用户: 数学迷/Whitehead 问题

如交换群 $G$ 满足 $\mathrm{Ext}(G,\mathbb{Z})=0$, 则称 $G$ 为 Whitehead 群. Whitehead 问题问的是, Whitehead 群是否都是自由交换群. Shelah 在 70 年代证明了此问题与 ZFC 独立且相容. 本文叙述这一证明.

对序数 $\alpha$, 以 ${\alpha }^{+}$ 记大于 $\alpha$ 的最小基数.

对基数 $\kappa$, 称交换群 $G$ 为 $\kappa$-自由, 意为其中小于 $\kappa$ 个元素生成的子群皆自由. 显然 $\omega$-自由就是无挠, 而 $\kappa$ 元生成的交换群 ${\kappa }^{+}$-自由就是自由. 先做一些关于 Whitehead 群和自由群的准备.

命题 0.1. Whitehead 群的子群仍为 Whitehead 群.

证明. 只需注意到若 $H\subseteq G$ 则 $\mathrm{Ext}(G,\mathbb{Z})\twoheadrightarrow \mathrm{Ext}(H,\mathbb{Z})$.

$\square$

由此立得 Whitehead 群无挠.

引理 0.2. 如 $G\subseteq \mathbb{Q}$ 为 Whitehead 群, 则 $G\cong \mathbb{Z}$.

证明. 如 $G\ncong \mathbb{Z}$, 就有整数 $a_1,a_2,\dots$ 大于 $1$, 使得$$G=\mathrm{colim}(\mathbb{Z}\stackrel{a_1}{\to }\mathbb{Z}\stackrel{a_2}{\to }\cdots ).$$于是$$\mathrm{Ext}(G,\mathbb{Z})={\lim }^1(\cdots \stackrel{a_2}{\to }\mathbb{Z}\stackrel{a_1}{\to }\mathbb{Z})\ne 0,$$因为 $\mathbb{Z}$ 关于这一列子群显然不完备.

$\square$

由此及归纳法易知如 $G$ 为 Whitehead 群且 $G_{\mathbb{Q}}\cong {\mathbb{Q}}^n$, 则 $G\cong {\mathbb{Z}}^n$.

命题 0.3. Whitehead 群都 ${\aleph }_1$-自由.

证明. 由命题 0.1, 只需证可数生成的 Whitehead 群都自由. 设 $G$ 为这样一个群, 由 $g_1,g_2,\dots$ 生成. 令 $G_n=G\cap {\sum }_{i=1}^n\mathbb{Q}{g}_i$, 在 $G_{\mathbb{Q}}$ 中取交 (由于 $G$ 无挠, 可认为 $G\subseteq G_{\mathbb{Q}}$). 则由前可知 $G_n$ 有限秩自由. 于是由构造知 $G_n/G_{n-1}$ 为 $0$ 或 $\mathbb{Z}$, 且$$G=\bigcup _{n=0}^{\infty }{G}_n.$$那么对每个 $G_n/G_{n-1}\cong \mathbb{Z}$ 的 $n$ 选一个元素 $a_n\in G_n$ 映射到 $1\in \mathbb{Z}\cong G_n/G_{n-1}$, 即组成 $G$ 的一组基. 所以 $G$ 自由.

$\square$

对基数 $\kappa$, 称集族 $(A_i{)}_{i\in \kappa }$ 为集链, 指对 $i<j$ 都有 $A_i\subseteq A_j$; 如都是真包含则称此链严格递增. 称一集链光滑, 意为对极限序数 $j$ 都有 $A_j={\bigcup }_{i<j}{A}_i$. 我们引入自由性的一个简单判别, 其是上一个命题证明过程的简单推广.

命题 0.4. $G$ 是交换群, $(G_i{)}_{i\in \kappa }$ 是一链子群, 其并为 $G$. 若此链光滑, 且 $G_{i+1}/G_i$ 都自由, 则 $G$ 也自由.

证明. 对每个 $i\in \kappa$ 取 $G_{i+1}/G_i$ 的一组基在 $G_{i+1}$ 中的提升, 它们对 $i$ 取并后显然是 $G$ 的基.

$\square$

回忆称基数 $\kappa$ 为奇异指存在小于 $\kappa$ 个小于 $\kappa$ 的序数上确界为 $\kappa$, 否则称其为正则. 众所周知, 后继基数都正则.

对序数 $\alpha$, 称子集 $C\subseteq \alpha$ 闭无界, 意为其在 $\alpha$ 的序拓扑下闭, 且 $\sup C=\alpha$. 显然这自动要求 $\alpha$ 是极限序数.

下设 $\kappa >\omega$ 为正则基数. 称子集 $E\subseteq \kappa$ 为静止的, 意为其与任意闭无界子集有交. 我们先来证明闭无界集的基本性质, 然后用它给出 $\kappa$-自由群的一个自由性判别.

