用户: Solution/ 笔记: Riemann曲面 (ii)

1紧 Riemann 面

Riemann–Roch 定理

定义 1.1. $X$ 是 Riemann 面, $X$ 上一个除子 (divisor) 指一个映射 $D:X\to \mathbb{Z}$ 使得对于任意紧集 $K\subset X$, 只有有限个 $x\in K$ 使得 $D(x)\ne 0$.

记 $\mathrm{Div}(X)$ 为 $X$ 上除子全体, 配以加法运算后, 其为一个 Abel 群.

设 $D,D^{\prime }\in \mathrm{Div}(X)$, 定义 $D\le D^{\prime }$ 等价于 $\forall x\in X$, $D(x)\le D^{\prime }(x)$.

例 1.2. 设 $0\ne f\in \mathcal{M}(X)$, 对 $x\in X$, 定义$${\mathrm{ord}}_{x}f=\{\begin{array}{ll}0,& f(x)\ne 0\text{ 且 }f\in {\mathcal{O}}_x\\ k,& x\text{ 为 }f\text{ 的 }k\text{ 阶零点}\\ -k,& x\text{ 为 }f\text{ 的 }k\text{ 阶极点}\end{array},$$则 $x\mapsto {\mathrm{ord}}_{x}f\in \mathrm{Div}(X)$, 记为 $(f)$.

例 1.3. 设 $0\ne \omega \in {\mathcal{M}}^1(X)$, 对于任意 $x\in X$, 在 $x$ 的某坐标邻域使得 $z(x)=0$, $\omega =fdz$, 定义 ${\mathrm{ord}}_x\omega :={\mathrm{ord}}_{0}f$. 验证其与局部坐标选取无关.

则 $x\mapsto {\mathrm{ord}}_x\omega \in \mathrm{Div}(X)$, 记为 $(\omega )$, 称为典范除子 canonical divisor.

设 $f,g\in \mathcal{M}(X)\backslash \{0\}$, $\omega \in {\mathcal{M}}^1(X)\backslash \{0\}$, 则 $(f\cdot g)=(f)+(g)$, $(f\cdot \omega )=(f)+(\omega )$, $\left(\frac{1}{f}\right)=-(f)$.

定义 1.4. 称一个除子 $D\in \mathrm{Div}(X)$ 为一个主除子, 若存在 $f\in \mathcal{M}\backslash \{0\}$ 使得 $D=(f)$.

对于 $D,D^{\prime }\in \mathrm{Div}(X)$, 则定义 $D\sim D^{\prime }$ 当且仅当 $D-D^{\prime }$ 是主除子.

例 1.5. 设 ${\omega }_1,{\omega }_2\in {\mathcal{M}}^1(X)\backslash \{0\}$, 则 $({\omega }_1)\sim ({\omega }_2)$.

设 $\omega \in {\mathcal{M}}^1(X)$, 设 $(U,z_U),(V,z_V)$ 是两个局部坐标. 设 $\omega =\{\begin{array}{l}{f}_{U}d{z}_U,\text{on}U\\ f_{V}d{z}_V,\text{on}V\end{array}$, 则 $f_U=f_V\cdot \frac{\partial z_V}{\partial z_U}$ 于 $U\cap V$.

设在局部坐标下, ${\omega }_1=f_{1}dz,{\omega }_2=f_{2}dz$, 定义 $f:=\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\frac{f_1}{f_2}\in \mathcal{M}\backslash \{0\}$, 则 $({\omega }_1)-({\omega }_2)=(f)$, 进而 $({\omega }_1)\sim ({\omega }_2)$.

定义 1.6. $X$ 是紧 Riemann 面, 定义映射$$\begin{array}{rl}\mathrm{deg}:\mathrm{Div}(X)& \to \mathbb{Z}\\ D& \mapsto \mathrm{deg}D:=\sum _{x\in X}D(x)\end{array}$$称其为 $D$ 的阶.

对于任意 $f\in \mathcal{M}(X)\backslash \{0\}$, 则 $\#f^{-1}(0)=\#f^{-1}(\infty )$, 则 $\mathrm{deg}(f)=0$. 故若 $D\sim D^{\prime }$, 则 $\mathrm{deg}D=\mathrm{deg}{D}^{\prime }$.

定义 1.7. 给定 $D\in \mathrm{Div}(X)$, $U\subset X$ 开集, 定义$${\mathcal{O}}_D(U):=\{f\in \mathcal{M}(U):{\mathrm{ord}}_{x}f\ge -D(x),\forall x\in U\}$$配以通常的限制映射, 其诱导出一个 $X$ 上的层 ${\mathcal{O}}_D$.

命题 1.8. ${\mathcal{O}}_D$ 的基本性质.

