用户: 鲖阳路人/二次型, 格与理想类

1引言

这篇笔记旨在为二次型与理想类之间的经典对应关系提供一个自洽、现代、简洁且清晰的理论处理. 得到这种对应关系最自然的方式是通过复格的研究来中介. 采用这种视角, 可以将二次型与理想类之间的等价性分解为若干步骤, 每一步都显得必然且令人满意.

这篇笔记要求读者熟悉二次域的基本数论知识, 包括整数环、理想类群和判别式. 一些容易验证的细节将被省略. 更完整的处理可以参考 Cox 的著作 Primes of the Form $x^2+n{y}^2$.

2格的模空间

我们引入上半平面, 并证明在商去自然的 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 作用后, 它可以解释为复格的模空间.

上半平面定义为复平面的 “上半部分”, 即$$\mathfrak{h}=\{x+iy:y>0\}\subseteq \mathbb{C}.$$

对于 $\tau \in \mathfrak{h}$, 我们将其解释为一个复格 ${\Lambda }_{\tau }:=\mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{C}$. 两个复格 $\Lambda$ 和 ${\Lambda }^{\prime }$ 称为相似的 (homothetic) , 如果其中一个可以通过乘上一个复数 (几何上为旋转和伸缩) 得到另一个, 此时记作 $\Lambda \sim {\Lambda }^{\prime }$.

给定一个格 $\Lambda =\alpha \mathbb{Z}+\beta \mathbb{Z}$, 在相似意义下, 它可以表示为 $\mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z}$, 其中 $\tau =\beta /\alpha$. 通过交换 $\alpha$ 和 $\beta$, 可以确保 $\tau$ 的虚部为正. 因此, 每个格在相似意义下都可以由某个 $\tau \in \mathfrak{h}$ 表示.

然而, 许多不同的 $\tau$ 会给出相同的格. 例如, $\tau$ 和 $\tau +1$ 显然给出相同的格: 这本质上是基的变换. 为了解决这一问题, 我们定义 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 在上半平面上的自然作用 ¹如下: $$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\cdot \tau =\frac{a\tau +b}{c\tau +d}.\text{\hspace{1em}(1)}$$

从几何角度看, 这作用就是 Möbius 变换 ². 其中两个重要的 Möbius 变换包括平移变换与单位圆反演: $$\begin{gathered} T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),\tau \mapsto \tau +1, \\ S=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),\tau \mapsto -1/\tau . \end{gathered}$$

命题 2.1. ${\Lambda }_{\tau }\sim {\Lambda }_{{\tau }^{\prime }}$ 当且仅当存在 $M\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 使得 ${\tau }^{\prime }=M\cdot \tau$.

证明. 证明的关键在于 $M$ 实现了格的基变换, 这会改变 $\tau$ 但不改变格本身. 具体来说, 可以验证: $${\Lambda }_{M\cdot \tau }=\mathbb{Z}+\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\mathbb{Z}\sim (c\tau +d)\mathbb{Z}+(a\tau +b)\mathbb{Z}=\mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(2)}$$反之, 如果 $\tau$ 和 ${\tau }^{\prime }$ 给出相同的格, 则 $\mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z}\sim \mathbb{Z}+{\tau }^{\prime }\mathbb{Z}$, 从而诱导出关系: $$\alpha =c+d\tau ,\alpha {\tau }^{\prime }=a+b\tau$$对某个 $\alpha \in \mathbb{C}$ 成立. 这正是关系 $(1)$.

$\square$

我们现在已经证明, 上半平面商去 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 作用后, 在相似意义下是格的模空间.

一个基本区域由以下集合给出: $$\mathcal{F}:=\{z\in \mathfrak{h}:-1/2\le |\mathrm{Re}(z)|\le 0,|z|\ge 1\}\cup \{z\in \mathfrak{h}:0<|\mathrm{Re}(z)|<1/2,|z|>1\}.$$证明这是个基本域 (即每个 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 轨道恰好包含该集合中的一个元素) 是初等的, 但证明稍长. 许多书籍中都有相关内容, 例如 Voight 的 Quaternion Algebras 第 35 章, 或 Silverman 的 Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves 第一章等.

