用户: 泠鸢yousa的狗/一些往年期中期末

因为不知道直接放在用户:Solution 中是否合适 (? ? ) , 先寄存在这吧. 反正既已码好, 转移是容易的.

1抽象代数

2022—2023 秋季学年

一、填空题
1. 设 $\sigma =(12345)\in S_6$, 则 ${\sigma }^{-2}=(),{\sigma }^{-1}(126)\sigma =()$
2. 已知 $a=\bar{x}\in \mathbb{Q}[x]/(x^3+x+2)$, 则 $a^5$ 是否可逆? $()$(填 “是” 或 “否”.) 若可逆, 用 $1,a,a^2$ 的线性组合表示之 $()$.
3. 写出两个 ${\mathbb{F}}_2$ 上的三次不可约多项式.
4.833 阶群是否为 Abel 群? $()$(填 “是” 或 “否”.)
5.${\mathbb{F}}_8$ 中,$x^6+x^4+x^3+x-1$ 根的个数为 $()$.
6. 写出 3996 阶 Abel 群的所有可能结构.
7.$x^4+2\in \mathbb{Q}[x]$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域 (记为 $E$) 是 $().[E:\mathbb{Q}]=().E/\mathbb{Q}$$()$(填 “是” 或 “否”.) 为 Galois 扩张.
二、解答题
1. 若 $R_1,R_2$ 是两个同构的整区,$F_1,F_2$ 是对应的分式域. 证明:$F_1,F_2$ 同构.
2.$E/F$ 是域扩张,$u\in E,[F(u):F]=p,$ 其中 $p$ 是素数. 证明:$\forall m\in \mathbb{N},0<m<p,F(u^m)=F(u).$
3. 求 $f(x)=(x^2-5)(x^3+1)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域 $E$, 描述 $\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q})$ 的结构.
4. 构造一个 ${\mathbb{F}}_5[x]/(x^2+2)$ 到 ${\mathbb{F}}_5[x]/(x^2+3)$ 的具体域同构并证明它是同构.
5. 证明:715 阶群的中心包含该群的一个 Sylow-13 子群.

2楼分析

2021—2022 春季学期期末

一、填空题 (5pts*6)
1.${\int }_0^1\frac{\ln (1+x+x^2)}{x}\mathrm{d}x=$______
2. 曲面 $x^2+2y^2=z$ 在区域 $x^2+4y^2\le 4$ 内的面积是______.
3. 在 $\frac{1}{(1+x)(1+2x+4x^2)}$ 的麦克劳林展开式中,$x^{2}022$ 项的系数是______.
4. 求使函数项级数 ${\sum }_{n=2022}^{\infty }(-x{)}^n(1+\frac{ax}{n}{)}^{-n^2},x\in [1,+\infty )$ 一致收敛的 $a$ 的范围______.
5.$f$ 是速降函数,$g(x)={\int }_{\mathbb{R}}yf(2y)e^{-2\pi \mathrm{i}xy}\mathrm{d}y,{\int }_{\mathbb{R}}|g(x){|}^2\mathrm{d}x=1$, 则 ${\int }_{\mathbb{R}}{x}^{3}f(x)f^{\prime }(x)=$______.
6.${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\int }_0^1(\frac{\ln (1+x)}{x}{)}^n\mathrm{d}x}{{\int }_0^1\frac{{\sin }^{n}x}{x^{n-1}}\mathrm{d}x}=$______.
二、(14pts) 设 $f\in L^p({\mathbb{R}}^n)$.
(1) 证明:$\forall \epsilon >0,$ 存在 $g(x)\in C_c({\mathbb{R}}^n)$ 使得 $||f-g|{|}_p<\epsilon .$