1. 若 $D=0$, 则 ${\mathcal{O}}_D=\mathcal{O}$.

2. 若 $D\sim D^{\prime }$, 则 ${\mathcal{O}}_D\cong {\mathcal{O}}_{D^{\prime }}$.

证明. 2. 对于任意 $\psi \in \mathcal{M}(X)\backslash \{0\}$ 使得 $D-D^{\prime }=(\psi )$. 定义同构$$\begin{array}{rl}{\mathcal{O}}_D(U)& \to {\mathcal{O}}_{D^{\prime }}(U)\\ f& \mapsto f\cdot \psi \end{array}$$$(f\cdot \psi )=(f)+(\psi )\ge -D+(\psi )=-D^{\prime }$. 类似定义$$\begin{array}{rl}{\mathcal{O}}_{D^{\prime }}(U)& \to {\mathcal{O}}_D(U)\\ g& \mapsto g/\psi \end{array}$$再验证即可.

$\square$

定理 1.9. $X$ 是紧 Riemann 面, $D\in \mathrm{Div}(X)$ 使得 $\mathrm{deg}D<0$, 则 $H^0(X,{\mathcal{O}}_D)=0$.

证明. 假设存在 $f\in H^0(X,{\mathcal{O}}_D)\backslash \{0\}$, 使得 $f\ge -D$. $0=\mathrm{deg}(f)\ge -\mathrm{deg}D>0$, 矛盾.

$\square$

定义 1.10. 固定 $p\in X$, 对于 $U\subset X$ 开集, 定义 ${\mathbb{C}}_p(U):=\{\begin{array}{ll}\mathbb{C},& p\in U\\ 0,& p\notin U\end{array}$, 其诱导出 $X$ 上的一个层 ${\mathbb{C}}_p$, 称其为一个摩天大楼层.

引理 1.11. 1. $H^0(X,{\mathbb{C}}_p)\cong \mathbb{C}$.   2. $H^1(X,{\mathbb{C}}_p)=0$.

证明. 1. $H^0(X,{\mathbb{C}}_p)\cong {\mathbb{C}}_p(X)=\mathbb{C}$.

2. 设 $\zeta =[(f_{ij})\in H^1(X,{\mathbb{C}}_p)]$, 其中 $(f_{ij})\in Z^1(\mathcal{U},{\mathbb{C}}_p)$, $\mathcal{U}$ 是 $X$ 的一个开覆盖. 取 $\mathcal{U}$ 的一个加细 $\mathcal{V}=\{V_{\alpha }\}$ 使得只有一个 $V_{\alpha }\ni p$, 即 $p\notin V_{\alpha }\cap V_{\beta }$, $\forall \beta \ne \alpha$. 即得 $\zeta =0$.

$\square$

定义 1.12. 设 $p\in X$, 定义单点除子 $P$ 为在 $p$ 点取值为 $1$, 在其它点取值为 $0$ 的除子.

对于任意 $D\in \mathrm{Div}(X)$, 有 $D\le D+P$, 故存在包含同态 $\iota :{\mathcal{O}}_D\to {\mathcal{O}}_{D+P}$ 是一个层同态.

取复坐标 $z$ 使得 $z(p)=0$, 定义层同态 $\beta :{\mathcal{O}}_{D+P}\to {\mathbb{C}}_p$ 如下

设 $U\subset X$ 是开集, 若 $p\notin U$, 则定义 ${\beta }_U:=0$. 若 $p\in U$, 则对于任意 $f\in {\mathcal{O}}_{D+P}(U)$, 在 $p$ 的某邻域有 Laurant 展开 $f(z)=\sum _{n=-k-1}^{\infty }{c}_n{z}^n$, 其中 $k=D(p)$. 此时, 定义 ${\beta }_U(f):=c_{-k-1}\in \mathbb{C}={\mathbb{C}}_p(U)$. 则$$0\to {\mathcal{O}}_D\stackrel{\iota }{⟶}{\mathcal{O}}_{D+P}\stackrel{\beta }{⟶}{\mathbb{C}}_p\to 0$$正合. 进而有长正合列$$0\to H^0(X,{\mathcal{O}}_D)\to H^0(X,{\mathcal{O}}_{D+P})\to \mathbb{C}\to H^1(X,{\mathcal{O}}_D)\to H^1(X,{\mathcal{O}}_{D+P})\to 0.$$

定理 1.13 (Riemann–Roch 定理). $X$ 是紧 Riemann 面, $D\in \mathrm{Div}(X)$, $g$ 是 $X$ 的亏格, 则 $\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_D)$ 和 $\dim H^1(X,{\mathcal{O}}_D)$ 有限, 且$$\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_D)-\dim H^1(X,{\mathcal{O}}_D)=1-g+\mathrm{deg}D.$$

证明. 当 $D=0$ 时, $H^0(X,\mathcal{O})\cong \mathbb{C}$, 故 $\dim H^0(X,\mathcal{O})=1$, 而 $g=\dim H^1(X,\mathcal{O})$, $\mathrm{deg}D=0$.

