C$ 是 $R^n$ 的右 (或左) $R$-子模. 如果 $C$ 是 $R^n$ 的自由 $R$-子模, 则我们称 $C$ 为自由码. 对于 $R$-模 $M$, $M$ 的基座, 即 $M$ 的所有单子模的和, 记为 $\mathrm{Soc}(M)$. $R$ 的 (Jacobson) 根, 记为 $J(R)$, 是 $R$ 的所有极大右 (等价地, 左) 理想的交集.

对于向量 $\mathbf{x}\in R^n$, $\mathbf{x}$ 的 (Hamming) 权重 $\mathrm{wt}(\mathbf{x})$ 定义为 $\mathbf{x}$ 中非零元素的数量. $R$ 上长度为 $n$ 的线性码 $C$ 的最小 (Hamming) 权重为

$$d(C):=\min \{\mathrm{wt}(\mathbf{x})\mid (0\ne )\mathbf{x}\in C\}.$$

对于右 (左) 线性码 $C$, 值 $k(C)$ 定义为 $R^n$ 中包含 $C$ 的的极小自由 $R$-子模的秩. 考虑 $R^n$ 中包含 $C$ 的的极小自由 $R$-子模 $I(C)$. 如果 $C$ 是长度为 $n$ 的右 (左) 线性码, 则 $I(C)$ 是长度为 $n$ 的右 (左) 自由码, 且 $d(I(C))=d(C)$ , $k(I(C))=k(C)$ (参见 [14]). 由于 $C$ 的秩和极小距离等于 $R^n$ 中包含 $C$ 的任意极小自由 $R$-子模 $I(C)$ 的秩和极小距离, 因此在本文中, $I(C)$ 将表示 $R^n$ 中包含 $C$ 的任意极小自由 $R$-子模.

如果作为右 $R$-模和左 $R$-模都有 $\mathrm{Soc}(R)\cong R/J(R)$ , 则 $R$ 称为 Frobenius 环. 因此, 如果 $R$ 是局部 QF 环, 则 $R$ 是 Frobenius 环, 并且我们有一个 $R$-同构 $\varphi :\mathrm{Soc}(R)\cong R/J(R)$. 在这种情况下, $\varphi$ 诱导以下 $R$-同构:

$$\begin{array}{rl}{\varphi }^n& :\mathrm{Soc}(R{)}^n\cong (R/J(R){)}^n\\ & :\mathbf{x}=(x_1,\dots ,x_n)\mapsto {\varphi }^n(\mathbf{x})=(\varphi (x_1),\dots ,\varphi (x_n))\end{array}$$

(参见 [??]). 我们有以下命题.

命题 2.1 (Horimoto, Shiromoto [14]). 设 $R$ 是一个有限局部 Frobenius 环. 如果 $C$ 是 $R$ 上长度为 $n$ 的右 (左) 线性码, 则 ${\varphi }^n(\mathrm{Soc}(C))$ 是有限域 $R/J(R)$ 上的 $[n,k(C),d(C)]$ 线性码.

利用上述命题和 Griesmer 界 (1), 我们有以下有限局部 Frobenius 环上线性码的 Griesmer 型界.

定理 2.2. 设 $R$ 是一个有限局部 Frobenius 环, 且 $|R/J(R)|=q$, 其中 $q$ 是一个素数幂. 对于 $R$ 上长度为 $n$ 的右 (左) 线性码 $C$,

$$n\ge \sum _{i=0}^{k(C)-1}\lceil \frac{d(C)}{q^i}\rceil .\text{\hspace{1em}(2)}$$

例 2.3. 设 ${\mathcal{O}}_8$ 是 ${\mathbb{Z}}_4$ 上的八元码, 其生成矩阵为

$$G=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 3& 1& 2& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1& 2& 3& 1\\ 0& 0& 1& 0& 3& 3& 3& 2\\ 0& 0& 0& 1& 2& 3& 1& 1\end{array}\right).$$

则 ${\mathcal{O}}_8$ 有 $n=8$, $k(C)=4$ 和 $d(C)=4$. 因此, 我们有 $8=\lceil 4\rceil +\lceil \frac{4}{2}\rceil +\lceil \frac{4}{2^2}\rceil +\lceil \frac{4}{2^3}\rceil$. 这意味着 ${\mathcal{O}}_8$ 是一个达到界 (2) 的线性码.

推论 2.4. 设 $R$ 是一个有限局部 Frobenius 环. $R$ 上长度为 $n$ 的右 (左) 线性码 $C$ 达到界 (2) 当且仅当 ${\varphi }^n(\mathrm{Soc}(C))$ 达到 Griesmer 界 (1), 当且仅当 $I(C)$ 达到界 (2).

接下来, 我们将考虑一些非局部 QF 环上的线性码. 我们回顾 [14] 中的一些结果. 设 $R$ 是一个有限 (不一定是局部) QF 环. 作为一个环, $R$ 允许分解 $R={⨁}_{\alpha \in \Lambda }R{e}_{\alpha }$, 其中 $e_{\alpha }$ 是中心正交幂等元, 且 $1_R={\sum }_{\alpha \in \Lambda }{e}_{\alpha }$. 则对于每个 $\alpha \in \Lambda$, $R_{\alpha }:=R{e}_{\alpha }$ 也是一个 QF 环. 如果 $C$ 是 $R$ 上长度为 $n$ 的右 (或左) 线性码, 则 $C_{\alpha }:=C{e}_{\alpha }$ (或 $C_{\alpha }:=e_{\alpha }C$) 是 $R_{\alpha }$ 上长度为 $n$ 的右 (或左) 线性码. 我们知道以下结果.