注意矩阵 $-I$ 的作用是平凡的, 因此有时考虑 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}):=\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})/\pm I$ 的作用更为方便, 该作用是忠实的. 值得一提的是, $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 由上述定义的矩阵 $S$ 和 $T$ 生成. 建议参考上述书籍中基本域及其在 $S$ 和 $T$ 作用下的变换图像.

3理想类作为 $K$-格

我们证明虚二次域的理想类可以自然地解释为相似意义下的复格.

假设读者熟悉数域整数环中理想类的基本知识. 在接下来的笔记中, $K$ 表示一个虚二次域.

通过标量扩张, 可以将 $K$ 嵌入到 $\mathbb{C}$ 中: $\mathbb{C}\cong \mathbb{R}{\otimes }_{\mathbb{Q}}K$. 由 $\mathbb{C}$ 在 $K$ 上诱导的度量拓扑与 $K$ 作为 $\mathbb{Q}$-向量空间的拓扑一致. 关键点在于, $K$ 的格仍然是 $\mathbb{C}$ 中的格. 这对于实二次域或更高次的域不成立, 但在这里恰好成立.

回忆分式理想就是 $K$ 中的格, 因此我们可以将其视为由 $K$ 中元素生成的复格. 考虑到相似性, 我们引入以下定义.

定义 3.1. 复格 $\Lambda =\alpha \mathbb{Z}+\beta \mathbb{Z}$ 称为 $K$-格, 如果 $\beta /\alpha \in K$.

这一性质与格的基选择无关, 因为如果 ${\alpha }^{\prime }=a\alpha +b\beta$, ${\beta }^{\prime }=c\alpha +d\beta$, 则 $\alpha /\beta \in K$ 当且仅当 ${\alpha }^{\prime }/{\beta }^{\prime }\in K$ (即 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 在 $\mathfrak{h}$ 上的作用将 $K$ 映射到 $K$) . 此外, $K$-格的性质在相似意义下是不变的. 总可以通过缩放使得 $\alpha ,\beta \in K$ (例如, 取 $1$ 和 $\beta /\alpha$ 作为基) .

最后, 任何 $K$-格都可以缩放为 ${\mathcal{O}}_K$ 的子格. 具体来说, 设 $\Lambda =\alpha \mathbb{Z}+\beta \mathbb{Z}$, 其中 $\alpha ,\beta \in K$. 理想 $(\alpha ,\beta )$ 是一个分式理想, 因此存在某个 $d\in {\mathcal{O}}_K$ 使得 $d(\alpha ,\beta )\subseteq {\mathcal{O}}_K$, 从而 ³$d\Lambda \subseteq {\mathcal{O}}_K$.

因此, $K$-格正是那些在上半平面理论中由 $\tau \in K$ 生成的格.

接下来我们讨论格的自同态, 其集合称为阶 (order) .

定义 3.2. $K$-格 $\Lambda$ 的阶定义为: $$\mathrm{ord}(\Lambda )=\{x\in \mathbb{C}:x\Lambda \subseteq \Lambda \}.$$

格的阶在相似意义下显然不变. 它也与格的基选择无关, 因此对于 $M\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$, 有 $\mathrm{ord}({\Lambda }_{\tau })=\mathrm{ord}({\Lambda }_{M\cdot \tau })$, 即它在 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 作用下不变. 因此, 可以说 $\tau \in \mathfrak{h}$ 有一个阶.

命题 3.3. 阶 $\mathrm{ord}(\Lambda )$ 是 ${\mathcal{O}}_K$ 的一个含幺子环.