设 $D\in \mathrm{Div}(X)$, $p\in X$, 令 $D^{\prime }=D+P$. 有长正合列$$0\to H^0(X,{\mathcal{O}}_D)\to H^0(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})\to \mathbb{C}\to H^1(X,{\mathcal{O}}_D)\to H^1(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})\to 0.$$令 $V:=\mathrm{Im}(H^0(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})\to \mathbb{C})$, $W=\mathbb{C}/V$. 则 $\dim V+\dim W=1=\mathrm{deg}{D}^{\prime }-\mathrm{deg}D$. 于是有两个短正合列$$0\to H^0(X,{\mathcal{O}}_D)\to H^0(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})\to V\to 0,$$$$0\to W\to H^1(X,{\mathcal{O}}_D)\to H^1(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})\to 0.$$于是, $$\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})=\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_D)+\dim V,$$$$\dim H^1(X,{\mathcal{O}}_D)=\dim H^1(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})+\dim W.$$

由于任何除子 $D=P_1+\cdots +P_m-Q_1-\cdots -Q_n$, 且 $\dim H^0(X,\mathcal{O}),\dim H^1(X,\mathcal{O})$ 有限, 所以 $\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_D),\dim H^1(X,{\mathcal{O}}_D)$ 有限. 有$$\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})+\dim H^1(X,{\mathcal{O}}_D)=\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_D)+\dim H^1(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})+\mathrm{deg}{D}^{\prime }-\mathrm{deg}D,$$则$$\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})-\dim H^1(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})-\mathrm{deg}{D}^{\prime }=\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_D)-\dim H^1(X,{\mathcal{O}}_D)-\mathrm{deg}D,$$于是若 Riemann–Roch 定理对 $D,D^{\prime }$ 中一个成立, 则对另一个也成立.

由于任何一个 $D\in \mathrm{Div}(X)$ 可写为 $P_1+\cdots +P_m-Q_1-\cdots -Q_n$, 故再由数学归纳法即得.

$\square$

定理 1.14. 设 $X$ 是亏格为 $g$ 的紧 Riemann 面, 设 $a\in X$, 则存在 $f\in \mathcal{M}(X)$ 使得 $f\in \mathcal{O}(X\backslash \{a\})$ 且 $a$ 为 $f$ 的极点且其阶不超过 $g+1$.

证明. 取 $D\in \mathrm{Div}(X)$ 如下, $D(X)=\{\begin{array}{ll}g+1,& x=a\\ 0,& x\ne a\end{array}$. 由 Riemann–Roch 定理, $$\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_D)\ge 1-g+\mathrm{deg}D=1-g+g+1=2.$$故存在非常值函数 $f\in H^0(X,{\mathcal{O}}_D)$ 其满足要求.

$\square$

推论 1.15. $X$ 是紧 Riemann 面, $g$ 是亏格, 则存在分歧全纯覆盖 $f:X\to {\mathbb{P}}^1$, 其叶数不超过 $g+1$.

证明. 取 $f$ 如上一个定理, 其定义了全纯映射 $X\to {\mathbb{P}}^1$, 其在 $\infty$ 的重数不超过 $g+1$.

$\square$

推论 1.16. 亏格为 $0$ 的紧 Riemann 面 $\cong {\mathbb{P}}^1$. (双全纯等价)

证明. 由上一个推论知叶数为 $1$, 而叶数为 $1$ 的覆盖映射必双全纯.

$\square$

Serre 对偶定理

此节假设 $X$ 是紧 Riemann 面.

定义 1.17. 若 $D\in \mathrm{Div}(X)$, 对 $U\subset X$ 开集, 定义$${\Omega }_D(U)=\{\omega \in {\mathcal{M}}^1(U):(\omega )\ge -D\text{于}U\},$$诱导出层 ${\Omega }_D$.

定理 1.18 (Serre 对偶定理). $$H^1(X,{\mathcal{O}}_D)\cong H^0(X,{\Omega }_{-D})$$$$H^1(X,{\Omega }_D)\cong H^0(X,{\mathcal{O}}_{-D})$$

注 1.19. 1. 当 $D=0$ 时, $\dim H^0(X,\Omega )=\dim H^1(X,\mathcal{O})=g$.

2. 设 $K$ 是典范除子, ${\Omega }_{-K}\cong \mathcal{O}$, $\Omega \cong {\mathcal{O}}_K$.

