用户: 鲖阳路人/偏序环

设 $G$ 是一个偏序加法群. 如果对于所有的 $n\in \mathbb{Z}$, 都有 $nx⩽y$, 则称元素 $x\in G$ 远小于元素 $y\in G$ (记为 $x\ll y$) . 我们用 $M_a$ 表示所有满足 $g\ll a$ 的 $g\in G$ 的集合, 其中 $a>0$.

定义 0.1. 一个环 $R$ 称为偏右 $\mathcal{K}$-序环, 如果它满足以下条件:

1)	$R,+>$ 是一个偏序群;
2)	如果 $a>0$ 在 $R$ 中, 则对于所有的 $r\in R$, 都有 $ar\ll a$.

如果群 $<R,+>$ 的序是线性的, 则称环 $R$ 为线性右 $\mathcal{K}$-序环.

定理 0.2. 设 $R$ 是一个环, $I$ 是 $R$ 的一个理想, 满足以下条件:

1)	环 $<I,{⩽}_1>$ 和 $<R/I,{⩽}_2>$ 是偏右 $\mathcal{K}$-序环;
2)	如果 $a\in I$ 且 $a{>}_{1}0$, 则对于每个 $r\in R$, 都有 $ar{⩽}_{1}a$.

那么环 $R$ 可以被赋予一个偏右 $\mathcal{K}$-序 $⩽$, 使得在环 $I$ 中继承序 ${⩽}_1$, 在环 $R/I$ 中继承序 ${⩽}_2$; 并且 $I$ 在序 $⩽$ 下是 $R$ 的一个凸理想.

设 $\mathcal{U}$ 是环 $R$ 的一个理想系统, 包含 $\{0\}$ 和 $R$. 如果对于 $\mathcal{U}$ 的任何子系统, 以下条件成立: 构成该子系统的理想的并集和交集都属于 $\mathcal{U}$, 则称理想系统 $\mathcal{U}$ 是完全的. 如果对于每个理想 $J$, 关系 $A\subseteq J\subseteq B$ 蕴含 $A=J$ 或 $J=B$, 则称理想 $A\subset B$ 的包含关系为一步.

定理 0.3. 如果 $R$ 是一个线性右 $\mathcal{K}$-序环, 则存在一个完全的右理想系统, 其中任何右理想的一步 $I\subset J$ 都满足以下条件:

1)	$JR\subset I$;
2)	$I$ 是 $J$ 的一个凸理想;
3)	对于所有的 $b\in J\setminus I$, 其中 $b>0$, 都有 $I=M_b$.

定理 0.4. 设 $R$ 是一个没有单位元的环, 并且存在一个完全的右理想系统, 满足以下条件: 如果 $I\subset J$ 是该系统中的任何一步右理想, 则 $I$ 是 $J$ 的一个理想, 并且商群 $<J/I,+>$ 是一个无挠群. 那么 $R$ 可以被赋予一个线性右 $\mathcal{K}$-序.