证明. 首先, $\mathrm{ord}(\Lambda )\subseteq K$, 因为 $x\in \mathrm{ord}({\Lambda }_{\tau })$ 作用于第一个基元素 $1$, 有 $x\in {\Lambda }_{\tau }\subseteq \mathbb{Q}(\tau )\subseteq K$. 唯一困难的部分是 $\mathrm{ord}(\Lambda )\subseteq {\mathcal{O}}_K$. 由相似性, 可以假设 $\Lambda \subseteq {\mathcal{O}}_K$. 因此, 如果 $x\in \mathrm{ord}(\Lambda )$, 则对所有正整数 $n$, 有 $x^n\Lambda \subseteq \Lambda \subseteq {\mathcal{O}}_K$. 取 $\lambda \in \Lambda$, 则对所有 $n$ 有 $\lambda x^n\in {\mathcal{O}}_K$, 这意味着 ${\mathcal{O}}_K[x]$ 是一个分式理想, 因此有限生成, 从而 $x$ 是整的. 因此 $\mathrm{ord}(\Lambda )\subseteq {\mathcal{O}}_K$. 最后, 显然它是一个含幺子环.

$\square$

我们将重点讨论阶为 ${\mathcal{O}}_K$ 的格, 但包含其他阶的理论同样丰富.

命题 3.4. 固定 $K$ 到 $\mathbb{C}$ 的一个嵌入. 在该嵌入下, ${\mathcal{O}}_K$ 的每个分式理想都是一个阶为 ${\mathcal{O}}_K$ 的 $K$-格. 此外, 任何 $K$-格都可以缩放至 $K$ 中, 且其阶为 ${\mathcal{O}}_K$ 当且仅当任何这样的缩放都是 ${\mathcal{O}}_K$ 的分式理想. 两个阶为 ${\mathcal{O}}_K$ 的 $K$-格相似当且仅当对应的分式理想等价.

证明. 分式理想 $I$ 自然是一个 $K$-格, 且根据理想的定义, 其阶为 ${\mathcal{O}}_K$. 反之, 考虑一个阶为 ${\mathcal{O}}_K$ 的 $K$-格 $\Lambda$. 它是一个 ${\mathcal{O}}_K$-模, 且有限生成, 因此如果缩放至 $K$ 中, 则是一个分式理想. 理想 $I_1$ 和 $I_2$ 等价当且仅当存在 $d\in K$ 使得 $I_1=d{I}_2$, 这正是相似关系.

$\square$

命题可重述为以下直接推论.

推论 3.5. ${\mathcal{O}}_K$ 的理想类与阶为 ${\mathcal{O}}_K$ 的 $K$-格在相似意义下双射. 这一对应通过将理想类视为 $K$ 在 $\mathbb{C}$ 中给定嵌入下的复格来实现.

我们用 $\mathrm{Cl}(K)$ 表示 ${\mathcal{O}}_K$ 的理想类群.

最后, 我们记下一个后续会用到的引理.

引理 3.6. 假设 $\tau$ 是多项式 $a{x}^2+bx+c\in \mathbb{Z}[x]$ 的一个复根, 其中 $\gcd (a,b,c)=1$. 则 $\mathrm{ord}({\Lambda }_{\tau })=\mathbb{Z}[a\tau ]$.

证明. 我们验证 $a\tau {\Lambda }_{\tau }=\tau \mathbb{Z}+{\tau }^2\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z}$, 因为 $\tau$ 满足 $a{\tau }^2=-b\tau -c$. 这表明 $\mathbb{Z}[a\tau ]\subseteq \mathrm{ord}({\Lambda }_{\tau })$. 反之, 假设 $\alpha =e+f\tau$, 其中 $e,f\in \mathbb{Q}$. 则自同态 “乘以 $\alpha$” 在基 $1$ 和 $\tau$ 下的矩阵为: $$\left(\begin{array}{cc}e& -cf/a\\ f& e-bf/a\end{array}\right).$$条件 $\alpha {\Lambda }_{\tau }\subseteq {\Lambda }_{\tau }$ 恰好要求矩阵元素为整数. 由于 $\gcd (a,b,c)=1$, 我们得到 $a\mid f$. 因此 $\mathrm{ord}({\Lambda }_{\tau })\subseteq \mathbb{Z}[a\tau ]$.