命题 0.5. $C\subseteq \kappa$ 闭无界当且仅当其为 $\kappa$ 到自身的严格单调连续映射的像. 如 $(A_i{)}_{i\in \kappa }$ 是光滑集链, $f:\kappa \to \kappa$ 是严格单调连续映射, 则 $(A_{f(i)})$ 仍是光滑集链.

证明. 显然.

$\square$

命题 0.6. 设 $\lambda <\kappa$, $(f_i{)}_{i\in \lambda }$ 为 $\kappa$ 到自身的严格单调连续映射之族. 则$$\{\alpha \in \kappa :\forall i\in \lambda ,f_i(\alpha )=\alpha \}$$闭无界.

证明. 命题中集合显然闭. 对任意 $a_0<\kappa$, 想证明其有大于 $a_0$ 的元素. 为此, 先证对任意 $a<\kappa$ 存在 $b>a$ 使得对每个 ${\inf }_{i\in \lambda }{f}_i(b)>a$. 而这是因为 $\lambda <\kappa$, 所以 $\sup \left({\bigcup }_{i\in \lambda }{f}_i^{-1}(\{x:x\le a\})\right)<\kappa$, 取 $b$ 大于该上确界即可.

于是可归纳构造 $a_n$, $n\in \omega$, 使得 ${\inf }_{i\in \lambda }{f}_i(a_{n+1})>{\sup }_{i\in \lambda }{f}_i(a_n)$. 令 $s={\sup }_{n\in \omega }{a}_n$, 则 $s>a_0$, 且由连续性, $f_i(s)=s$ 对每个 $i$.

$\square$

特别地, 少于 $\kappa$ 个闭无界集交仍闭无界; 静止集交闭无界集仍静止. 所以闭无界集生成 $\kappa$ 上的 $\kappa$-完备滤子 (指滤子中少于 $\kappa$ 个集合交集仍在滤子中). 考虑 $\mathcal{P}(\kappa )$ 商去该滤子所得 Bool 代数, 记为 $D(\kappa )$, 即其元素为如下等价关系的等价类: $E\sim F$ 指存在闭无界集 $C$ 使得 $E\cap C=F\cap C$.

现设 $G$ 为 $\kappa$ 元生成的 $\kappa$-自由交换群. 取穷竭 $G={\bigcup }_{i\in \kappa }{G}_i$, 其中 $(G_i{)}_{i\in \kappa }$ 为光滑子群链, 每个 $G_i$ 都少于 $\kappa$ 元生成. 定义 $\Gamma (G)\in D(\kappa )$ 为集合$$\{i\in \kappa :G/G_i\text{ 并非κ-自由}\}$$所在等价类. 这是 $G$ 的不变量, 反映 $\kappa$-自由的 $G$ 有 “多不自由”:

命题 0.7. $\Gamma (G)$ 不依赖穷竭的选取, 且 $\Gamma (G)=0$ 当且仅当 $G$ 自由.

证明. 对两个满足上述条件的穷竭 $G={\bigcup }_{i\in \kappa }{G}_i={\bigcup }_{i\in \kappa }{G}_i^{\prime }$, $\{i\in \kappa :G_i=G_i^{\prime }\}$ 为闭无界集: 它显然闭; 对 $a_0\in \kappa$, 可归纳地对 $n\in \omega$ 取 $a_n,b_n\in \kappa$ 使得 $b_n>a_n$, $G_{b_n}^{\prime }\supseteq G_{a_n}$, $a_{n+1}>b_n$, $G_{a_{n+1}}\supseteq G_{b_n}^{\prime }$, 令 $i={\sup }_{n\in \omega }{a}_n={\sup }_{n\in \omega }{b}_n$, 则 $i>a_0$ 且 $G_i=G_i^{\prime }$. 故这两个穷竭定义出的 $\Gamma (G)$ 等价.

如果 $G$ 自由, 取基 $(g_i{)}_{i\in \kappa }$, 令 $G_i$ 为 $(g_j{)}_{j<i}$ 所生成子群, 用 $(G_i{)}_{i\in \kappa }$ 计算 $\Gamma (G)$, 显然有 $\Gamma (G)=0$.

反过来如果 $\Gamma (G)=0$, 取满足上述要求的穷竭 $G={\bigcup }_{i\in \kappa }{G}_i$, 则$$\{i\in \kappa :G/G_i\text{ κ-自由}\}$$包含闭无界集. 用命题 0.5 将链 $(G_i{)}_{i\in \kappa }$ 重标号, 可设对每个 $i$ 都有 $G/G_i$ $\kappa$ 自由. 这样就都有 $G_{i+1}/G_i$ 自由, 由命题 0.4 立得 $G$ 自由.