引理 2.5 (Horimoto, Shiromoto [14]). 如果 $C$ 是 $R$ 上长度为 $n$ 的右 (左) 线性码, 则

(1)	$k(C)={\max }_{\alpha \in \Lambda }\{k(C_{\alpha })\}$,
(2)	$d(C)={\min }_{\alpha \in \Lambda }\{d(C_{\alpha })\}$.

定理 2.6. 设 $R={⨁}_{\alpha \in \Lambda }{R}_{\alpha }$ 是一个有限拟 Frobenius 环, 使得 $R_{\alpha }$ 对于所有 $\alpha \in \Lambda$ 都是局部环, 且 $q_{\alpha }$ 是素数幂, 使得 $|R_{\alpha }/J(R_{\alpha })|=q_{\alpha }$ 对于每个 $\alpha \in \Lambda$. 如果 $C$ 是 $R$ 上长度为 $n$ 的右 (左) 线性码, 则

$$n\ge \sum _{i=0}^{k(C)-1}\lceil \frac{d(C)}{q^i}\rceil ,\text{\hspace{1em}(3)}$$其中 $q:={\max }_{\alpha \in \Lambda }\{q_{\alpha }\}$.

证明. 我们假设

$$n<\sum _{i=0}^{k(C)-1}\lceil \frac{d(C)}{q^i}\rceil .$$

设 $C_{{\alpha }_0}$ (${\alpha }_0\in \Lambda$) 是 $R_{{\alpha }_0}$ 上的线性码, 使得 $k(C_{{\alpha }_0})=k(C)$. 由引理 2.5 和界 (2), 我们有

$$n<\sum _{i=0}^{k(C)-1}\lceil \frac{d(C)}{q^i}\rceil \le \sum _{i=0}^{k(C_{{\alpha }_0})-1}\lceil \frac{d(C_{{\alpha }_0})}{(q_{{\alpha }_0}{)}^i}\rceil \le n.$$

这与定理 2.2 矛盾.

$\square$

例 2.7. 设 $C$ 是 ${\mathbb{Z}}_6$ 上的线性码, 其生成矩阵为

$$G=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 1& 1& 2& 5\\ 0& 1& 0& 1& 5& 1& 2\\ 0& 0& 1& 1& 2& 5& 1\end{array}\right).$$

则 $C$ 有长度 $n=7$, $k(C)=3$ 和 $d(C)=4$. 因此, 我们有 $7=\lceil 4\rceil +\lceil \frac{4}{3}\rceil +\lceil \frac{4}{3^2}\rceil$. 这意味着 $C$ 是一个达到界 (3) 的线性码.

现在, 我们给出达到界 (3) 的线性码的特征.

定理 2.8. 设 $C$ 是 $R$ 上长度为 $n$ 的右 (左) 线性码, 如定理 2.6 中所定义. 则 $C$ 达到界 (3) 当且仅当存在一个值 $\beta \in \Lambda$ 使得 ${\sum }_{i=0}^{k(C)-1}\lceil d(C)/q^i\rceil ={\sum }_{i=0}^{k(C_{\beta })-1}\lceil d(C_{\beta })/(q_{\beta }{)}^i\rceil$ 且 $C_{\beta }$ 达到界 (2).

证明. 假设 $C$ 达到界 (3). 我们取 $\beta \in \Lambda$ 使得 $k(C)=k(C_{\beta })$. 由于 $d(C)\le d(C_{\beta })$ 且 $q\ge q_{\beta }$, 我们有

$$n=\sum _{i=0}^{k(C)-1}\lceil \frac{d(C)}{q^i}\rceil \le \sum _{i=0}^{k(C_{\beta })-1}\lceil \frac{d(C_{\beta })}{(q_{\beta }{)}^i}\rceil \le n,$$

其中后一个不等式是码 $C_{\beta }$ 的界 (2). 因此, 上述等式成立.

反之, 我们假设后一种描述. 则

$$n=\sum _{i=0}^{k(C_{\beta })-1}\lceil \frac{d(C_{\beta })}{(q_{\beta }{)}^i}\rceil =\sum _{i=0}^{k(C)-1}\lceil \frac{d(C)}{q^i}\rceil \le n.$$

定理得证.

$\square$

推论 2.9. 如果 $C$ 达到界 (3), 则所有使得 $k(C_{\alpha })=k(C)$ 的 $C_{\alpha }$, $\alpha \in \Lambda$ 都达到 Griesmer 界 (2). 反之, 如果存在一个值 $\alpha \in \Lambda$ 使得 ${\sum }_{i=0}^{k(C)-1}\lceil d(C)/q^i\rceil ={\sum }_{i=0}^{k(C_{\alpha })-1}\lceil d(C_{\alpha })/(q_{\alpha }{)}^i\rceil$ 且 $k(C_{\alpha })=k(C)$ 且 $C_{\alpha }$ 达到 Griesmer 界 (2), 则 $C$ 达到 Griesmer 界 (3).

