完美数

完美数, 又称完全数, 是一种特殊的自然数: 它所有的真因子 (即除了自身以外的约数) 的和, 恰好等于它本身. 如 $6$ 和 $28$ 是完美数: $6=1+2+3$, $28=1+2+4+7+14$.

1定义

定义 1.1 (完美数). 完美数是满足 $\sigma (n)=2n$ 的正整数, 其中 $\sigma$ 是约数和函数.

2分类

偶完美数

偶完美数具有如下好的性质.

定理 2.1 (Euclid–Euler). 若 $p=2^n-1$ 为素数, 则 $2^{n-1}(2^n-1)$ 乃一完美数, 且无其他偶完美数存在.

证明. 首先在 $2^n-1$ 为素数时, $\sigma (2^{n-1}(2^n-1))=(1+2+\cdots +2^{n-1})(1+(2^n-1))=2^n(2^n-1)$. 因此 $(2^n-1)2^{n-1}$ 是完美数.

若 $a$ 为一偶完美数, 设 $a=2^{n-1}u$, 其中 $u>1$, 且 $2\nmid u$. 则 $2^{n}u=2a=\sigma (a)=\frac{2^n-1}{2-1}\sigma (u)$. 故 $\sigma (u)=\frac{2^{n}u}{2^n-1}=u+\frac{u}{2^n-1}$. 注意到 $u$ 及 $\frac{u}{2^n-1}$ 皆为 $u$ 之因数. 而 $\sigma (u)$ 为 $u$ 的所有因数之和. 故 $u$ 只有两个因数, 即 $u$ 为素数. 即有 $u=2^n-1$ 为素数, 定理得证.

$\square$

由此, 偶完美数与形如 $2^n-1$ 之素数, 即 Mersenne 素数一一对应. 人们猜想有无穷个 Mersenne 素数, 从而有无穷个完美数.

由此还可以算出前几个完美数: $6$, $28$, $496$, $8128$, $33550336$, 它们分别相应于 $n=2,3,5,7,13$.

奇完美数

现在已用计算机证实在 $10^{1500}$ 以下没有奇完美数. 由此人们猜想奇完美数不存在.

下面列出了一些奇完美数要满足的条件.

定理 2.2 (1953, Jacques Touchard). 若存在奇完美数, 其形式必如 $12m+1$ 或 $36q+9$.

为证明此结论, 我们首先证明如下两个引理.

引理 2.3 (Euler). 奇完美数的形式必如 $4j+1$.

证明. 使用反证法, 设 $n$ 为完美数, 且 $n\equiv -1(\mathrm{mod}4)$. 对 $n$ 的任意正约数 $d$, 有 $d+\frac{n}{d}\equiv 0(\mathrm{mod}4)$. 因此$$\sigma (n)=\sum _{d\mid n,d<\sqrt{n}}\left(d+\frac{n}{d}\right)\equiv 0(\mathrm{mod}4)$$但 $n\equiv -1(\mathrm{mod}4)$, 因此 $2n\ne \sigma (n)$, 矛盾.

$\square$

引理 2.4. 若 $n=3k-1$, $k$ 是正整数, 则 $n$ 非完美数.

证明. 使用反证法, 设 $n$ 为完美数, 且 $n\equiv -1(\mathrm{mod}3)$. 对 $n$ 的任意正约数 $d$, 有 $d+\frac{n}{d}\equiv 0(\mathrm{mod}3)$. 因此$$2\sigma (n)=\sum _{d\mid n}\left(d+\frac{n}{d}\right)\equiv 0(\mathrm{mod}3)$$但 $n\equiv -1(\mathrm{mod}3)$, 因此 $2n\ne \sigma (n)$, 矛盾.

$\square$

回到定理的证明.

证明. 对奇完美数 $n$, 如 $3\nmid n$, 则 $n\equiv 1(\mathrm{mod}6)$. 由 $n\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ 可得 $n\equiv 1(\mathrm{mod}12)$.

当 $3\mid n$ 时, 如 $9\nmid n$, 则由约数和之积性 $4=\sigma (3)$ 整除 $\sigma (n)=2n$, 矛盾. 因此 $9\mid n$. 则由 $n\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ 可得 $n\equiv 9(\mathrm{mod}36)$.

$\square$

3相关概念

•	Mersenne 素数
•	超完美数

术语翻译

完美数 • 英文 perfect number • 德文 vollkommene Zahl • 法文 nombre parfait • 拉丁文 numerus perfectus • 古希腊文 τέλειος ἀριθμός