$\square$

1相容性

证明相容性的办法是证明 $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathbf{V}=\mathbf{L}$ 推出所有 Whitehead 群都自由, 其中 $\mathbf{L}$ 是 Gödel 可构造宇宙. 所以本节中 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$.

为此我们对群的阶数归纳. $\omega$ 元生成的已经处理. 对于 $\kappa >\omega$ 元生成的 Whitehead 群 $G$, 由命题 0.1 及归纳假设知其已经 $\kappa$-自由, 要证明其自由. 分 $\kappa$ 正则与奇异两种情况.

正则情形

本小节中 $\kappa >\omega$ 正则. 此时需要引入一个组合结论.

定理 1.1 (${♢}_{\kappa }(E)$). $E\subseteq \kappa$ 静止. 则存在子集列 $(S_{\alpha }\subseteq \alpha {)}_{\alpha \in E}$, 满足对任意 $X\subseteq \kappa$, $\{\alpha \in E:X\cap \alpha =S_{\alpha }\}\subseteq \kappa$ 静止.

本节中就看如何从它推出 $\kappa$ 元生成的 Whitehead 群 $G$ 自由, 定理本身是纯集合论的, 我们最后集中处理. 实际上需要的是该定理的一个变体:

推论 1.2. 设 $(A_i{)}_{i\in \kappa }$, $(B_i{)}_{i\in \kappa }$ 为非空集组成的光滑严格递增的集链. 令 $A={\bigcup }_{i\in \kappa }{A}_i$, $B={\bigcup }_{i\in \kappa }{B}_i$. 设 $E\subseteq \kappa$ 静止. 则存在一族映射 $(g_i:A_i\to B_i{)}_{i\in E}$, 使得对任何映射 $h:A\to B$ 满足 $h(A_i)\subseteq B_i$, 都有 $\{i\in E:h{|}_{A_i}=g_i\}$ 静止.

证明. 显然 $(A_i\times B_i{)}_{i\in \kappa }$ 也光滑严格递增. 记$$C_i=A_{i+1}\times B_{i+1}\setminus A_i\times B_i$$并取双射 $C_i\to |C_i|$, 由此给 $C_i$ 赋予良序. 再令 $i<j$ 时 $C_i$ 中元素小于 $C_j$ 中元素, $$A\times B=\underset{i\in \kappa }{⨆}{C}_i$$便有了良序. 显然这样它就序同构与 $\kappa$; 以 ${\alpha }_i$ 记 $A_i\times B_i$ 在此同构下的像. 则由以上构造 $({\alpha }_i{)}_{i\in \kappa }$ 闭无界, 从而由命题 0.6 不难看出 $({\alpha }_i{)}_{i\in E}$ 静止. 对其使用定理, 得到子集族 $S_i\subseteq {\alpha }_i$. 对于其中那些视为 $A_i\times B_i$ 的子集之后是映射图像的那些 $i$ 取 $g_i$ 为对应的映射, 否则随便取映射 $g_i$. 这样得到的映射族显然满足要求.

$\square$

还需要一个简单的同调代数引理.

引理 1.3. $G\subseteq G^{\prime }$ 为 Whitehead 群. 如 $\mathrm{Ext}(G^{\prime }/G,\mathbb{Z})\ne 0$, 则存在以下交换图表$$0\mathbb{Z}G\oplus \mathbb{Z}G00\mathbb{Z}{G}^{\prime }\oplus \mathbb{Z}{G}^{\prime }0f$$其中除 $f$ 外其他都是自然映射, 使得上面一行的自然分裂映射 $(\mathrm{id},0)$ 不能延拓为下面一行的分裂映射.

证明. 由 Whitehead 知 $\mathrm{Hom}(G,\mathbb{Z})\twoheadrightarrow \mathrm{Ext}(G^{\prime }/G,\mathbb{Z})$. 取 $\phi \in \mathrm{Hom}(G,\mathbb{Z})$ 打到后者的非零元, 然后取 $f(g,n)=(g,\phi (g)+n)$ 即可.

$\square$

现在可以操作 Whitehead 群了.

引理 1.4. 设 $G$ 为 $\kappa$ 元生成的 Whitehead 群, $(G_i{)}_{i\in \kappa }$ 为严格递增光滑子群链, 其中每一个都被少于 $\kappa$ 个元素生成 (所以由归纳假设它们都自由). 则 $\{i\in \kappa :G_{i+1}/G_i\text{ 自由}\}$ 包含闭无界子集.