3与有限链环上的射影 Hjelmslev 空间的对应关系

众所周知, 有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上的达到 Griesmer 界 (1) 的 $[n,k,d]$ 码, 其中 $d<q^{k-1}$, 其生成矩阵的列定义了 ${\mathbb{F}}_q$ 上的 $(k-1)$ 维射影空间 $\mathrm{PG}(k-1,q)$ 的不同点 (参见 [4][5] 等).

一个 $\{n,r;k-1,q\}$-minihyper $F$ 是 $\mathrm{PG}(k-1,q)$, $k\ge 3$, $n\ge 1$ 中的 $n$ 个点的集合, 使得对于每个超平面 $H$, $|F\cap H|\ge r$, 并且对于某个超平面 $H$, $|F\cap H|=r$ [8].

我们首先描述有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上的 $[n,k,d]$ 线性码, 与有限射影空间中的 minihyper 之间的对应关系, 其中 $1\le d<q^{k-1}$.

我们设 $v_l:=(q^l-1)/(q-1)$, $l\ge 1$. 对于 $1\le d<q^{k-1}$, $d$ 可以唯一地写成以下形式: $d=q^{k-1}-{\sum }_{i=0}^{k-2}{\epsilon }_i{q}^i$, 其中每个 ${\epsilon }_i$ 是满足 $0\le {\epsilon }_i\le q-1$ 且 $({\epsilon }_0,{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_{k-2})\ne (0,0,\dots ,0)$ 的整数 (参见 [4]). 在这种情况下, ${\mathbb{F}}_q$ 上的 $[n,k,d]$ 码的 Griesmer 界 (1) 可以表示为:

$$n\ge v_k-\sum _{i=0}^{k-2}{\epsilon }_i{v}_{i+1}$$(参见 [4]).

定理 3.1 (Hamada [4]). 对于 $k\ge 3$ 和 $1\le d<q^{k-1}$, ${\mathbb{F}}_q$ 上达到界 (1) 的所有不等价的 $[n,k,d]$ 线性码与所有射影不同的 $\{{\sum }_{i=0}^{k-2}{\epsilon }_i{v}_{i+1},{\sum }_{i=0}^{k-2}{\epsilon }_i{v}_i;k-1,q\}$-minihyper 之间存在一一对应关系, 其中 $d=q^{k-1}-{\sum }_{i=0}^{k-2}{\epsilon }_i{q}^i$.

在本节中, 我们研究有限链环 (一类有限局部 Frobenius 环) 上达到界 (2) 的的线性码与有限链环上的射影 Hjelmslev 空间中的 minihyper 之间的对应关系. 在本节中, 我们将专注于左线性码, 因为所有结果和证明对于右线性码同样适用, 只要通过左 $R$-自由模 $M$ 而不是右 $R$-自由模 $M$ 来定义射影 Hjelmslev 空间.

一个有限环 $R$ 且 $J(R)\ne 0$ 称为链环, 如果 $R$ 的主左理想形成一个链 (参见 [17][11][10]). 设 $R$ 是一个有限链环. 在这种情况下, $R$ 可以视为一个局部环, 且 $J(R)=R\theta$ 对于任何 $\theta \in J(R)\setminus J(R{)}^2$. 并且对于 $R$ 上的左线性码 $C$, 我们有 $\mathrm{Soc}(C)=\{\mathbf{x}\in C\mid \theta \mathbf{x}=0\}$ . 设 $m$ 是 $J(R)$ 的幂零指数, $q$ 是有限域 $R/J(R)$ 的基数, 即 $R/J(R)\cong {\mathbb{F}}_q$. 环 $R$ 的单位群记为 $R^{\times }$. 此外, $R{\theta }^i={\theta }^{i}R$.

首先, 我们介绍 $R$ 上的射影 Hjelmslev 空间 (参见 [10][11][12]). 设 $M$ 是一个右 $R$-自由模, 且 $k(M)\ge 3$. $\mathcal{P}=\mathcal{P}(M)=\{xR\mid x\in M,x{\theta }^{m-1}\ne 0\}$ 的元素称为点, $\mathcal{L}=\mathcal{L}(M)=\{xR+yR\mid \{x,y\}\text{ 是线性独立的}\}$ 的元素称为直线. 关联关系 $I\subseteq \mathcal{P}\times \mathcal{L}$ 通过集合的包含自然定义.

定义 3.2 (Honold 和 Landjev [11]). 邻接关系 $\sim$ 定义为

1.	点 $X,Y$ 是邻接的 (记作 $X\sim Y$) 当且仅当存在线 $s,t\in \mathcal{L}$, $s\ne t$, 使得 $XIs$, $XIt$, $YIs$, $YIt$;
2.	直线 $s,t\in \mathcal{L}$ 是邻接的当且仅当对于每个点 $XIs$, 存在一个点 $YIt$ 使得 $X\sim Y$, 反之, 对于每个 $YIt$, 存在一个 $XIs$ 使得 $Y\sim X$;

关联结构 $\Gamma =(\mathcal{P},\mathcal{L},I)$ 与邻接关系 $\sim$ 一起, 称为射影 Hjelmslev 空间, 记为 $(\mathcal{P},\mathcal{L},I)=\mathrm{PHG}(M)$.