$\square$

4二次型作为 $K$-格

在本节中, 我们将基本判别式为 $\mathbf{\Delta }$ 的本原整二元二次型 (在真等价意义下) 解释为 $\mathbb{Q}(\mathbf{\Delta })$-格 (在相似意义下).

定义 4.1. 整二元二次型是 $\mathbb{Z}[x,y]$ 中的表达式 $a{x}^2+bxy+c{y}^2$. 该型的判别式为 $\Delta =b^2-4ac$. 如果 $\Delta <0$, 则称该型是有定的. 如果 $\gcd (a,b,c)=1$, 则称其为本原的.

二次型理论中的一个事实是, 有定型仅取单一符号的值. 这是因为在 $\mathbb{R}$ 上, 任何二元二次型都可以对角化 ⁴; 判别式为负当且仅当对角化为 $x^2+y^2$ 或 $-x^2-y^2$. 如果是前者, 我们称其为正定的 (否则为负定的) .

数论的一个基本问题是: 二次型取 (表示) 哪些值? 自然地, 我们考虑变量变换下的二次型, 这不会改变型表示的值集. 为此, 我们定义 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 的作用.

定义 4.2. 设 $M\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$. 则 $M$ 作用于 ${\mathbb{Z}}^2$ 中的向量. 记 $\mathbf{v}=(x,y{)}^{\mathrm{T}}$ 为变量的列向量, 二次型 $f(x,y)$ 可以通过 $M$ 作用: $$M\cdot f(\mathbf{v})=f(M\cdot \mathbf{v}).$$如果两个整二元有定二次型 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 在同一个轨道中, 则称它们真等价, 记作 $f\sim g$.

具体来说, 这就是: $$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\cdot f(x,y)=f(ax+by,cx+dy).$$$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 的作用不改变型的判别式 (这是一个简单的计算) . 因此, 我们可以定义型类群 $\mathrm{Cl}(\Delta )$ 是判别式为 $\Delta$ 的本原整二元二次型的真等价类集合.

二次型也产生复格, 尽管这种关联稍不明显. 二次型 $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ 有一个关联多项式 $a{x}^2+bx+c$ (通过设 $y=1$) . 如果 $\Delta <0$, 它有一对共轭虚根 ${\tau }_f,\overline{{\tau }_f}$, 即: $$\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}.\text{\hspace{1em}(3)}$$我们取 ${\tau }_f$ 为上半平面的根. 注意 ${\tau }_f$ 的极小多项式的判别式为 $\Delta$, 这意味着 $\mathbb{Z}[{\tau }_f]$ 的判别式为 $\Delta$.

命题 4.3. 设 $\Delta$ 为负整数. 存在一个 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$-等变双射, 将判别式为 $\Delta$ 的本原整二元二次型 $f$ 与判别式为 $\Delta$ 的二次无理数 ${\tau }_f$ 联系起来. 等变性由 ${\tau }_{M\cdot f}=M^{-1}({\tau }_f)$ 给出.

证明. 我们已经看到如何将 $f$ 与上半平面中的元素 ${\tau }_f$ 关联起来, 其中 ${\tau }_f$ 是 $f(x,1)$ 的根. 为了反转这一过程, 取 ${\tau }_f$ 的极小多项式 (二次) 并齐次化以重新引入变量 $y$. 这里有一个小问题: 二次型的任何缩放 (即用 $\lambda f$ 代替 $f$) 都会产生相同的 ${\tau }_f$. 因此必须在标量倍数中选择本原型.

我们还必须证明, $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 在整二元正定二次型 $f$ 上的作用与 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 在根 ${\tau }_f$ 上的逆作用是等变的, 即 ${\tau }_{M\cdot f}=M^{-1}({\tau }_f)$. 这是一个计算, 因此省略证明, 只举个例子 ${\tau }_{a(x-1{)}^2+b(x-1)+c}={\tau }_{a{x}^2+bx+c}+1$.