证明. 不然 $E=\{i\in \kappa :G_{i+1}/G_i\text{ 不自由}\}$ 就会静止. 用推论 1.2 选一族函数 $g_i:G_i\to G_i\times \mathbb{Z}$, 其中 $i\in E$. 我们对 $i$ 归纳地赋予 $G_i\times \mathbb{Z}$ 相容的交换群结构, 称其为 $H_i$, 使得自然的集合映射$$0\to \mathbb{Z}\to H_i\to G_i\to 0$$构成群短正合列, 且并起来得到的$$0\to \mathbb{Z}\to H\to G\to 0$$不分裂, 这样便得到 $G$ 不 Whitehead 而得矛盾. 取 $H_0=G_0\oplus \mathbb{Z}$. 对极限序数无需做任何事.

对后继序数 $i+1$, 如果 $i\in E$ 且 $g_i:G_i\to H_i$ 是群同态且分裂以上短正合列, 则由于此时 $G_{i+1}/G_i$ 不自由, 从而由对 $\kappa$ 的归纳假设不 Whitehead, $$\mathrm{coker}(\mathrm{Hom}(G_{i+1},\mathbb{Z})\to \mathrm{Hom}(G_i,\mathbb{Z}))=\mathrm{Ext}(G_{i+1}/G_i,\mathbb{Z})\ne 0,$$于是由以上引理, 可适当将群结构 $H_i$ 延拓至 $G_{i+1}\times \mathbb{Z}$, 记为 $H_{i+1}$, 使得自然的集合映射组成的图$$0\mathbb{Z}{H}_i{G}_{i}00\mathbb{Z}{H}_{i+1}{G}_{i+1}0$$是交换群短正合列的同态, 且分裂映射 $g_i$ 不能延拓至下一行.

如上一段中条件不成立则任取一群结构 $H_{i+1}$ 延拓 $H_i$ 使得投影 $H_{i+1}\to G_{i+1}$ 是同态即可, 由于 $G_i$ 自由从而$$0\to \mathbb{Z}\to H_i\to G_i\to 0$$分裂, 必有这样的群结构延拓.

这样就得到了 $G\times \mathbb{Z}$ 上的群结构 $H$, 以及短正合列$$0\to \mathbb{Z}\to H\to G\to 0.$$如果有 $g:G\to H$ 分裂它, 那么由推论 1.2 以及 $(g_i{)}_{i\in E}$ 的取法, 这 $g$ 来自某个 $g_i:G_i\to H_i$; 而我们的构造保证了 $g_i$ 不能延拓到下一步, 矛盾.

$\square$

如能将以上定理中的 $G_{i+1}/G_i$ 自由转化为 $G/G_i$ $\kappa$-自由, 再用命题 0.7 即得结论. 事实上有:

引理 1.5 ($\kappa$-Chase 条件). $G$ 是 $\kappa$ 元生成的 Whitehead 群. 则对每个少于 $\kappa$ 元生成的子群 $A\subseteq G$, 都存在同样少于 $\kappa$ 元生成的子群 $B\supseteq A$, 使得 $G/B$ $\kappa$-自由.

证明. 假设存在不满足条件的 $A$. 我们归纳构造严格递增光滑子群链 $(B_i{)}_{i\in \kappa }$:

令 $B_0=A$, 极限序数处子群为之前的并. 如已做出 $B_i$, 则令 $B_{i+1}$ 真包含 $B_i$, 仍少于 $\kappa$ 元生成, 且 $B_{i+1}/B_i$ 不自由. 这能做到, 是因为 $B_i\supseteq A$ 从而 $G/B_i$ 并非 $\kappa$-自由. 由上一个引理, $B={\bigcup }_{i\in \kappa }{B}_i$ 不 Whitehead. 而它是 Whitehead 群 $G$ 的子群, 矛盾.

$\square$

定理 1.6. $\kappa$ 元生成的 Whitehead 群 $G$ 自由.

证明. 由上一个引理, 可归纳构造 $G$ 的严格递增光滑子群链 $(G_i{)}_{i\in \kappa }$, 其并为 $G$, 满足 $G_i$ 均少于 $\kappa$ 元生成, 且对后继序数 $i$, $G/G_i$ $\kappa$-自由. 而对极限序数 $i$, 由短正合列$$0\to G_{i+1}/G_i\to G/G_i\to G/G_{i+1}\to 0$$以及 $G/G_{i+1}$ $\kappa$-自由不难发现, $G/G_i$ $\kappa$-自由当且仅当 $G_{i+1}/G_i$ 自由. 由再上一个引理以及命题 0.7 即得结论.

$\square$

奇异情形

本小节中 $\kappa >\omega$ 奇异. 此时其实不用 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$, 在 $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}$ 中就有

定理 1.7. $\kappa$-自由的 $\kappa$ 元生成交换群自由.

证明. 由于 $\kappa$ 奇异, 可以找到基数 $\mu <\kappa$ 与严格递增光滑基数链 $({\kappa }_i{)}_{i\in \mu }$ 使得 ${\bigcup }_{i\in \mu }{\kappa }_i=\kappa$. 去掉前若干项, 不妨设 ${\kappa }_0>\mu$.