让我们考虑从自由右模 $R_R^k$, $k\ge 3$ 得到的射影 Hjelmslev 空间 $(\mathcal{P},\mathcal{L},I)=\mathrm{PHG}(R_R^k)$.

定义 3.3 (Honold, Landjev [11]). $R$ 上长度为 $n$ 的左线性码 $C$ 称为 fat, 如果对于每个 $i\in \{1,\dots ,n\}$, 存在一个码字 $\mathbf{x}=(x_1,\dots ,x_n)\in C$ 使得 $x_i\in R^{\times }$.

$R$ 上长度为 $n$ 的左线性码 $C$ 的生成矩阵是一个 $R$ 上的 $k(C)\times n$ 的矩阵, 其行生成 $C$. 如果 $C_1$ 可以通过坐标置换后右乘 $C_2$ 的某些 (或没有) 坐标位置上的单位从 $C_2$ 得到, 则 $R$ 上的两个左线性码 $C_1$ 和 $C_2$ 是等价的.

对于 $R$ 上的 $m\times n$ 矩阵环 ${\mathrm{Mat}}_{m,n}(R)$, 之前定义的映射 $\varphi$ 诱导以下模同构:

$${\varphi }_{m,n}:{\mathrm{Mat}}_{m,n}(\mathrm{Soc}(R))\cong {\mathrm{Mat}}_{m,n}(R/J(R))$$$$:X=\left(\begin{array}{ccc}{x}_{11}& \cdots & x_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{m1}& \cdots & x_{mn}\end{array}\right)\mapsto {\varphi }_{m,n}(X)=\left(\begin{array}{ccc}\varphi (x_{11})& \cdots & \varphi (x_{1n})\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \varphi (x_{m1})& \cdots & \varphi (x_{mn})\end{array}\right).$$

由推论 2.4, 我们可以专注于 $R$ 上的自由码.

引理 3.4. 设 $C$ 是 $R$ 上长度为 $n$ 的左线性自由码, 其生成矩阵为 $G$. 则

$$\mathrm{Soc}(C)={\theta }^{m-1}C=\{{\theta }^{m-1}\mathbf{x}\mid \mathbf{x}\in C\}$$

且 ${\varphi }_{k(C),n}({\theta }^{m-1}G)$ 是线性码 ${\varphi }^n(\mathrm{Soc}(C))$ 的生成矩阵.

证明. 由 $C$ 的基座的定义, 显然 $\mathrm{Soc}(C)\supseteq {\theta }^{m-1}C$. 由于 $|\mathrm{Soc}(C)|=|{\theta }^{m-1}C|=q^{k(C)}$, 我们有等式. 因此, ${\theta }^{m-1}G$ 的行向量生成 $\mathrm{Soc}(C)$. 因此, 引理得证.

$\square$

命题 3.5. 设 $C$ 是 $R$ 上长度为 $n$, $k(C)=k$ 的左线性自由码, 达到界 (2). 则 $C$ 是 fat.

证明. 设 $G=({\mathbf{g}}_1,{\mathbf{g}}_2,\dots ,{\mathbf{g}}_n)$ 是 $C$ 的生成矩阵, 其中每个 ${\mathbf{g}}_i$ 表示 $G$ 的列向量. 我们假设 ${\mathbf{g}}_1$ 是一个向量, 使得 ${\mathbf{g}}_1{\theta }^{m-1}=0$; 则也有 ${\theta }^{m-1}{\mathbf{g}}_1=0$. 由引理 3.4, 矩阵 ${\varphi }_{k,n}({\theta }^{m-1}G)=({\varphi }_{k,1}({\theta }^{m-1}{\mathbf{g}}_1),{\varphi }_{k,1}({\theta }^{m-1}{\mathbf{g}}_2),\dots ,{\varphi }_{k,1}({\theta }^{m-1}{\mathbf{g}}_n))$ 是达到 Griesmer 界的码 ${\varphi }^n(\mathrm{Soc}(C))$ 的生成矩阵. 因此, 列向量 ${\varphi }_{k,1}({\theta }^{m-1}{\mathbf{g}}_1)$ 必须是 $\mathrm{PG}(k(C)-1,q)$ 中的一个点. 矛盾.

$\square$

众所周知, $R$ 上的左 fat 线性码 $C$ 的生成矩阵的列定义了射影 Hjelmslev 空间 $(\mathcal{P},\mathcal{L},I)=\mathrm{PHG}(R_R^{k(C)})$ 中的点 (参见 [11]). 我们注意到, 射影 Hjelmslev 空间中的点可以表示为线性方程组的解.