$\square$

在陈述给出型与格之间双射的推论之前, 我们暂停一下, 因为我们更倾向于关注最大阶 ${\mathcal{O}}_K$ 的 $K$-格. 以下定义对于刻画与最大阶关联的判别式很有用.

定义 4.4. 判别式 $\Delta$ 是基本的, 如果它形如 $\Delta =4m$, 其中 $m\equiv 2$ 或 $3(\mathrm{mod}4)$ 且无平方因子, 或形如 $\Delta =m$, 其中 $m\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ 且无平方因子.

一个事实是, 这些判别式 (除了 $\Delta =1$) 与二次数域一一对应, 作为其整数环的判别式. (非基本非平方判别式给出其他的阶, 即 ${\mathcal{O}}_K$ 的满秩含幺子环. )

现在我们可以陈述推论.

推论 4.5. 设 $\Delta$ 为与虚二次域 $K$ 关联的负基本判别式. 存在双射, 将判别式为 $\Delta$ 的整二元二次型的真等价类与阶为 ${\mathcal{O}}_K$ 的 $K$-格的相似类联系起来.

证明. 由命题 4.3, 存在双射将这些形式与上半平面中判别式为 $\Delta$ 的二次无理数 ${\tau }_f$ 联系起来, 模去 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 的作用.

将 ${\tau }_f$ 与 $f$ 关联后, 还可以关联一个 $K$-格: $${\Lambda }_f:={\Lambda }_{{\tau }_f}.$$该格的阶为 $\mathbb{Z}[a{\tau }_f]$ (由引理 3.6) , 其判别式为 $\Delta$. 因此, 由于 $\Delta$ 是基本的, 它是一个阶为 ${\mathcal{O}}_K$ 的 $K$-格.

反之, 任何阶为 ${\mathcal{O}}_K$ 的 $K$-格在相似意义下形如 $\Lambda =\mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z}$, 其中 $\tau \in K$. 因此 $\tau$ 是二次的, 且我们已经看到 $\tau$ 的判别式与其阶的判别式一致. 如果 $\Lambda ={\Lambda }_{{\tau }_f}$, 则 ${\tau }_f\sim \tau$, 因此这是一个双射.

$\square$

5二次型与理想类

我们现在陈述完整的双射. 设 $K$ 为判别式为 ${\Delta }_K$ 的虚二次域.

定理 5.1. 存在双射: $$\mathrm{Cl}(K)\leftrightarrow \{\text{阶为}{\mathcal{O}}_K\text{的}K\text{-格}\}/\sim \leftrightarrow \mathrm{Cl}({\Delta }_K)$$从左到右: $$\mathfrak{a}\mapsto {\Lambda }_{\mathfrak{a}}=\alpha \mathbb{Z}+\beta \mathbb{Z}\mapsto N(\alpha x-\beta y)/N(\mathfrak{a}).\text{\hspace{1em}(4)}$$从右到左: $$a{x}^2+bxy+c{y}^2\mapsto {\Lambda }_f=\mathbb{Z}+\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\mathbb{Z}\mapsto \left(a,\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2}\right).\text{\hspace{1em}(5)}$$

证明. 双射由推论 3.5 和推论 4.5 给出, 其中我们找到了显式映射. 通过追踪这些映射, 容易看到从右到左方向的显式映射, 即 (5).

对于逆映射, 我们从一个表示分式理想 $\mathfrak{a}$ 的 $K$-格 ${\Lambda }_{\mathfrak{a}}=\alpha \mathbb{Z}+\beta \mathbb{Z}$ 出发, 得到对应的二次型, 它应该来自 $\beta /\alpha$ 的极小多项式. 一种简洁的方法是将其恢复为 $K$ 上自同态 $x\mapsto (\beta /\alpha )x$ 的特征多项式, 即 $\det (Ix-m_{\beta }{m}_{\alpha }^{-1})=N(\alpha x-\beta y)/N(\alpha )$.