取严格递增子群链 $(G_i^0{)}_{i\in \mu }$, 并起来为 $G$, 且满足 $G_i^0$ 为 ${\kappa }_i$ 元生成, 则由 $G$ $\kappa$-自由知所有 $G_i^0$ 都自由. 接下来归纳构造一列严格递增子群链 $(G_i^n{)}_{i\in \mu }$, $n\in \omega$, 使得 $G_i^n$ 为 ${\kappa }_i$ 元生成, $G_i^n\subseteq G_i^{n+1}$, 且对 $n$ 并起来之后得到的 $(G_i{)}_{i\in \mu }$ 是光滑链, 同时 $G_i$ 是 $G_{i+1}$ 的直和项, 这样由命题 0.4 即得欲证.

设 $(G_i^n{)}_{i\in \mu }$ 已经做出. $G_i^n$ 为 ${\kappa }_i$ 元生成自由, 取其基 $(g_{i,\alpha }^n{)}_{\alpha \in {\kappa }_i}$, 令 $G_{i,\alpha }^n$ 为 $(g_{i,\beta }^n{)}_{\beta <\alpha }$ 所生成子群, 则其为 $G_i^n$ 的直和项, 为 $|\alpha |$ 元生成. 令$$H_i^n=\sum _{j\in \mu }{G}_{j,{\kappa }_i}^n,$$则由 $\mu <{\kappa }_i$, $H_i^n$ 为 ${\kappa }_i$ 元生成. (该构造是为了让最终的链光滑; 这是用到 $\kappa$ 奇异的地方.) 然后再对 $i$ 归纳地取仍 ${\kappa }_i$ 元生成的$$G_i^{n+1}\supseteq H_i^n+\bigcup _{j<i}{G}_j^{n+1},$$使得 $G_i^{n+1}\cap G_{i+1}^n$ 为 $G_{i+1}^n$ 的直和项. 这可以做到: 上式右边为 ${\kappa }_i$ 元生成, 故它交 $G_{i+1}^n$ 亦然; 将这个交的一组生成元用基 $(g_{i+1,\alpha }^n{)}_{\alpha \in {\kappa }_{i+1}}$ 展开, 再将其中带有非零系数的那些基向量加到上式右边, 得到的子群就作为 $G_i^{n+1}$, 则 $G_i^{n+1}\cap G_{i+1}^n$ 即为这些基向量生成的子群, 自然是 $G_{i+1}^n$ 的直和项. 上述带有非零系数的基向量不会超过 ${\kappa }_i$ 个, 故 $G_{i+1}^n$ 确实仍为 ${\kappa }_i$ 元生成.

令 $G_i={\bigcup }_{n\in \omega }{G}_i^n$, 则 $G_i$ 为 ${\kappa }_i$ 元生成. 由于 $G_i^n\subseteq G_i^{n+1}\cap G_{i+1}^n\subseteq G_i^{n+1}$, 也有$$G_i=\bigcup _{n\in \omega }(G_i^{n+1}\cap G_{i+1}^n);$$由构造, 上式右边第 $n$ 项是 $G_{i+1}^n$ 的直和项, 故 $G_i$ 是 $G_{i+1}$ 的直和项. 又 $G_i^n\subseteq H_i^n\subseteq G_i^{n+1}$, 从而对极限序数 $i$, 由于 $G_{j,{\kappa }_i}^n={\bigcup }_{\ell <i}{G}_{j,{\kappa }_{\ell }}^n$, $$G_i=\bigcup _{n\in \omega }{H}_i^n=\bigcup _{n\in \omega }\sum _{j\in \mu }{G}_{j,{\kappa }_i}^n=\bigcup _{n\in \omega }\sum _{j\in \mu }\bigcup _{\ell <i}{G}_{j,{\kappa }_{\ell }}^n=\bigcup _{\ell <i}\bigcup _{n\in \omega }\sum _{j\in \mu }{G}_{j,{\kappa }_{\ell }}^n=\bigcup _{\ell <i}{G}_{\ell },$$于是链 $(G_i{)}_{i\in \mu }$ 光滑. 这样再用定理 0.4 就完成了证明.

$\square$

2独立性

证明独立性的办法是证明 $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{M}\mathrm{A}+2^{{\mathrm{\aleph }}_0}>{\mathrm{\aleph }}_1$ 推出存在 Whitehead 群不自由, 其中 $\mathrm{M}\mathrm{A}$ 是 Martin 公理:

3集合论补遗

本节处理此前略去的集合论问题. 回忆说一个集合或真类 $X$ 传递指的是对 $x\in X$ 都有 $x\subseteq X$. 如 $X$ 是 $\{\in \}$ 的模型, 称其为传递模型指的是 $X$ 传递且 $\in$ 解释为属于.