我们将 $\mathrm{PHG}(R_R^k)$ 中所有点的数量记为 ${\psi }_{q^m}(k)$. 众所周知,

$${\psi }_{q^m}(k)=q^{(k-1)(m-1)}\left(\frac{q^k-1}{q-1}\right)=q^{(k-1)(m-1)}{v}_k$$(参见 [10]). 我们还引入以下符号:

$${\Phi }_{q^m,i}(k)=(q^{i+(k-1)(m-1)}-1)\left(\frac{q^k-1}{q-1}\right).$$

在链环 $R$ 上, $R_R^k$ 的每个有限 $R$-子模 $M$ 都是循环 $R$-模的直和. 划分

$$M\cong R/(R\theta {)}^{{\lambda }_1}\oplus \cdots \oplus R/(R\theta {)}^{{\lambda }_r}$$

其中 $m\ge {\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r\ge 1$, 由 $M$ 唯一定义.

定义 3.6. 由 $M\cong R/(R\theta {)}^{{\lambda }_1}\oplus \cdots \oplus R/(R\theta {)}^{{\lambda }_r}$ 定义的划分 $\lambda =({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r)$ 称为 $M$ 的形状.

在接下来的内容中, 我们将 $\lambda =({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r)$ 写成 $\lambda =1^{s_1}{2}^{s_2}{3}^{s_3}\cdots$ 或 $0^{k-r}{1}^{s_1}{2}^{s_2}{3}^{s_3}\cdots$, 其中 $s_j$ 是 $\lambda$ 中等于 $j$ 的分量个数.

定义 3.7. 对于 $i$, $0\le i\le m-1$, $\mathrm{PHG}(R_R^k)$ 中的 $i$-超平面 ${\Delta }_i$ 是齐次坐标 $(x_1,x_2,\dots ,x_k)$ 满足以下线性方程的点集:

$${\theta }^i(r_1{x}_1+r_2{x}_2+\cdots +r_k{x}_k)=0,$$

其中至少有一个 $r_i\in R^{\times }$. 特别地, $0$-超平面简称为超平面.

等价地, $i$-超平面具有形状 $m^{k-1}{i}^1$.

引理 3.8. 设 ${\Delta }_i$, $0\le i\le m-1$, 是 $\mathrm{PHG}(R_R^k)$ 中的 $i$-超平面. 则 ${\Delta }_i$ 有 $q^i{\psi }_{q^m}(k-1)$ 个点.

证明. 参见 [11, Section 6.2].

$\square$

引理 3.9. 设 ${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_{{\psi }_{q^m}(k)}$ 是 $\mathrm{PHG}(R_R^k)$ 中所有不同的点. 设 $C$ 是 $R$ 上长度为 $n$ 的左自由码, 其生成矩阵为 $G=({\mathbf{g}}_1,{\mathbf{g}}_2,\dots ,{\mathbf{g}}_n)$, $k(C)=k\ge 3$ 且 $1\le d(C)<q^{k-1}$. 如果 $C$ 达到界 (2), 则 $F=\{{\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_{{\psi }_{q^m}(k)}\}\setminus \{{\mathbf{g}}_1,{\mathbf{g}}_2,\dots ,{\mathbf{g}}_n\}$ 是一个 ${\psi }_{q^m}(k)-n$ 点的集合, 它与每个 $(m-1)$-超平面相交于至少 $q^{m-1}{\psi }_{q^m}(k-1)-n+d(C)$ 个点, 并且与某个 $(m-1)$-超平面相交于恰好 $q^{m-1}{\psi }_{q^m}(k-1)-n+d(C)$ 个点.

证明. 由命题 3.5, $G$ 的列定义了 $\mathrm{PHG}(R_R^k)$ 中的点. 为了证明 $F$ 的大小正确, 我们需要证明 $G$ 的列定义了不同的点. 使用引理 3.4, 我们有 ${\varphi }_{k,n}({\theta }^{m-1}G)$ 是线性码 ${\varphi }^n(\mathrm{Soc}(C))$ 的生成矩阵, 并且后一个码达到 Griesmer 界. 因此, ${\varphi }_{k,n}({\theta }^{m-1}G)$ 的列定义了 $\mathrm{PG}(k-1,q)$ 的不同射影点 [4]; 因此, $G$ 的列定义了 $\mathrm{PHG}(R_R^k)$ 的不同点.

由于 $\mathrm{Soc}(C)$ 中每个非零码字的 Hamming 权重至少为 $d(C)$, 并且存在一些 $\mathrm{Soc}(C)$ 中的码字, 其 Hamming 权重恰好为 $d(C)$, 任何 $(m-1)$-超平面包含最多 $n-d(C)$ 个 $\{{\mathbf{g}}_1,{\mathbf{g}}_2,\dots ,{\mathbf{g}}_n\}$ 的点; 因此, 它包含至少 $q^{m-1}{\psi }_{q^m}(k-1)-(n-d(C))$ 个 $F$ 的点.

$\square$

定义 3.10. 一个 $\{s,t;k-1,R_R\}$-minihyper $F$, $s\ge 1$, $t\ge 0$, 是 $\mathrm{PHG}(R_R^k)$ 中的 $s$ 个点的集合, 使得对于每个 $(m-1)$-超平面 $\Delta$, $|F\cap \Delta |\ge t$, 并且存在一个 $(m-1)$-超平面 $\Delta$ 使得 $|F\cap \Delta |=t$.

