用户: 香蕉三千/酉志村簇的精细结构

我们解释和做一些较为技术的工作.

考虑虚二次数域 $E/\mathbb{Q}$, 素数 $p>2$.

1hermitian 空间 $V$

取正整数 $n_0,n_1>0$. 我们先考虑好 ($K_p$ 超特殊) 的特殊纤维上的剖分 [1] [2] . 假定 $p$ 在 $E$ 中惯性. 令 $k={\mathcal{O}}_E/p={\mathbb{F}}_{p^2}$.

定义 1.1. 考虑分类四元对 $(A,\iota ,\lambda ,\eta )$ 的模空间 $\mathcal{M}={\mathcal{M}}_p\to \mathrm{Spec}k$, 其中 $A$ 是测试概形上的 Abel 簇, $\iota :{\mathcal{O}}_E\to \mathrm{End}(A)$ 是 ${\mathcal{O}}_E$-作用, $\lambda :A\to A^{\vee }$ 是 $p$ 素的极化, $\eta$ 是一个 $p$ 素的层次结构. 并且我们要求 $\iota$ 诱导 ${\mathcal{O}}_E/p\otimes {\mathcal{O}}_E/p=k\oplus k$ 作用在切空间 $\mathrm{Lie}A$ 上的分解型是 $(n_0,n_1)$, $\lambda$ 是 ${\mathcal{O}}_E$ 共轭线性, $\eta$ 与 $\lambda$ 兼容.

命题 1.2. 模空间 $\mathcal{M}\to \mathrm{Spec}k$ 是等维数 $n_0{n}_1$ 的代数叠. 且 $\mathcal{M}\to \mathrm{Spec}k$ 光滑拟射影.

我们有万有 Abel 概形 $\pi :{\mathcal{A}}_p\to {\mathcal{M}}_p$. $({\mathcal{A}}_p[p],\iota ,\lambda ,\eta )\to {\mathcal{M}}_p$ 按同构类的分类给出 $\mathcal{M}$ 的 EO 划分.

EO 剖分

命题 1.3.

1.	$\mathcal{M}$ 的 EO 剖分与对称群的陪集 $S_{n_0}\times S_{n_1}\backslash S_{n_0+n_1}$ 有一一对应 ${\mathcal{M}}_w\leftrightarrow w$.
2.	$X_w$ 拟仿射, 光滑.
3.	$X_w$ 的维数等于陪集极小长度代表元 $w$ 的长度 $\ell (w)$.
4.	闭包关系: $X_{w_1}\subseteq \overline{X_{w_2}}$ 成立当且仅当 $w_1{\le }_{\varphi }{w}_2$ (Frobenius 偏转 Bruhat 序).

特别地如果 $(n_0,n_1)=(n-1,1)$, 那么 EO 剖分共有 $n$ 个, 它们具有全序 (按闭包关系) , 维数是 $\{0,1,\dots ,n-1\}$.

证明. 见 [1, Thm. 3.3.2]. 按 Coxeter 群语言有 $J=S-\{s_{n_0}=(n_0,n_0+1)\}$, $S_{n_0}\times S_{n_1}=W_J\subseteq W_S=S_{n_0+n_1}$, 陪集的极小长度代表元 ${}^{J}W$ 可具体构造. 一般的, EO 剖分对应 $G$ 的 Weyl 群商掉保持 Hodge 滤过不变 (即 $\mu$ 定义) 的抛物子群的 Levi 的 Weyl 群.

$\square$

Newton 剖分

[2][7]

命题 1.4. 假设 $(n_0,n_1)=(n-1,1)$.

1.	对 $n/2\le i\le n-1$, 维数为 $i$ 的 EO 部分构成一个非超奇异的 Newton 部分. 进一步, 万有 p 可除群在该部分上常值.
2.	剩下的维数为 $i$ 的 EO 部分 ($0\le i\le (n-1)/2$) 构成超奇异的 Newton 部分. 所以超奇异部分 ${\mathcal{M}}_p^b$ 有等维数 $\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$. 我们共有 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1$ 个 Newton 部分.

证明. 见 [7, Section 5], 特别地 (5.4.1), Prop (5.5).

$\square$

命题 1.5. 群 $U({\mathbb{A}}_f^p)$ 在 ${\mathcal{M}}_p^b$ 的分支上的 p 素 Hecke 作用是可迁地.

证明. 见 [2, Lem. 5.1].

$\square$

2除环 $B$

这来自 Kottwitz 的 set up, 简单 (simple) 于是没有内窥.

考虑 $E$ 上 $n^2$ 维中心可除代数 $B$, 带有 $E/\mathbb{Q}$ 共轭线性的对合 $\ast$, 以及 $\mathbb{R}$ 代数同态 $h_0:{\mathrm{Res}}_{\mathbb{C}/\mathbb{R}}\mathbb{C}\to B_{\mathbb{R}}$ 使得对合 $x\to h_0(i)x^{\ast }{h}_0(i{)}^{-1}$ 为正. 那么函子$$R\to G(R):=\{x\in D(R)|x{x}^{\ast }\in R^{\times }\}$$定义了 $\mathbb{Q}$ 上约化群 $G$. 我们得到 PEL 型志村数据 $(G,\{h_0\})$, 互反域是 $E_{rf}$.