证明. 设 $K=(\omega )$, 对 ${\omega }_1\in {\Omega }_{-K}(U)$, 则 $({\omega }_1)\ge K=(\omega )$, 则 $f={\omega }_1/\omega \in \mathcal{O}(U)$, 这定义了一个从 ${\Omega }_{-k}(U)$ 到 $\mathcal{O}(U)$ 的同构.

$\square$

注 1.20. R. Narasinhan, Compact Riemannian Surfaces.

定理 1.21. 设 $\omega \in {\mathcal{M}}^1(X)\backslash \{0\}$, 则 $\mathrm{deg}(\omega )=2g-2$. 特别地, 若 $\omega \in \Omega (X)\backslash \{0\}$, 则其零点个数为 $2g-2$.

证明. 设 $K=(\omega )$, 由 Riemann–Roch 定理, $\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_K)-\dim H^1(X,{\mathcal{O}}_K)=1-g+\mathrm{deg}K$, 而$$\text{LHS}=\dim H^1(X,{\Omega }_{-K})-\dim H^0(X,{\Omega }_{-K})=\dim H^1(X,\mathcal{O})-\dim H^0(X,\mathcal{O})=g-1,$$故 $\mathrm{deg}K=2g-2$.

$\square$

推论 1.22. 环面 $\mathbb{C}/\Gamma$ 的亏格为 $1$.

证明. $dz$ 关于 $\Gamma$ 不变, 其诱导出 $\mathbb{C}/\Gamma$ 上的一个全纯 $1$-形式 $\omega$, 其无零点, 进而 $0=\mathrm{deg}\omega =2g-2$ 推出 $g=1$.

$\square$

定理 1.23. 若 $g\ge 1$, 则对于任意 $p\in X$, 存在 $\omega \in \Omega (X)$ 使得 $\omega {|}_p\ne 0$.

证明. 因为 $X$ 不同构于 ${\mathbb{P}}^1$, 所以 $\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_P)=1$ (否则存在非常值 $f\in H^0(X,{\mathcal{O}}_P)$ 且 $(f)\ge -P$ 推出 $X\cong {\mathbb{P}}^1$, 矛盾.)

由 Serre 对偶, $\dim H^1(X,{\Omega }_{-P})=\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_P)=1$, 由 Riemann–Roch 定理, $$\dim H^0(X,{\Omega }_{-P})=\dim H^1(X,{\Omega }_{-P})+1-g+\mathrm{deg}K-1=g-1=\dim H^0(X,\Omega )-1,$$推出存在 $\omega \in H^0(X,\Omega )\backslash H^0(X,{\Omega }_{-P})$, 则 $\omega {|}_p\ne 0$.

$\square$

定理 1.24. $D\in \mathrm{Div}(X)$, $\mathrm{deg}D>2g-2$, 则 $H^1(X,{\mathcal{O}}_D)=0$.

证明. 取 $K$ 为典范除子, $$\begin{array}{rl}\dim H^1(X,{\mathcal{O}}_D)& =\dim H^0(X,{\Omega }_{-D})(Serre)\\ & =\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_{K-D})\\ & =0\end{array}$$因为 $\mathrm{deg}(K-D)=2g-2-\mathrm{deg}D<0$.

$\square$

注 1.25. 多元的情形即为 Kodaira 消灭定理.

推论 1.26. $H^1(X,\mathcal{M})=0$.

证明. 设 $\xi =[(f_{ij})]\in H^1(X,\mathcal{M})$, 其中 $(f_{ij})\in Z^1(\mathcal{U},\mathcal{M})$, $\mathcal{U}$ 是 $X$ 的开覆盖.

取 $\mathcal{V}=\{V_i\}<<\mathcal{U}=\{U_i\},i=1,2,\cdots ,n$. 因为 $\overline{V_i}\cap \overline{V_j}\subset U_i\cap U_j$, 所以存在 $D\in \mathrm{Div}(X)$ 使得 $\mathrm{deg}D>2g-2$ 且 $(f_{ij})\ge -D$ 于 $\overline{V_i}\cap \overline{V_j}$. 推出 $(f_{ij}{|}_{V_i\cap V_j})\in Z^1(\mathcal{V},{\mathcal{O}}_D)$.

因为 $H^1(\mathcal{V},{\mathcal{O}}_D)=0$, 所以 $f_{ij}=f_i-f_j$ 于 $V_i\cap V_j$, 其中 $f_i\in C^0(V_i,{\mathcal{O}}_D)\subset C^0(V_i,\mathcal{M})$, 故 $\xi =0$.

$\square$

定义 1.27. 设 $D\in \mathrm{Div}(X)$, 称 ${\mathcal{O}}_D$ 为整体生成的, 若 $\forall x\in X$, 存在 $f\in H^0(X,{\mathcal{O}}_D)$ 使得 ${\mathrm{ord}}_{x}f=-D(x)$.