例 3.11. 以下 $\mathrm{PHG}({\mathbb{Z}}_3^8)$ 中的 $24$ 点集 $F$ 是一个 $\{24,8;2,{\mathbb{Z}}_8\}$-minihyper 的例子:

$$\begin{array}{rl}F:=& \{(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,1,3),(0,1,5),(0,1,7),(0,1,2),(0,1,4),(0,1,6),\\ & (0,2,1),(0,4,1),(0,6,1),(4,1,0),(4,0,1),(4,1,3),(4,1,5),(4,1,7),(4,1,1),\\ & (4,4,1),(4,1,4),(4,1,2),(4,2,1),(4,1,6),(4,6,1)\}.\end{array}$$

以下是有限链环上达到界 (2) 的线性码的几何特征.

定理 3.12. 所有达到界 (2) 的 $R$ 上长度为 $n$ 的左自由码 $C$ 与所有 $\{{\Phi }_{q^m,0}(k)+{\sum }_{i=0}^{k-2}{\epsilon }_i{v}_{i+1},{\Phi }_{q^m,m-1}(k-1)+{\sum }_{i=0}^{k-2}{\epsilon }_i{v}_i;k-1;R_R\}$-minihyper 之间存在一一对应关系, 其中 $0\le {\epsilon }_i\le q-1$ 且 $({\epsilon }_0,{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_{k-2})\ne (0,0,\dots ,0)$.

证明. 设 $C$ 是上述定理中提到的左线性码. 由于 $1\le d(C)<q^{k-1}$, $d(C)$ 可以唯一地表示为 [4]:

$$d(C)=q^{k-1}-\sum _{i=0}^{k-2}{\epsilon }_i{q}^i.$$

由于 $C$ 达到 Griesmer 界 (2),

$$n=v_k-\sum _{i=0}^{k-2}{\epsilon }_i{v}_{i+1}.$$

由引理 3.9, $C$ 对应于一个 $\{{\Phi }_{q^m,0}(k)+{\sum }_{i=0}^{k-2}{\epsilon }_i{v}_{i+1},{\Phi }_{q^m,m-1}(k-1)+{\sum }_{i=0}^{k-2}{\epsilon }_i{v}_i;k-1;R_R\}$-minihyper.

反之, 考虑具有上述参数的 minihyper $F$. 我们设 $d:=q^{k-1}-{\sum }_{i=0}^{k-2}{\epsilon }_i{q}^i$ 和 $n:=v_k-{\sum }_{i=0}^{k-2}{\epsilon }_i{v}_{i+1}$. 由 minihyper 的定义和 $d(C)=d({\theta }^{m-1}C)$, 长度为 $n$ 的左线性码如果其生成矩阵的列是 $\mathcal{P}(R_R^k)\setminus F$ 的点, 则具有极小 Hamming 权重 $d(C)=d$. 因此, $C$ 达到 Griesmer 界 (2). 这证明了定理.

$\square$

现在, 我们将考虑射影 Hjelmslev 空间中 minihyper 的一些构造.

定义 3.13. 对于 $i$, $0\le i\le m-1$, 和 $\mu$, $1\le \mu \le k$, 我们定义 $\mathrm{PHG}(R_R^k)$ 中的 $(i,\mu )$-flat $V_{i,\mu }$ 为齐次坐标 $(x_1,x_2,\dots ,x_k)$ 满足以下线性方程组的点集:

$${\theta }^{i}A(x_1,x_2,\dots ,x_k{)}^{\mathrm{T}}=0,$$

其中 $A$ 是一个 $R$ 上的 $(k-\mu )\times k$ 矩阵, 其行是线性独立的.

等价地, $\mathrm{PHG}(R_R^k)$ 中的 $(i,\mu )$-flat 是形状为 $m^{\mu }{i}^{k-\mu }$ 的子模 (参见 [11, Definition 1]).

引理 3.14. 设 $V_{i,\mu }$, $0\le i\le m-1$ 且 $1\le \mu \le k$, 是 $\mathrm{PHG}(R_R^k)$ 中的 $(i,\mu )$-flat. 则 $V_{i,\mu }$ 有 $(q^i{)}^{k-\mu }{\psi }_{q^m}(\mu )$ 个点.

证明. 参见 [11, Section 6.2].

$\square$

命题 3.15. 对 $0\le i\le m-1$ 与 $1\le \mu \le k$, 设 $V_{i,\mu }$ 是 $\mathrm{PHG}(R_R^k)$ 中的 $(i,\mu )$-flat. 则 $V_{i,\mu }$ 是一个 $\{(q^i{)}^{k-\mu }{\psi }_{q^m}(\mu ),q^{i(k-\mu )+m-1}{\psi }_{q^m}(\mu -1);k-1,R_R\}$-minihyper.

证明. 如果 $V_{i,\mu }$ 包含在 $(m-1)$-超平面 $H$ 中, 则

$$|V_{i,\mu }\cap H|=|V_{i,\mu }|=(q^i{)}^{k-\mu }{\psi }_{q^m}(\mu ).$$

如果 $(m-1)$-超平面 $H$ 不包含 $V_{i,\mu }$, 则当 $i<m-1$ 时, $(m-1)$-超平面 $H$ 与 $V_{i,\mu }$ 的交集具有形状 $m^{\mu -1}(m-1{)}^1{i}^{k-\mu }$ , 而当 $i=m-1$ 时, 形状为 $m^{\mu -1}(m-1{)}^{k-\mu +1}$ . 因此, $V_{i,\mu }\cap H$ 包含 $(q^i{)}^{k-\mu }{q}^{m-1}{\psi }_{q^m}(\mu -1)$ 个点.

