用户: 数学迷/上半空间的 Eisenstein 级数

设 $\Gamma \subset {\mathrm{SO}}^{+}(n+1,1)$ 是不余紧的晶格. 记 $S={\mathbb{H}}^{n+1}$, $X=\Gamma \backslash S$, $\partial S={\mathbb{S}}^n={\mathbb{R}}^n\cup \{\infty \}$, 视为上半空间 ${\mathbb{H}}^{n+1}$ 的边界. $\Gamma$ 自然作用在 $\partial S$ 上.

1尖点

定义 1.1. $X$ 或 $\Gamma$ 的尖点指的是 $\partial S$ 的 $\Gamma$-轨道中稳定子群非平凡者. 常以轨道中一个点指代整个轨道.

2Eisenstein 级数

本节固定尖点 $j$, 并取坐标使得它是 $\infty$, 且 $\mathrm{vol}({\Gamma }_{\infty }\backslash {\mathbb{R}}^n)=1$. 显然, 两个这样的坐标之间只差平移.

定义 2.1. 尖点 $\infty \in \partial S$ 的 Eisenstein 级数 $E(w,s)$ 指级数$$\sum _{\gamma \in {\Gamma }_{\infty }\backslash \Gamma }{y}^s(\gamma w),$$其中 $w\in S$, $s\in \mathbb{C}$, $y:S\to {\mathbb{R}}_{+}$ 表示取一个点的 $y$ 坐标. 需要区分时, 也将尖点 $j$ 的 Eisenstein 级数记作 $E_j(w,s)$.

从定义本身读不出任何收敛性, 所以需要下面的估计:

命题 2.2. $E(w,s)$ 在 $S\times \{s\in \mathbb{C}\mid \mathrm{Re}(s)>n\}$ 内闭一致收敛.

证明. 取 ${\Gamma }_{\infty }$ 作用在 ${\mathbb{R}}^n$ 的基本域 $\mathcal{G}$, 则 $\mathrm{vol}(\mathcal{G})=1$, 且 $\mathcal{G}\times {\mathbb{R}}_{+}$ 是 ${\Gamma }_{\infty }$ 作用在 $S={\mathbb{H}}^{n+1}$ 的基本域. 取 $\Gamma$ 作用在 $S$ 的基本域 $\mathcal{F}$, 满足对充分大的实数 $M$ 有 $\mathcal{F}\supseteq \mathcal{G}\times [M,+\infty )$, 且存在 ${\Gamma }_{\infty }\backslash \Gamma$ 的一组陪集代表元使得$$\bigcup _{\gamma \in {\Gamma }_{\infty }\backslash \Gamma }\gamma \mathcal{F}=\mathcal{G}\times {\mathbb{R}}_{+}.$$对 $w\in S$, 适当改变 $\mathcal{G}$ 与 $\mathcal{F}$, 可设存在 $\delta >0$ 使得 $B_{\delta }(w)\subset \mathcal{F}$. 注意 $y^s$ 是 Laplace 特征函数, 特征值 $\lambda =s(n-s)$. 由平均值原理, 存在常数 $C=C(\delta ,\lambda )\in {\mathbb{R}}_{+}$ 使得对任意 $z\in S$ 都有$$y^s(z)=C{\int }_{B_{\delta }(z)}{y}^s.$$注意对充分大的实数 $M$ 有 ${\bigcup }_{\gamma \in {\Gamma }_{\infty }\backslash \Gamma }{B}_{\delta }(\gamma w)\subset \mathcal{G}\times [0,M]$, 而 $|y^s|=y^{\mathrm{Re}(s)}$, 以此计算 $s\in \mathbb{R}$ 时$$E(w,s)=\sum _{\gamma \in {\Gamma }_{\infty }\backslash \Gamma }{y}^s(\gamma w)=C\sum _{\gamma \in {\Gamma }_{\infty }\backslash \Gamma }{\int }_{B_{\delta }(\gamma w)}{y}^s\le C{\int }_{\mathcal{G}\times [0,M]}{y}^s=C{\int }_0^M{y}^{s-n-1}\mathrm{d}y<+\infty ,$$当 $s>n$ 时. 注意以上证明中的界在 $S\times \{s\in \mathbb{C}\mid \mathrm{Re}(s)>n\}$ 中内闭一致, 即得结论.