定理 1.28. 若 $\mathrm{deg}D\ge 2g$ 则 ${\mathcal{O}}_D$ 是整体生成的.

证明. 令 $D^{\prime }(y):=\{\begin{array}{ll}D(y),& y\ne x\\ D(x)-1,& y=x\end{array}$. 则 $D^{\prime }\in \mathrm{Div}(X)$ 使得 $\mathrm{deg}{D}^{\prime }=\mathrm{deg}D-1\ge 2g-1>2g-2$. 推出 $H^1(X,{\mathcal{O}}_D)=H^1(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})=0$.

由 Riemann–Roch 定理, $\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_D)>\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})$.

因为 $H^0(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})\subset H^0(X,{\mathcal{O}}_D)$ ($(f)\ge -D^{\prime }\ge -D$) , 所以只需取 $f\in H^0(X,{\mathcal{O}}_D)\backslash H^0(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})$.

$\square$

定义 1.29. $N$ 维复射影空间 ${\mathbb{P}}^N$.

令 ${\mathbb{P}}^N:={\mathbb{C}}^{N+1}/\sim$, 其中 $(z_0,\cdots ,z_N)\sim (z_0^{\prime },\cdots ,z_N^{\prime })$ 等价于存在 $\lambda \in {\mathbb{C}}^{\ast }$ 使得 $z_j^{\prime }=\lambda \cdot z_j,0\le j\le N$.

设 $[z_0;z_1;\cdots ;z_N]$ 为由 $(z_0,\cdots ,z_N)$ 所代表的等价类. 令 $U_j:=\{[z_0;\cdots ;z_N]:z_j\ne 0\}$, 则 $\{U_j{\}}_{j=0}^N$ 是一个开覆盖. 考虑同胚 ${\phi }_j:U_j\to {\mathbb{C}}^n$, $[z_0;\cdots ;z_N]\mapsto (\frac{z_0}{z_j},\cdots ,\frac{z_{j-1}}{z_j},\frac{z_{j+1}}{z_j},\cdots ,\frac{z_N}{z_j})$ 为一个复坐标.

定义 1.30. $X$ 是紧 Riemann 面, $F\in C(X,{\mathbb{P}}^N)$, 则 $\{W_j:=F^{-1}(U_j)\}$ 构成 $X$ 的开覆盖. 令 $F_j:={\phi }_j\circ F:W_j\to {\mathbb{C}}^N$, 记 $F_j=(F_{j1},\cdots ,F_{jN})$, 若 $\forall F_{j\nu }$ 全纯, 则称 $F_j$ 为全纯映射. 如果 $\forall x\in X$, 存在 $W_j\ni x$, 且存在 $\nu$ 使得 $d{F}_{j\nu }{|}_x\ne 0$, 则称 $F$ 是全纯浸入. 称 $F$ 为全纯嵌入, 若 $F$ 是全纯浸入且 $F$ 是单射.

设 $f_0,\cdots ,f_N\in \mathcal{M}\backslash \{0\}$, 则构造全纯映射 $F:=[f_0:f_1:\cdots :f_N]:X\to {\mathbb{P}}^N$ 如下:

对于任意 $x\in X$, 取坐标 $z$ 使得 $z(x)=0$. 令 $k=\underset{0\le j\le N}{\min }{\mathrm{ord}}_x{f}_j$. 则 $f_j=z^k\cdot g_j,g_j\in {\mathcal{O}}_x$, 且至少有一个 $g_j(x)\ne 0$. 则令 $F(x):=[g_0(x):g_1(x):\cdots :g_N(x)]$. 而$$F_j=(\frac{g_0}{g_j},\cdots ,\frac{g_{j-1}}{g_j},\frac{g_{j+1}}{g_j},\cdots ,\frac{g_N}{g_j})\in {\mathcal{O}}_x^{\oplus N}.$$

定理 1.31. 设 $D\in \mathrm{Div}(X)$ 使得 $\mathrm{deg}D\ge 2g+1$, 设 $f_0,\cdots ,f_N\in H^0(X,{\mathcal{O}}_D)$ 的一组基, 则$$F:[f_0:f_1:\cdots :f_N]:X\hookrightarrow {\mathbb{P}}^N$$为一个全纯嵌入.

注 1.32. 多复变

若 $X$ 是非紧的 Riemann 面, 则 $X$ 可以作为闭一维复子流形全纯嵌入到 ${\mathbb{C}}^3$ 中.

证明. 我们只需证明 $F$ 是单浸入.

1.