$\mathbf{V}=\mathbf{L}$

先回顾可构造宇宙 $\mathbf{L}$ 的定义. 为此, 需对集合 $A$ 定义出 $A^n$ 中的可定义子集, 即由带 $n$ 个自由变元的公式定义的子集全体. 由于我们不能量化公式, 所以需要徒手定义如下:

对所有的 $n\in \omega$ 同时地, 对 $m\in \omega$ 归纳定义$$\mathrm{En}(m,A,n)=\{\begin{array}{ll}\{x\in A^n:x_i=x_j\},& m=2^i{3}^j,0\le i,j<n.\\ \{x\in A^n:x_i\in x_j\},& m=2^i{3}^{j}5,0\le i,j<n.\\ A^n\setminus \mathrm{En}(i,A,n),& m=2^i{3}^j{5}^2.\\ \mathrm{En}(i,A,n)\cap \mathrm{En}(j,A,n),& m=2^i{3}^j{5}^3.\\ \{{\mathrm{pr}}_{n+1,n}(X):X\in \mathrm{En}(i,A,n+1)\},& m=2^i{3}^j{5}^4.\\ \varnothing ,& \text{其他.}\end{array}$$其中 ${\mathrm{pr}}_{n+1,n}$ 指将 $n+1$ 元组投影到前 $n$ 个变量, ${\mathrm{pr}}_{n+1,n}(X)$ 即 $X$ 在此映射下的像. 然后定义$$\mathrm{Df}(A,n)=\{\mathrm{En}(m,A,n):m\in \omega \}.$$则不难证明 $\mathrm{Df}(A,n)$ 确实是 $A^n$ 中由带 $n$ 个自由变元的公式定义的子集全体. 注意这句话是个元定理. 显然 $|\mathrm{Df}(A,n)|\le \omega$.

上述定义没用到幂集公理. 容易看出, 对 $\mathrm{Z}\mathrm{F}-\mathrm{P}$(即除去幂集公理的 $\mathrm{Z}\mathrm{F}$) 的传递模型, 函数 $\mathrm{En}$ 与 $\mathrm{Df}$ 是绝对的, 指对传递模型 $X\subseteq Y$, $A\in X$, $m,n\in \omega$, $\mathrm{En}(m,A,n)$ 和 $\mathrm{Df}(A,n)$ 在模型 $X$ 和 $Y$ 中定义出同样的东西.

称 $A$ 初等含入 $B$, 记作 $A\preccurlyeq B$, 意思是 $A\subseteq B$ 且$$\forall n,m\in \omega (\mathrm{En}(m,A,n)=\mathrm{En}(m,B,n)\cap A^n).$$如将集合当作语言 $\{\in \}$ 的模型, 这就是模型论的初等含入. 之后 Löwenheim–Skolem 定理将有用武之地.

再定义$$\mathcal{D}(A)=\{\{x\in A:(s,x)\in R\}:n\in \omega ,s\in A^n,R\in \mathrm{Df}(A,n+1)\},$$即由带一个自由变元和若干个 $A$ 中常元的公式定义的 $A$ 的子集. 显然 $\mathcal{D}(A)\subseteq \mathcal{P}(A)$, $|\mathcal{D}(A)|\le \sup (\omega ,|A|)$.

现在终于能定义 Gödel 可构造层级, 即 $L_{\alpha }$ 对序数 $\alpha$. 归纳定义如下: $$L_{\alpha }=\{\begin{array}{ll}\varnothing ,& \alpha =0.\\ \mathcal{D}(L_{\beta }),& \alpha =\beta +1.\\ {\bigcup }_{\beta <\alpha }{L}_{\beta },& \alpha \text{ 是极限序数.}\end{array}$$$\mathbf{L}={\bigcup }_{\alpha \in \mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}}{L}_{\alpha }$ 称为 Gödel 可构造宇宙. 不难验证 $\mathbf{L}$ 是 $\mathrm{Z}\mathrm{F}$ 的传递模型, 且 $\mathbf{L}$ 中成立 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$, 其中 $\mathbf{V}$ 即 von Neumann 宇宙. 下设 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$, 即每个集合都可构造. 对集合 $x$, 以 $\rho (x)$ 记最小的序数 $\alpha$ 使得 $x\in L_{\alpha +1}$, 则 $L_{\alpha }=\{x:\rho (x)<\alpha \}$.

以下用 $\mathbf{L}$ 的结构定义整个宇宙上的良序 ${<}_L$. 为此只需对 $\alpha$ 归纳定义 $L_{\alpha }$ 的良序, 使得 $\alpha <\beta$ 时 $L_{\alpha }$ 是 $L_{\beta }$ 的前段.

