用户: 数学迷/平均值原理的推广

回忆平均值原理说的是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的调和函数在一个球的平均等于球心的函数值. 本节将其推广到对称空间上的特征函数.

1球对称特征函数

对对称空间 $S=G/K$ 以及 $x\in S$, 在 $K_x$ 作用下不变的函数称为关于 $x$ 球对称的函数. 对任意同态 $\Lambda :\mathcal{D}(S)\to \mathbb{C}$, 关于 $x$ 球对称、特征值为 $\Lambda$ 的特征函数有且只有一维.

2平均值原理

对同态 $\Lambda :\mathcal{D}(S)\to \mathbb{C}$ 及点 $x_0\in S$, 考虑关于 $x_0$ 球对称的函数 ${\omega }_{\Lambda }(x;x_0)$, 满足 ${\omega }_{\Lambda }(x_0;x_0)=1$, 且它是特征值 $\Lambda$ 的特征函数. 则对特征值为 $\Lambda$ 的任一特征函数 $f$, 以及任一 $x\in S$, 都有$${\int }_{K_{x_0}}f(gx)\mathrm{d}g={\omega }_{\Lambda }(x;x_0)f(x_0).$$

3谱变换

对 $k(x,y)\in A(S)$, 定义 $\hat{k}:\mathrm{Hom}(\mathcal{D}(S),\mathbb{C})\to \mathbb{C}$ 为$$\hat{k}(\Lambda )={\int }_{S}k(x_0,x){\omega }_{\Lambda }(x;x_0)\mathrm{d}x,$$不依赖 $x_0\in S$. 则对特征值为 $\Lambda$ 的特征函数 $f$, 有$${\int }_{S}k(x,y)f(y)\mathrm{d}y=\hat{k}(\Lambda )f(x).$$所以 $\mathcal{D}(S)$ 的特征函数都是 $A(S)$ 的特征函数. 此外由分部积分容易发现 $\mathcal{D}(S)$ 和 $A(S)$ 的作用交换.

需要证明当 $k$ 是单位逼近, 即很接近 $\delta (x,y)$ 时, $\hat{k}$ 在很大的范围不是 $0$.

4例子

${\mathbb{R}}^n$ 上的 $\exp (s{x}_1)$ 以及 ${\mathbb{H}}^n$ 上的 $y^s$.