$F$ 是单射.   作 $D^{\prime }\in \mathrm{Div}(X)$ 如下: $D^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}D(X),& x\ne x_2\\ D(x_2)-1,& x=x_2\end{array}$. 因为 $\mathrm{deg}{D}^{\prime }=\mathrm{deg}D-1\ge 2g$, 所以 ${\mathcal{O}}_{D^{\prime }}$ 是整体生成的. 于是存在 $f\in H^0(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})$ 使得$${\mathrm{ord}}_{x_1}f=-D^{\prime }(x_1)=-D(x_1).$$显然$${\mathrm{ord}}_{x_2}f\ge -D^{\prime }(x_2)=-D(x_2)+1.$$因为 $H^0(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})\subset H^0(X,{\mathcal{O}}_D)$, 所以 $f=\sum _{j=0}^N{\lambda }_j{f}_j,{\lambda }_j\in \mathbb{C}$.   取 $x_1,x_2$ 处的坐标 $(V_1,z_1),(V_2,z_2)$ 使得 $z_1(x_1)=z_2(x_2)=0$. 因为 ${\mathcal{O}}_D$ 是整体生成的, $k_{\mu }:=\underset{j}{\min }{\mathrm{ord}}_{x_{\mu }}{f}_j=-D(x_{\mu }),\mu =1,2$.   在 $x_{\mu }$ 附近, $f_j=z_{\mu }^{k_{\mu }}\cdot g_{\mu j}$, $f=z_{\mu }^{k_{\mu }}\cdot g$, 其中 $g_{\mu j},g\in {\mathcal{O}}_{x_{\mu }},\mu =1,2$. 推出 $F(x_{\mu })=[g_{\mu 0}:g_{\mu 1}:\cdots :g_{\mu N}]$ 且 $\sum _{j=0}^N{\lambda }_j{g}_{\mu j}(x_{\mu })=g(x_{\mu }),\mu =1,2$.   由 ${\mathrm{ord}}_{x_1}f=-D^{\prime }(x_1)=-D(x_1)$ 推出 $g(x_1)\ne 0$, 由 ${\mathrm{ord}}_{x_2}f\ge -D^{\prime }(x_2)=-D(x_2)+1$ 推出 $g(x_2)=0$. 则 $F(x_1)\ne F(x_2)$. 若否, 则存在 $\lambda \in \mathbb{C}$ 使得 $g_{\mu j}(x_1)=g_{\mu j}(x_2)\cdot \lambda$. 则$$0\ne g(x_1)=\sum _{j=0}^N{\lambda }_j{g}_{\mu j}(x_1)=\lambda \cdot \sum _{j=0}^N{\lambda }_j{g}_{\mu j}(x_2)=\lambda \cdot g(x_2)=0,$$得到矛盾.

2.

$F$ 是浸入.   设 $x_0\in X$, 取 $D^{\prime }\in \mathrm{Div}(X)$ 如下: $D^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}D(X),& x\ne x_0\\ D(x_0)-1,& x=x_0\end{array}$. 取 $f\in H^0(X,{\mathcal{O}}_{D^{\prime }})\subset H^0(X,{\mathcal{O}}_D)$ 使得$${\mathrm{ord}}_{x_0}f=-D^{\prime }(x_0)=-D(x)+1.$$  设 $f=\sum _{j=0}^N{\lambda }_j{f}_j$. 取 $k=\underset{j}{\min }{\mathrm{ord}}_{x_0}{f}_j=-D(x_0)$ 使得取 $x_0$ 处复坐标 $z$ 使得 $f_j=z^k\cdot g_j,f=z^k\cdot g$, 其中 $g_i,g\in {\mathcal{O}}_{x_0}$. 不妨设 $g_0(x_0)\ne 0$. 则 $F_0:={\phi }_0\cdot F:W_0=F^{-1}(U_0)\to {\mathbb{C}}^N$, $$F_0=(F_{01},\cdots ,F_{0N})=(\frac{g_1}{g_0},\cdots ,\frac{g_N}{g_0}).$$ $$\sum _{j=1}^N{\lambda }_j{F}_{0j}=\sum _{j=1}^N\frac{{\lambda }_j{g}_j}{g_0}=\frac{g}{g_0}-{\lambda }_0$$推出$$\sum _{j=1}^N{\lambda }_{j}d{F}_{oj}(x_0)=d(\frac{g}{g_0})(x_0).$$因为 $g(x_0)\ne 0$, 且 ${\mathrm{ord}}_{x_0}f=-D^{\prime }(x_0)=-D(x)+1$ 推出 ${\mathrm{ord}}_{x_0}=1$. 所以$$d(\frac{g}{g_0})(x_0)=\frac{dg(x_0)}{g_0(x_0)}-\frac{g(x_0)\cdot d{g}_0(x_0)}{g_0(x_0{)}^2}=\frac{dg(x_0)}{g(x_0)}\ne 0$$故存在某个 $j$ 使得 $d{F}_{0j}(x_0)\ne 0$, 故 $F$ 是浸入. $\square$

注 1.33. $N+1=\dim H^0(X,{\mathcal{O}}_D)=1-g+\mathrm{deg}D\ge g+2$, 因此 $X\hookrightarrow {\mathbb{P}}^{g+1}$, 其中 $g$ 是 $X$ 的亏格. 特别地, $\mathbb{C}/\Gamma \hookrightarrow {\mathbb{P}}^2$. 一般地, 任意紧 Riemann 面 $X\hookrightarrow {\mathbb{P}}^3$.