命题 2.1. [6, p. 655] 有 $E_{rf}\subseteq E$.

$p$ 分裂, $B_p$ 分裂

$p$ 惯性, $B_p$ 分裂

[5] 假定 $p$ 在 $E$ 中惯性. 假定 $B_p$ 分裂.

3壁龛

回忆

定义 3.1. 对代数闭域上约化群 $G/\mathbb{F}$, 其 Weyl 群 $W=N_T/T$ 由单反射全体 $S$ 生成, $S$ 所有单反射的乘积叫做 Coexter 元.

现在 $F$ 是一个 $p$ 进域, 考虑 $F$ 上约化群 $G$. 取 $G$ 厦里的一个公寓 $V=X_{\ast }(T{)}_{I_F}\otimes \mathbb{R}\cong {\mathbb{R}}^N$ (这里 $T$ 是 $G$ 一个极大 $F^{ur}$ 分裂环面的中心化子, $I_F$ 是 $\mathbb{Q}$ 的绝对惯性群). Frobenius 自同构 $\varsigma$ 以仿射变换作用于 $V$.

那么 $G$ 的根 $\alpha$ 以反射 $s_{\alpha }$ 作用于 $V$, 它们生成 $G$ 的 Weyl 群 $W=N_T(F^{ur})/T(F^{ur})$. 所有 $X_{\ast }(T{)}_{I_F}$ 中元 $\lambda$ 的平移作用 $t_{\lambda }$ 和 $W$ 生成 $G$ 的扩展仿射 Weyl 群 $\tilde{W}=N_T(F^{ur})/T(F^{ur}{)}_1$(也叫 Iwahori-Weyl 群).

而 $G$ 的全体余根 ${\alpha }^{\vee }$ 的平移作用 $t_{{\alpha }^{\vee }}$ 和 $W$ 生成 $G$ 的仿射 Weyl 群 $W_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$. 实际上 $W_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$ 是 $(G_{der}{)}_{sc}$ 的扩展仿射 Weyl 群.

定义 3.2. 记 $s_0\in W_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$ 为沿 G 的余最高根平移复合 G 的最高根的反射. 记有限集 $S_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}\subseteq W_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$ 为单根的反射并上 $s_0$.

那么 $(W_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}},S_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}})$ 是 Coxeter 群, $S_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$ 是所有的 (仿射) 单反射. 极小生成表达式的长度 $\ell (w),ww\in W_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$ 定义了 $W_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$ 的 Bruhat 偏序, 可看成一种维数 (Schubert 簇).

定义 3.3. 对 $w\in W_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$, $w$ 的支集 $\mathrm{Supp}(w)\subseteq S_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$ 是 $w$ 的极小生成表达式中出现的 $S_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$ 元素全体 (支集的定义可延拓到 $\tilde{W}$ 上). 对 $J\subseteq S_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$, $J$ 中元在 $\tilde{W}$ 中生成的子群记为 ${\tilde{W}}_J$ (注意可能是有限群!).

记 ${}^J\tilde{W}$ 为 ${\tilde{W}}_J\backslash \tilde{W}$ 的极小长度代表元构成的集合.

定义 3.4. 一个房间是指 $V$ 去掉所有反射 $s_{\alpha }$ 的不动超平面 $H_{\alpha }$ 后的一个连通分支.

记 $H_{\alpha ,k}$($k\in \mathbb{Z}$) 为 $H_{\alpha }$ 沿余根 ${\alpha }^{\vee }$ 的 k 次平移. 一个壁龛是指 $V$ 去掉所有 $H_{\alpha ,k}$ 后的一个连通分支.

仿射 Weyl 群 $W_{aff}$ 单可传递地作用于所有壁龛上, 我们固定一个 (Frobenius 不变的) 基壁龛 ${\mathbf{A}}_{\tau }$. 单反射全体 $S_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$ 几何上对应于沿基壁龛的反射全体 [4, V §3.3]. 注意 $G(F)$(对应地, $G(F^{ur})$) 作用下 ${\mathbf{A}}_{\tau }$ 的稳定子群就是 $G(F)$(对应地, $G(F^{ur})$) 的一个 Iwahori 子群.

对 $x\in W_{aff}$, 壁龛 ${\mathbf{A}}_{\tau }$ 和 $x{\mathbf{A}}_{\tau }$ 的位置关系可读出 $x$ 的许多信息, 如 $\ell (x)$ 等于分离 ${\mathbf{A}}_{\tau }$ 和 $x{\mathbf{A}}_{\tau }$ 的超平面 $H_{\alpha ,k}$ 的数量.