$0$ 和极限序数不用做. 对后继序数 $\alpha +1$, 集合 $X\in L_{\alpha +1}=\mathcal{D}(L_{\alpha })$, 依 $\mathcal{D}$ 和 $\mathrm{Df}$ 的构造, 存在 $n,m\in \omega$, $s\in L_{\alpha }^n$, 使得$$X=\{x\in L_{\alpha }:(s,x)\in \mathrm{En}(m,L_{\alpha },n+1)\}.$$以 $(n_X,s_X,m_X)$ 记满足上式的 $(n,s,m)$ 中字典序最小者, 其中 $s$ 依 $L_{\alpha }^n$ 的字典序, $L_{\alpha }$ 中良序由归纳假设已经做出. 然后定义 $X{<}_{L}Y$ 为: $X,Y\in L_{\alpha }$ 且 $X{<}_{L}Y$, 或者 $X\in L_{\alpha }$ 但 $Y\notin L_{\alpha }$, 或者 $X,Y\notin L_{\alpha }$ 且 $(n_X,m_X,s_X)<(n_Y,m_Y,s_Y)$(依字典序).

这样就定义出 ${<}_L$. 注意 $\mathbf{L}$ 的定义只用了 $\mathrm{Z}\mathrm{F}$, 而 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$ 时我们甚至做出了全宇宙的良序, 特别地选择公理成立. 所以 $\mathrm{Con}(\mathrm{Z}\mathrm{F})⟹\mathrm{Con}(\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C})$.

由以上对 $|\mathcal{D}(A)|$ 的估计, 不难看出 $\alpha \ge \omega$ 时 $|L_{\alpha }|=\alpha$, 于是 $\rho (x)\ge \omega$ 时 $|\{y:y{<}_{L}x\}|=|\rho (x)|$. 由以上 $\mathrm{En}$ 与 $\mathrm{Df}$ 的绝对性, 可以得到对于 $\mathrm{Z}\mathrm{F}-\mathrm{P}$ 的传递模型, $L_{\alpha }$ 与 ${<}_L$ 也是绝对的 (当然 $\alpha$ 得预先在那个模型中).

对 von Neumann 层级依定义有 $\mathcal{P}(V_{\alpha })=V_{\alpha +1}$, 但即使 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$, 对可构造层级此事仍不可能对: $L_{\alpha }$ 的一个可构造子集可以在很多步之后才被构造出来. 然而至少有

定理 3.1. 对任一序数 $\alpha$, $\mathcal{P}(L_{\alpha })\subseteq L_{{\alpha }^{+}}$. 特别地, 对无穷基数 $\kappa$, $2^{\kappa }={\kappa }^{+}$, 即 $\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{H}$ 成立.

证明. 参见 Kunen 书.

$\square$

接下来证明 ${♢}_{\kappa }(E)$. 记号沿用定理 1.1. 这是 Löwenheim–Skolem 的妙用, 然技术细节甚多, 拆一部分出来作为引理.

引理 3.2. $\kappa >\omega$ 为正则基数, $\lambda >\kappa$ 为极限序数. $X\subseteq L_{\lambda }$, $|X|<\kappa$. 则存在 $N\preccurlyeq L_{\lambda }$ 使得 $X\subseteq N$, $|N|<\kappa$, $N\cap \kappa \in \kappa$.

证明. 对 $n\in \omega$ 归纳构造 $N_n\preccurlyeq L_{\lambda }$ 如下:

首先用 Lowenheim–Skolem 取 $N_0$ 使 $|N_0|<\kappa$ 且 $X\subseteq N_0\preccurlyeq L_{\lambda }$.

如已做出 $N_n$, 令 ${\alpha }_n=\sup (N_n\cap \kappa )$, 则由 $|N_n|<\kappa$ 以及正则性知 ${\alpha }_n<\kappa$. 仍用 Lowenheim–Skolem 取 $N_{n+1}$ 使 $|N_{n+1}|<\kappa$ 且 $N_n\cup {\alpha }_n\subseteq N_{n+1}$.

这样不难看出 $N={\bigcup }_{n\in \omega }{N}_n$ 满足要求: 当然 $X\subseteq N$, $|N|<\kappa$, 而由归纳构造, $N\cap \kappa$ 确实成为 $\kappa$ 的真前段.

$\square$

回忆对于 $\{\in \}$ 的满足外延公理的良基模型 $N$, 其 Mostowski 收缩是指模型同构 $\pi :N\to M$ 使得 $M$ 是传递模型. 显然这是唯一的.

${♢}_{\kappa }(E)$ 的证明. 我们来归纳定义集合对的族 $(S_{\alpha },C_{\alpha }{)}_{\alpha \in E}$, 并证明 $(S_{\alpha }{)}_{\alpha \in E}$ 为所需.