注 1.34. 若 $X$ 是非紧 Riemann 面, 则存在逆紧全纯嵌入 $X\hookrightarrow {\mathbb{C}}^3$ (Bishop-Narasimhan-Remmert).

Conjecture: 存在逆紧全纯嵌入 $X\hookrightarrow {\mathbb{C}}^2$.

定义 1.35. $X,Y$ 是紧 Riemann 面, 非常值映射 $F\in \mathcal{O}(X,Y)$. 令 $f$ 在 $x$ 处的重数 $\nu (f,x):=\#(f^{-1}(y)\cap U)$, 这里 $U\ni x$ 是充分小邻域, $y\ne f(x)$ 但充分接近于 $f(x)$.

称 $b(f,x)=\nu (f,x)-1$ 为 $f$ 在 $x$ 处的分歧阶 (分歧: branch). 令 $b:=\sum _{x\in X}b(f,x)$.

称 $n:=\sum _{x\in f^{-1}(y)}\nu (f,x)$ 为 $f$ 的叶数. $g$ 和 $g^{\prime }$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的亏格.

定理 1.36. Riemann–Hurwitz 定理. $$g=\frac{b}{2}+n(g^{\prime }-1)+1.$$

注 1.37. 推出 $b$ 是偶数.

证明. 设 $\omega \in {\mathcal{M}}^1(Y)\backslash \{0\}$, 由 Riemann–Roch 定理, $\mathrm{deg}\omega =2g^{\prime }-2$. 而 $f^{\ast }\omega \in {\mathcal{M}}^1(X)\backslash \{0\}$, 再由 Riemann–Roch 定理, $\mathrm{deg}{f}^{\ast }\omega =2g-2$.

设 $x\in X$, $y=f(x)\in Y$. 取 $x,y$ 处的坐标 $z,w$ 使得 $z(x)=w(y)=0$, 且 $f$ 可表示为 $w=z^k$, $k=\nu (f,x)$. 设 $\omega =\psi (w)dw$, 则 $f^{\ast }\omega =\psi (z^k)d{z}^k=k{z}^{k-1}\psi (z^k)dz$. 于是有$${\mathrm{ord}}_x{f}^{\ast }\omega =b(f,x)+\nu (f,x)\cdot {\mathrm{ord}}_y\omega .$$推出$$\sum _{x\in f^{-1}(y)}{\mathrm{ord}}_x{f}^{\ast }\omega =\sum _{x\in f^{-1}(y)}b(f,x)+n\cdot {\mathrm{ord}}_y\omega .$$故$$\begin{array}{rl}\mathrm{deg}{f}^{\ast }\omega & =\sum _{x\in X}{\mathrm{ord}}_x{f}^{\ast }\omega \\ & =\sum _{y\in Y}\sum _{x\in f^{-1}(y)}{\mathrm{ord}}_x{f}^{\ast }\omega \\ & =\sum _{y\in Y}\sum _{x\in f^{-1}(y)}b(f,x)+n\sum _{y\in Y}{\mathrm{ord}}_y\omega \\ & =b+n\cdot \mathrm{deg}\omega .\end{array}$$

$\square$

例 1.38. 当 $Y={\mathbb{P}}^1$ 时, 则 $g=\frac{b}{2}-n+1$.

特别地, 当 $n=2$ 时, $g=\frac{b}{2}-1$, 此时称 $X$ 为超椭圆的.

除子与线丛, Serre 定理证明

定义 1.39. $X$ 是 Riemann 面, $X$ 上一个全纯线丛指 $L=\bigcup _{i\in I}{U}_i\times \mathbb{C}/\sim$, 其中 $\mathcal{U}=\{U_i{\}}_{i\in I}$ 为 $X$ 的一个开覆盖, $(x,v)\in U_i\times \mathbb{C}\sim (y,w)\in U_j\times \mathbb{C}$ 等价于 $x=y$ 且 $v=g_{ij}(x)\cdot w$, 其中 $g_{ij}\in {\mathcal{O}}^{\ast }(U_i\cap U_j)$ 满足 $g_{ij}\cdot g_{jk}=g_{ik}$ 于 $U_i\cap U_j\cap U_k$. 称 $\{g_{ij}\}$ 为 $L$ 的转换函数.

