用户: 数学迷/一些初等应用

本讲介绍之前所发展的一般理论的一些奇妙具体推论.

1模曲线

模曲线即 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})\backslash {\mathbb{H}}^2$, 即 $n=1$, $\Gamma =\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 情形. 这里我们把 ${\mathrm{SO}}^{+}(2,1)$ 和 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ 等同, 这样其在 ${\mathbb{H}}^2=\{w\in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}(w)>0\}$ 的作用就是经典的$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)w=\frac{aw+b}{cw+d}.$$其一个基本域为$$\mathcal{F}=\{w\in \mathbb{C}\mid |w|>1,|\mathrm{Re}(w)|<1/2\},$$由基本的双曲平面几何容易算出 $\mathrm{vol}(\mathcal{F})=\pi /3$. 于是它只有一个尖点即 $\infty$, 且 ${\Gamma }_{\infty }=\mathbb{Z}$, $\mathrm{vol}({\Gamma }_{\infty }\backslash \mathbb{R})=1$.

注意对 $\gamma =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \Gamma$, 有 $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\gamma w=(cw+d{)}^{-1}(\mathbb{Z}+\mathbb{Z}w)$, 而 $\mathrm{Im}(w)$ 和 $\mathrm{Im}(\gamma w)$ 分别是晶格 $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\gamma w$ 和 $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}w$ 的格子面积, 所以 $\mathrm{Im}(\gamma w)=|cw+d{|}^{-2}\mathrm{Im}(w)$. 于是容易发现$$E(w,s)=\sum _{\gamma \in {\Gamma }_{\infty }\backslash \Gamma }{y}^s(\gamma w)=\frac{y^s}{2}\sum _{\gcd (c,d)=1}|cw+d{|}^{-2s}=y^s+\frac{y^s}{\zeta (2s)}\sum _{(c,d)\in {\mathbb{Z}}_{+}\times \mathbb{Z}}|cw+d{|}^{-2s}.$$考虑直线 $\mathrm{Im}(z)=y$ 上的函数 $|z{|}^{-2s}=(x^2+y^2{)}^{-s}$, 计算其 Fourier 变换$${\int }_{\mathbb{R}}(x^2+y^2{)}^{-s}\mathbf{e}(-\xi x)\mathrm{d}x=\frac{1}{\Gamma (s)}{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{{\mathbb{R}}_{+}}{e}^{-(x^2+y^2)t-2\pi \mathrm{i}\xi x}{t}^{s-1}\mathrm{d}t\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi }}{\Gamma (s)}{\int }_{{\mathbb{R}}_{+}}{e}^{-y^{2}t-{\pi }^2{\xi }^2/t}{t}^{s-3/2}\mathrm{d}t=\frac{{\pi }^s}{\Gamma (s)}{\left(\frac{|\xi |}{y}\right)}^{s-1/2}{K}_{s-1/2}(2\pi |\xi |y),$$当 $\xi \ne 0$ 时, 其中 $K$ 是 Bessel 函数; 而当 $\xi =0$ 时上式等于$$\frac{\sqrt{\pi }{y}^{1-2s}\Gamma (s-1/2)}{\Gamma (s)}.$$于是 Poisson 求和公式给出, 对固定的 $c\in {\mathbb{Z}}_{+}$,$$\sum _{d\in \mathbb{Z}}|cw+d{|}^{-2s}=\frac{\sqrt{\pi }(cy{)}^{1-2s}\Gamma (s-1/2)}{\Gamma (s)}+\frac{{\pi }^s}{\Gamma (s)}\sum _{\xi \in \mathbb{Z}\setminus 0}{\left(\frac{|\xi |}{cy}\right)}^{s-1/2}{K}_{s-1/2}(2\pi |\xi |cy)\mathbf{e}(\xi cx).$$对 $c\in {\mathbb{Z}}_{+}$ 求和, 定义$$\Lambda (s)={\pi }^{-s/2}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)$$以简化记号, 可得$$E(w,s)=y^s+\frac{\Lambda (2s-1)}{\Lambda (2s)}{y}^{1-s}+\frac{1}{\Lambda (2s)}\sum _{\xi \in \mathbb{Z}\setminus 0}\frac{{\sigma }_{2s-1}(\xi )}{|\xi {|}^{s-1/2}}{y}^{1/2}{K}_{s-1/2}(2\pi |\xi |y)\mathbf{e}(\xi x),$$其中 ${\sigma }_{2s-1}$ 表示所有正因子的 $2s-1$ 次方和. 于是由 $E(w,s)$ 在 $\mathrm{Re}(s)=1/2$ 全纯, 观察 Fourier 展开的非常数项系数, 即得 $\Lambda (2s)$ 在 $\mathrm{Re}(s)=1/2$ 非零. 这样就恢复出经典结论: $\zeta (s)$ 在 $\mathrm{Re}(s)=1$ 没有零点. 该方法非常强力, 可以得到很多关于 $L$ 函数的非零结果.