命题 3.5. 对支配权 $\lambda \in X_{\ast }(T{)}_{I_F}$, $$\ell (t_{\lambda })=⟨\lambda ,2\rho ⟩.$$

定义 3.6. 对一个 $G$ 的余权 $\mu \in X_{\ast }(T)$, 定义 $\mu$-可容许集为有限偏序集$${\tilde{W}}_{\mu }:=\{x\in \tilde{W}|x\le t_{\lambda },\text{for some}\lambda \in W.\mu \}.$$记 ${\tilde{W}}_{\mu }$ 的唯一极小元为 ${\tau }_{\mu }$.

对 $J\subseteq S_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$, 定义 ${\tilde{W}}_{J\mu J}:={\tilde{W}}_J\backslash {\tilde{W}}_{\mu }/{\tilde{W}}_J$.

对于具体的例子, 可以理清 ${\tilde{W}}_{\mu }$ 作为偏序集的结构. ${\tilde{W}}_{\mu }$ 对应一些壁龛.

例子

例 3.7. 考虑分裂群 $G=GS{p}_{2g}$, 那么 $W=\{\sigma \in S_{2g}|\sigma (i)+\sigma (j)=2g+1,\forall i+j=2g+1\}$, 单反射是 $s_i=(i,i+1)(2g-i,2g-i+1),1\le i\le g-1$ 和 $s_g=(g,g+1)$. 对角阵 $T\subseteq G$ 的 $X_{\ast }(T)=\{(x_1,...,x_{2g})\in {\mathbb{Z}}^{2g}|x_i+x_j=x_{i^{\prime }}+x_{j^{\prime }},\forall i+j=2g+1=i^{\prime }+j^{\prime }\}.$ 仿射 Weyl 群 $W_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}\le X_{\ast }(T)⋊W$ 的单反射全体 $S_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}=\{s_0,s_1,\dots ,s_g\}$, 其中 $s_0=((-1,0,...,0,1),(1,2g))\in W_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$

考虑标准的 $\mu =(1^g,0^g)$.

4叶子

5复数域上复乘 Abel 簇

$K/\mathbb{Q}$ 是复乘域. 取一个 $K$ 的复乘型 $\Phi$, 其给出同构 $K_{\mathbb{R}}={\mathbb{C}}^{\Phi }$.

取一个 $O_K$ 中元素 $\xi$ 使得 $\xi +\overline{\xi }=0,\phi (\xi )\sqrt{-1}>0,\forall \phi \in \Phi$.

那么 $\lambda (x,y)=T{r}_{K/\mathbb{Q}}(\xi x\overline{y})$ 是 $K_{\mathbb{R}}$ 上 $\mathbb{R}$-辛形式, 且 $\lambda (\sqrt{-1}x,x)$ 正定.

取一个 $K$ 的分式理想 $I$, 定义$$I^{\vee }:=\{x\in K_{\mathbb{R}}|\lambda (x,I)\subseteq \mathbb{Z}\}$$考虑分式理想的分解 $I^{\vee }=P^{-1}I$, 那么 $T{r}_{K/\mathbb{Q}}(\xi P^{-1}I\overline{I})\subseteq \mathbb{Z}$, 于是 $P=\xi {\delta }_{K/\mathbb{Q}}{N}_{K/K^{+}}I$. 这里 ${\delta }_{K/\mathbb{Q}}$ 是 $O_K$ 的差分理想. 注意 $\xi {\delta }_{K/\mathbb{Q}}$ 可下降为 $K^{+}$ 的理想.

推论 5.1. 如果 $N_{K/K^{+}}:\mathrm{Cl}(K)\to {\mathrm{Cl}}^{+}(K^{+})$ 是满射, 那么可以选取 $\xi ,I$ 使得 $P$ 是任何 $O_K$ 的理想.

6组合数 $\mathcal{N}(\mu ,b)$

参考文献

[1]	Amy Wooding. The Ekedahl-Oort stratification of unitary Shimura varieties, Ph.D. thesis, McGill University, 2016.
[2]	Jeffrey D. Achter. Irreducibility of Newton strata in GU(1,n−1) Shimura varieties. Proc. Amer. Math. Soc. Ser. B 1, 2014.
[3]	Mark Behrens. Shimura varieties of type U(1,n-1) in characteristic 0. Lecture notes, 2005.
[4]	N. Bourbaki, Lie groups and Lie algebras. Chapters 4–6, Elements of Mathematics (Berlin), Springer-Verlag, Berlin, 2002. Translated from the 1968 French original by Andrew Pressley
[5]	Richard Shadrach. Integral models of certain PEL Shimura varieties with ${\Gamma }_1(p)$-type level structure. manuscripta mathematica, 2016.
[6]	R. Kottwitz, On the λ-adic representations associated to some simple Shimura varieties, Invent. Math. 108 (1992), 653–665.
[7]	Oliver Bu ̈ltel and Torsten Wedhorn, Congruence relations for Shimura varieties asso- ciated to some unitary groups, J. Inst. Math. Jussieu 5 (2006), no. 2, 229–261.