$\square$

有收敛性便可立刻得到一些基本性质:

命题 2.3. 设 $\sigma =\mathrm{Re}(s)>n$.

1.	$E(w,\bar{s})=\overline{E(w,s)}$.
2.	对任一 $\gamma \in \Gamma$ 有 $E(w,s)=E(\gamma w,s)$.
3.	$E(w,s)$ 关于 $w$ 是 Laplace 特征函数, 特征值 $\lambda =s(n-s)$.
4.	当 $y=y(w)\to \infty$ 时, $E(w,s)=y^s+O(y^{n+1})$. 当 $w$ 趋于另一个尖点时, $E(w,s)=O(y^{n+1})$.

证明. 1, 2 为显然. 3 是因为 $y^s$ 是 Laplace 特征函数, 特征值为 $s(n-s)$. 至于 4, 沿用以上命题证明中的记号, 不难发现如 $\mathcal{F}\supseteq \mathcal{G}\times [M,+\infty )$, 则当 $y(w)>M$ 时总有$$E(w,s)=\sum _{\gamma \in {\Gamma }_{\infty }\backslash \Gamma }{y}^s(\gamma w)=y^s+C\sum _{\gamma \in {\Gamma }_{\infty }\backslash \Gamma ,\gamma \ne 1}{\int }_{B_{\delta }(\gamma w)}{y}^s\le y^s+C{\int }_{\mathcal{G}\times [0,M]}{y}^s=y^s+O(y^{n+1}),$$因为 $C=C(\delta ,\lambda )=O(\mathrm{vol}(B_{\delta }{)}^{-1})$, 而 ${\delta }^{-1}=O(y)$, $\mathrm{vol}(B_{\delta }{)}^{-1}=O(y^{n+1})$. 当 $w$ 趋于另一个尖点时也这样估计, 由于并没有 $y\to \infty$ 的项, 所以整个式子为 $O(y^{n+1})$.

$\square$

注 2.4. 下一节具体计算之后可以发现余项其实是 $O(y^{n-\mathrm{Re}(s)})$.

接下来的主要目标就是把 $E(w,s)$ 解析延拓为 $\mathbb{C}$ 上亚纯函数. 整个延拓的过程长而妙, 我们将在本讲和下一讲逐步说明.

3散射矩阵

取 $\Gamma$ 的尖点 $i,j$. 取坐标使得 $j$ 是 $\infty$, 且 $\mathrm{vol}({\Gamma }_j\backslash {\mathbb{R}}^n)=1$, 在其上考虑 $i$ 的 Eisenstein 级数 $E_i(w,s)$. 它 $\Gamma$-不变, 特别地 ${\Gamma }_j$-不变, 所以可关于 $x=x(w)$ 作 Fourier 展开$$E_i(w,s)=\sum _{\xi \in {\Gamma }_j^{\vee }}{a}_{\xi }(y,s){\mathbf{e}}_{\xi }(x),$$其中 $y=y(w)$, ${\mathbf{e}}_{\xi }(x)=\exp (2\pi \mathrm{i}⟨\xi ,x⟩)$. 回忆 $\Delta =-y^2({\partial }_x^2+{\partial }_y^2)+(n-1)y{\partial }_y$, 把 $\Delta E_i(w,s)=s(n-s)E_i(w,s)$ 展开得$$-y^2{\partial }_y^2{a}_{\xi }(y,s)+(n-1)y{\partial }_y{a}_{\xi }(y,s)+(4{\pi }^2|\xi {|}^2{y}^2-s(n-s))a_{\xi }(y,s)=0.$$换元 $a_{\xi }(y,s)=y^{n/2}{b}_{\xi }(y,s)$ 得$$-y^2{\partial }_y^2{b}_{\xi }(y,s)-y{\partial }_y{b}_{\xi }(y,s)+\left(4{\pi }^2|\xi {|}^2{y}^2+{\left(s-\frac{n}{2}\right)}^2\right)b_{\xi }(y,s)=0.$$

•

$\xi \ne 0$ 时这是 Bessel 方程, $b_{\xi }(y,s)$ 的两个线性无关解为两类 Bessel 函数, 其中一类 $I_{s-n/2}$ 当 $y\to \infty$ 时为指数增长, 另一类 $K_{s-n/2}$ 为指数衰减. 由于$$\sum _{\xi }|a_{\xi }(y,s){|}^2={\int }_{y(w)=y}|E_i(w,s){|}^2\mathrm{d}x,$$由命题 2.3 为多项式增长, 故有$$a_{\xi }(y,s)=a_{\xi }(s)y^{n/2}{K}_{s-1/2}(2\pi |\xi |y),$$其中 $a_{\xi }(s)$ 为 $\mathrm{Re}(s)>n$ 上全纯函数.