对序数 $\alpha \in E$, 取 $(S_{\alpha },C_{\alpha })$ 为 ${<}_L$-最小的满足: $C_{\alpha }$ 在 $\alpha$ 中闭无界, 且对任何 $\gamma \in C_{\alpha }\cap E$, $S_{\alpha }\cap \gamma \ne S_{\gamma }$ 的集合对. 如无此种集合对, 则取 $(S_{\alpha },C_{\alpha })=(\varnothing ,\varnothing )$.

现在如果 $(S_{\alpha }{)}_{\alpha \in E}$ 不合所需, 则存在 $(S,C)$ 满足 $C$ 在 $\kappa$ 中闭无界, 且对任何 $\gamma \in C$, $S\cap \gamma \ne S_{\gamma }$. 取 $(S,C)$ 为其中 ${<}_L$-最小者.

由于 $L_{{\kappa }^{+}}$ 是 $\mathrm{Z}\mathrm{F}-\mathrm{P}$ 的包含 $E$ 的传递模型, 而上述所有定义是绝对的, 即以模型 $L_{{\kappa }^{+}}$ 代替整个宇宙进行上面的定义, 得到的东西相同. 以下用 Löwenheim–Skolem 与 Mostowski 收缩来将 $L_{{\kappa }^{+}}$ 缩小至 $L_{\kappa }$ 之内, 然后用 $(S_{\alpha },C_{\alpha })$ 的定义导出矛盾.

对 $\nu \in \kappa$ 归纳构造 $N_{\nu }\preccurlyeq L_{{\kappa }^{+}}$ 如下:

$N_0$ 为引理中的 $N$, 使得 $|N|<\kappa$, $N\cap \kappa \in \kappa$, $E\in N$.

$N_{\nu +1}$ 为引理中的 $N$, 使得 $|N|<\kappa$, $N\cap \kappa \in \kappa$, $N_{\nu }\cup \{N_{\nu }\}\in N$.

极限序数时就定义为之前的并.

记 ${\alpha }_{\nu }=N_{\nu }\cap \kappa$, 则 $\nu \mapsto {\alpha }_{\nu }$ 为 $\kappa$ 到自身的连续单射, 于是由命题 0.6, $Z=\{\nu \in \kappa :{\alpha }_{\nu }=\nu \}$ 闭无界, 从而 $E\cap Z\cap C\ne \varnothing$. 取其中元素 $\nu$, 记 $\pi :N_{\nu }\to M$ 为 Mostowski 收缩. 则由 $N_{\nu }\preccurlyeq L_{{\kappa }^{+}}$, 而后者为 $\mathrm{Z}\mathrm{F}-\mathrm{P}$ 的模型, 满足 $L_{{\kappa }^{+}}=L_{L_{{\kappa }^{+}}\cap \mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}}$, 可得 $L$ 为 $\mathrm{Z}\mathrm{F}-\mathrm{P}$ 的传递模型, 且 $M=L_{\beta }$, 其中 $\beta =M\cap \mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}$, 因为 $L_{\alpha }$ 构造与命题 “$M=L_{M\cap \mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}}$” 对 $\mathrm{Z}\mathrm{F}-\mathrm{P}$ 的传递模型 $M$ 是绝对的.

现在由 ${\alpha }_{\nu }=\nu$, 有 $N_{\nu }\supseteq L_{\nu }$, 于是 $\pi {|}_{L_{\nu }}=\mathrm{id}$, 又 $\pi (\kappa )={\alpha }_{\nu }=\nu$, $\pi (E)=E\cap \nu$, $\pi ((S_{\alpha },C_{\alpha }{)}_{\alpha \in E})=(S_{\alpha },C_{\alpha }{)}_{\alpha \in E\cap \nu }$, $\pi ((S,C))=(S\cap \nu ,C\cap \nu )$.

注意 ${\pi }^{-1}:L_{\beta }\to L_{{\kappa }^{+}}$ 是初等嵌入, $(S\cap \nu ,C\cap \nu )\mapsto (S,C)$, 得 $(S\cap \nu ,C\cap \nu )$ 是 ${<}_L$-最小的, 满足 $C\cap \nu$ 在 $\nu$ 中闭无界, 且对任何 $\gamma \in (C\cap \nu )\cap (E\cap \nu )$, $(S\cap \nu )\cap \gamma \ne S_{\gamma }$ 的集合对. 这样一来便有 $(S\cap \nu ,C\cap \nu )=(S_{\nu },C_{\nu })$! 与 $(S,C)$ 的选取矛盾.

$\square$

$\mathrm{M}\mathrm{A}+2^{{\mathrm{\aleph }}_0}>{\mathrm{\aleph }}_1$