$\square$

注 3.16. 对于例 3.11, 我们注意到 $F$ 是 $\mathrm{PHG}({\mathbb{Z}}_3^8)$ 中的 $(1,2)$-flat, 即 $1$-超平面.

对于 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {{}_{R}R}^n$ 和 $0\le i\le m-1$, 我们定义 $\mathbf{x}$ 的 $i$-权重如下:

$$i-wt(\mathbf{x}):=\mathrm{wt}({\theta }^i\mathbf{x})=|\{j\mid {\theta }^i{x}_j\ne 0\}|.$$

对于任何 $i\in \{0,\dots ,m-1\}$, 我们定义 $R$ 上左线性码 $C$ 的最大 $\mathbf{i}$-权重 $D_i(C)$ 为

$$D_i(C):=\max \{i-wt(\mathbf{x})\mid \mathbf{x}\in C\}.$$

以下是链环上 minihyper 与线性码之间的对应关系.

定理 3.17. 设 ${\mathbf{g}}_j$ ($j=1,\dots ,s$) 是 $R_R^k$ 中的 $s$ 个非零列向量, 其中任何两个向量在 $R$ 上线性独立. 则 $\{{\mathbf{g}}_1,{\mathbf{g}}_2,\dots ,{\mathbf{g}}_s\}$ 是 $\mathrm{PHG}(R_R^k)$ 中的 $\{s,t;k-1;R_R\}$-minihyper 当且仅当 $G=({\mathbf{g}}_1,{\mathbf{g}}_2,\dots ,{\mathbf{g}}_s)$ 是长度为 $s$ 的 fat 左自由线性码 $C$ 的生成矩阵, 且最大 $(m-1)$-权重为 $s-t$.

证明. 设 $F:=\{{\mathbf{g}}_1,{\mathbf{g}}_2,\dots ,{\mathbf{g}}_s\}$. 对于向量 $\mathbf{a}=(a_1,\dots ,a_k)\in R_R^k$, 使得至少有一个 $a_i$ 在 $R^{\times }$ 中, 我们记 ${\Delta }_{m-1}^{\mathbf{a}}$ 为 $\mathrm{PHG}(R_R^k)$ 中齐次坐标 $(x_1,\dots ,x_k)$ 满足以下线性方程的点集:

$${\theta }^{m-1}(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_k{x}_k)=0,$$

即 ${\Delta }_{m-1}^{\mathbf{a}}$ 是 $\mathrm{PHG}(R_R^k)$ 中的 $(m-1)$-超平面. 由于 $(m-1)-wt(\mathbf{a}G)$ 是使得 ${\theta }^{m-1}\mathbf{a}{\mathbf{g}}_i\ne 0$ 的向量 ${\mathbf{g}}_i$ 的数量, 我们有

$$|F|=s=(m-1)-wt(\mathbf{a}G)+|F\cap {\Delta }_{m-1}^{\mathbf{a}}|.$$

因此, $D_{m-1}(C)=s-{\min }_{\mathbf{a}}\{|F\cap {\Delta }_{m-1}^{\mathbf{a}}|\}$, 其中最小值取遍所有向量 $\mathbf{a}=(a_1,\dots ,a_k)\in R_R^k$, 使得至少有一个 $a_i$ 在 $R^{\times }$ 中.

定理得证.

$\square$

注 3.18. 为了结束本节关于 minihyper 的讨论, 我们希望指出 Honold 和 Landjev [12] 研究了射影 Hjelmslev 平面中的相关子结构, 即 $(t,s)$-阻塞多重集.

设 $\Pi =(\mathcal{P},\mathcal{L},I)$ 是射影 Hjelmslev 平面. $\Pi$ 中的多重集是一个映射 $\mathfrak{k}:\mathcal{P}\to \mathbb{N}$. 整数 $\mathfrak{k}(P)$ 称为点 $P$ 的重数. 可以通过以下方式将映射 $\mathfrak{k}$ 扩充到 $P$ 的所有子集:

$$\mathfrak{k}(\mathcal{Q})=\sum _{P\in \mathcal{Q}}\mathfrak{k}(P),$$

对于 $\mathcal{Q}\subseteq \mathcal{P}$.

如果 $\mathfrak{k}(\mathcal{P})=k$ 且对于任何 $l\in \mathcal{L}$, $\mathfrak{k}(l)\le n$, 则多重集 $\mathfrak{k}:\mathcal{P}\to \mathbb{N}$ 称为 $(k,n)$-弧. 类似地, 如果 $\mathfrak{k}(\mathcal{P})=t$ 且对于任何 $l\in \mathcal{L}$, $\mathfrak{k}(l)\ge s$, 则多重集 $\mathfrak{k}:\mathcal{P}\to \mathbb{N}$ 称为 $(t,s)$-阻塞多重集.