•

$\xi =0$ 时, 如 $s\ne n/2$, 容易发现 $b_0(y,s)$ 的两个线性无关解为 $y^{\pm (s-n/2)}$, 否则为 $1$ 与 $\log y$. 而 $\mathrm{Re}(s)$ 充分大时由命题 2.3 知$$a_0(y,s)={\int }_{y(w)=y}{E}_i(w,s)\mathrm{d}x={\delta }_{ij}{y}^s+O(y^{n+1}),$$故此时有$$a_0(y,s)={\delta }_{ij}{y}^s+\varphi (s)y^{n-s},$$其中 $\varphi (s)$ 为 $\mathrm{Re}(s)$ 充分大时的全纯函数. 由全纯函数的刚性知在 $\mathrm{Re}(s)>n$ 成立上式, 且 $\varphi (s)$ 为 $\mathrm{Re}(s)>n$ 上全纯函数. (它将会是阶为 $n$ 的全平面亚纯函数.)

需要区分时, 也把尖点 $i,j$ 写进记号中, 把以上 $a_{\xi }(s)$ 和 $\varphi (s)$ 写作 $a_{\xi ,ij}(s)$ 和 ${\varphi }_{ij}(s)$. $i,j$ 取遍所有尖点时它们构成矩阵, 分别记作 $A_{\xi }(s)$ 和 $\Phi (s)$, 后者称为散射矩阵. 这个名称大体是因为, 它像是在描述尖点 $i$ 处的标准波散射至尖点 $j$ 处的渐进行为.

综上所述, 在尖点 $j$ 处, 当 $\mathrm{Re}(s)>n$ 时有$$E_i(w,s)={\delta }_{ij}{y}^s+{\varphi }_{ij}(s)y^{n-s}+F_{ij}(w,s),$$其中 $F_{ij}(w,s)$ 对固定的 $s$, 在 $y\to \infty$ 时指数衰减. 等号两边取共轭, 不难发现 $\overline{{\varphi }_{ij}(s)}={\varphi }_{ij}(\bar{s})$.

注意上面的估计方法对一般的 $\Gamma$-不变特征函数通用, 可得:

定理 3.1 (唯一性). 设 $f$ 是 $X$ 上的 Laplace 特征函数, 在各个尖点处缓增 (即关于各个尖点的 $y$ 坐标都是多项式增长), 特征值为 $s(n-s)$, 其中 $\sigma =\mathrm{Re}(s)>n$. 则 $f$ 是各个尖点的 Eisenstein 级数的线性组合.

证明. 对 $f$ 重复上面对 $E_i$ 所作分析, 以缓增代替命题 2.3, 知在尖点 $j$ 的坐标下有$$f(w)={\alpha }_j{y}^s+{\beta }_j{y}^{n-s}+h_j(w),$$其中 ${\alpha }_j,{\beta }_j\in \mathbb{C}$, 而 $h_j$ 在 $y\to \infty$ 时指数衰减. 考虑 $g=f-{\sum }_j{\alpha }_j{E}_j$, 则 $g$ 也是 Laplace 特征函数, 特征值为 $s(n-s)$, 在各个尖点处是 $O(y^{n-\sigma })$, 故由 $\sigma >n$ 不难发现 $g\in L^2(X)$. 注意 Laplace 在 $L^2(X)$ 是正定 (无界) 算子, 而 $s(n-s)$ 不是非负实数, 所以 $g=0$, $f={\sum }_j{\alpha }_j{E}_j$ 是 Eisenstein 级数的线性组合.

$\square$

术语翻译

散射矩阵 • 英文 scattering matrix