因此逆映射应为: $$\mathfrak{a}\mapsto {\Lambda }_{\mathfrak{a}}=\alpha \mathbb{Z}+\beta \mathbb{Z}\mapsto \kappa N(\alpha x-\beta y),\text{\hspace{1em}(6)}$$其中 $\kappa$ 待定.

为了确定 $\kappa$ 并验证这就是逆映射, 我们选取一个良好的格相. 假设 $\beta /\alpha$ 满足多项式 $a{x}^2+bx+c\in \mathbb{Z}[x]$, 且 $\gcd (a,b,c)=1$. 则: $$\alpha \mathbb{Z}+\beta \mathbb{Z}\sim a\mathbb{Z}+\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2}\mathbb{Z}.$$最右边的系数记为 $\gamma$, 它是一个生成 ${\mathcal{O}}_K$ 的代数整数 (其极小多项式为 $x^2+bx+\frac{b^2-\Delta }{4}$, 判别式为 $\Delta$) , 且该格在 ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}+\gamma \mathbb{Z}$ 中的余体积为 $a$.

我们计算: $$\begin{array}{rl}& N\left(ax-\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2}y\right)N{\left(\left(a,\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2}\right)\right)}^{-1}\\ =& \left(a^2{x}^2+abxy+\frac{b^2-\Delta }{4}{y}^2\right)a^{-1}\\ =& a{x}^2+bxy+c{y}^2.\end{array}$$因此, 正确的缩放更规范地表示为: $$\frac{N(\alpha x-\beta y)}{N(\mathfrak{a})},$$这在相似意义下显然不变.

因此, (5) 的逆映射为 (4).

$\square$

6类群的有限性

我们现在简要介绍一些成果. 给定一个二次型 $f$, 可以应用 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 的作用将 ${\tau }_f$ 置于基本域中. 这给出了一种约化理论, 即一种算法, 将 $f$ 替换为其等价类的规范代表. 通过显式推导, 我们得到:

命题 6.1. 设 $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$. 则 ${\tau }_f\in \mathcal{F}$ 当且仅当 $|b|\le a\le c$, 且当 $|b|=a$ 或 $a=c$ 时 $b\ge 0$.

这样的形式称为约化的. 特别地, 这意味着对于固定的判别式 $\Delta =b^2-4ac$, 只有有限多个约化形式 (注意到 $|\Delta |\ge 3a^2$, 因此 $a$ 和 $b$ 的选择有限; 但任何这样的选择最多确定一个 $c$) .

我们用 $\mathrm{Cl}(\Delta )$ 表示判别式为 $\Delta$ 的二次型的等价类集合. 我们刚刚证明了 $|\mathrm{Cl}(\Delta )|<\infty$. 通过双射, 立得 $|\mathrm{Cl}(K)|<\infty$.

7二次型的复合

由于类群具有群运算, 二次型的等价类集合也一定能通过这一双射继承群运算. 二次型的复合实际上早在类群之前就被观察到. 这类例子中的一个恒等式是: $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2,$$这本质上是 Gauss 范数的可乘性, 但现在我们可以将其解释为 $\mathbb{Z}[i]$ 的类群中的恒等式 $(1)(1)=(1)$. 一个与这一故事相符的一般复合法则可以在 Cox 的著作 Primes of the Form $x^2+n{y}^2$ 中找到. 或者, 你也可以通过上述双射自行推导.

1.	^ $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 能够保持上半平面的原因在于其行列式恒为 $1$ 而不是 $-1$, 从而不会翻转到下半平面.
2.	^ 建议观看 Möbius Transformations Revealed 作为该主题的入门资料
3.	^ 注意: $\Lambda$ 不一定等于 $(\alpha ,\beta )$ (一个是在 $\mathbb{Z}$ 上生成的, 另一个是在 ${\mathcal{O}}_K$ 上生成的, 因此是单向的包含关系).
4.	^ 这里我指的是 Gram 矩阵