弧 (或阻塞多重集) $\mathfrak{k}$ 如果对于每个 $P\in \mathcal{P}$ 都有 $\mathfrak{k}(P)\in \{0,1\}$, 则称为射影的. 在 [12] 中, Honold 和 Landjev 研究了 $\mathrm{PHG}(R_R^3)$ 中的 $(t,s)$-阻塞多重集 $\mathfrak{k}$, 其中 $|R|=q^2$, $R/(R\theta )\cong {\mathbb{F}}_q$ 且 $1\le s\le q$. 他们证明了 $t\ge sq(q+1)$, 并且等号可以取到. 他们还给出了关于 $t=sq(q+1)$ 的阻塞多重集的信息.

如果我们考虑 $R$ 上的线性 $[n,3,d]$ 码, $|R|=q^2$, $R/(R\theta )\cong {\mathbb{F}}_q$, $d=q^2-{\epsilon }_0-{\epsilon }_{1}q<q^2$, $0\le {\epsilon }_0,{\epsilon }_1\le q-1$, 达到 Griesmer 界, 则 $n=v_3-{\epsilon }_0{v}_1-{\epsilon }_1{v}_2$, 并且对应的 minihyper 的大小为 ${\Phi }_{q^2,0}+{\sum }_{i=0}^1{\epsilon }_i{v}_{i+1}=(q^2-1)v_3+{\epsilon }_0{v}_1+{\epsilon }_1{v}_2$.

类似地, 如引理 3.9 的证明中所述, 这个 minihyper 与 $\mathcal{L}$ 的每个元素相交, 因此每个 $0$-超平面, 至少 ${\psi }_{q^2}(2)-n+d=q^2-1+{\epsilon }_1$ 个点.

因此, 这里的 minihyper 是一个 $\{(q^2-1)v_3+{\epsilon }_0{v}_1+{\epsilon }_1{v}_2,q^2-1+{\epsilon }_1;2,R_R\}$-minihyper. 因此, 与 Honold-Landjev 研究的 $(t,s)$-阻塞多重集相比, 这些是 $s$ 较大的 $(t,s)$-阻塞多重集.

致谢

作者感谢审稿人的一些有用评论和建议.

参考文献

[1]	A. Ashikhmin, On generalized Hamming weights for Galois ring linear codes, Des. Codes Crypto. 14 (1998) 107–126.
[2]	B.I. Belov, V.N. Logachev, V.P. Sandimirov, Construction of a class of linear binary codes achieving the Varshamov–Griesmer bound, Problems Inform. Transmission 10 (1974) 211–217.
[3]	J.H. Griesmer, A bound for error-correcting codes, IBM J. Res. Dev. 4 (1960) 532–542.
[4]	N. Hamada, Characterization of minihypers in a finite projective geometry and its applications to error-correcting codes, Bull. Osaka Women’s Univ. 24 (1987) 1–24.
[5]	N. Hamada, M. Deza, A survey of recent works with respect to a characterization of an (n; k; d : q)-code meeting the Griesmer bound using a min · hyper in finite projective geometry, Discrete Math. 77 (1989) 75–87.
[6]	N. Hamada, T. Helleseth, A characterization of some q-ary codes (q ¿ (h −1)2, h ¿ 3) meeting the Griesmer bound, Math. Japon. 38 (1993) 925–940.
[7]	N. Hamada, T. Helleseth, Arcs, blocking sets and minihypers, Comput. Math. 39 (2000) 159–168.
[8]	N. Hamada, F. Tamari, On a geometrical method of construction of maximal t-linearly independent sets, J. Combin. Theory Ser. A 25 (1978) 14–28.
[9]	T. Helleseth, A characterization of codes meeting the Griesmer bound, Inform. and Control 81 (1981) 128–159.
[10]	T. Honold, I. Landjev, Projective Hjelmslev geometries, Proceedings of the Second International Workshop on Optimal Codes, 1998, pp. 97–115.
[11]	T. Honold, I. Landjev, Linear codes over finite chain rings, Electron. J. Combin. 7(1) (2000) Research Paper 11.
[12]	T. Honold, I. Landjev, Arcs in projective Hjelmslev planes, Discrete Math. Appl. 11 (2001) 53–70.
[13]	H. Horimoto, K. Shiromoto, A Singleton bound for linear codes over quasi-Frobenius rings, Proceedings of the 13th AAECC Symposium On Applied Algebra, Algebraic Algorithms, and Error-Correcting Codes, Hawaii, 1999, pp. 51–52.
[14]	H. Horimoto, K. Shiromoto, MDS codes over finite quasi-Frobenius rings, preprint.
[15]	T.Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 189, Springer, New York, 1998.
[16]	F.J. MacWilliams, N.J.A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland, New York, 1977.
[17]	B.R. McDonald, Finite Rings with Identity, Pure and Applied Mathematics, Vol. 28, Marcel Dekker, New York, 1974.
[18]	G. Solomon, J.J. Stiffler, Algebraically punctured cyclic codes, Inform. and Control 8 (1965) 170–179.
[19]	J.A. Wood, Duality for modules over finite rings and applications to coding theory, Amer. J. Math. 121 (1999) 555–575.