定义 1.40. 设 $U\subset X$ 为开集, $L$ 在 $U$ 上的一个全纯截影指一族 $(f_i{)}_{i\in I}$, 其中 $f_i\in \mathcal{O}(U\cap U_i)$ 使得 $f_i=g_{ij}\cdot f_j$ 于 $U\cap U_i\cap U_j$. 记 $\Gamma (U,L)=\{L$ 在 $U\text{ 上的全纯截影}\}$. 其诱导出一个层, 记为 ${\mathcal{O}}_L$.

定义 1.41. $L$ 在 $U$ 上的一个亚纯截影指一个 $f\in \Gamma (X^{\prime },L)$, 其中 $X^{\prime }\subset X$ 开, 满足

1. $X\backslash X^{\prime }$ 离散.

2. $\forall a\in X\backslash X^{\prime }$, 存在 $a$ 处坐标 $(U,z)$ 使得 $z(a)=0$ 且存在 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 使得 $z^n\cdot f\in \Gamma (U,L)$.

例 1.42. 1. 平凡线丛 $L=X\times \mathbb{C}$. 此时 $g_{ij}=1$, $\mathcal{O}={\mathcal{O}}_L$.

2. 设 $\{(U_i,z_i){\}}_{i\in I}$ 为 $X$ 的一个坐标邻域覆盖. 定义 $g_{ij}:=\frac{d{z}_j}{d{z}_i}$, 称以 $\{g_{ij}\}$ 为转换函数诱导的全纯线丛为 $X$ 上的典范线丛 $K_X$ (即为 $X$ 上的全纯余切丛) .

3. $L,L^{\prime }$ 为 $X$ 上全纯线丛, 转换函数 $\{g_{ij}\},\{g_{kl}^{\prime }\}$, 取一个公共加细覆盖后, 不妨设转换函数为 $\{g_{ij}\}$ 于 $\{g_{ij}^{\prime }\}$, 称以 $\{g_{ij}\cdot g_{ij}^{\prime }\}$ 为转移函数诱导出的全纯线丛为 $L$ 与 $L^{\prime }$ 的张量积, 记为 $L\otimes L^{\prime }$.

记 $L^{\otimes m}=L\otimes L\otimes \cdots \otimes L$ 共 $m$ 个做张量积. 称 $K^{\otimes m}$ 为 pluri-canonical line bundle, $P_m:=\Gamma (X,K^{\otimes m})$ 为 pluri-genera.

4. 设 $L$ 的转换函数为 $\{g_{ij}\}$, 以 $\{g_{ij}^{-1}\}$ 为转移函数诱导出的全纯线丛为 $L$ 的对偶线丛.

5. 设 $D\in 、Div(X)$, 取 $X$ 的开覆盖 $\mathcal{U}=\{U_i{\}}_{i\in I}$, 以及 ${\psi }_i\in \mathcal{M}(U_i)$, $i\in I$ 使得 $({\psi }_i)=D$ 于 $U_i$. 则 $g_{ij}:={\psi }_i/{\psi }_j\in {\mathcal{O}}^{\ast }(U_i\cap U_j)$. 记 $L_D$ 为以 $\{g_{ij}\}$ 为转换函数的全纯线丛.

引理 1.43. $${\mathcal{O}}_D\cong {\mathcal{O}}_{L_D}.$$

证明. 设 $U\subset X$ 为一个开集, $f\in {\mathcal{O}}_D(U)$ 则 $(f)\ge -D$ 于 $U$. 故 $f_i:=f\cdot {\psi }_i\in \mathcal{O}(U\cap U_i)$. ($(f_i)=f(f)+({\psi }_i)\ge -D+({\psi }_i)=0$.)

在 $U\cap U_i\cap U_j$ 上, $\frac{f_i}{{\psi }_i}=f=\frac{f_j}{{\psi }_j}$ 推出 $f_i=g_{ij}{f}_j$, 推出 $(f_i)\in \Gamma (U,L_D)$.

反过来, 设 $(f_i)\in \Gamma (U,L_D)$, 在 $U\cap U_i\cap U_j$ 上, $f_i=g_{ij}{f}_j$, 则 $\frac{f_i}{{\psi }_i}=\frac{f_j}{{\psi }_j}$, 推出 $f{|}_{U\cap U_i}:=\frac{f_i}{{\psi }_i}\in \mathcal{M}(U)$, 且使得 $(f)=(f_i)-({\psi }_i)\ge (-{\psi }_i)=-D$, $\forall U\cap U_i$, 则 $f\in {\mathcal{O}}_D(U)$.

$\square$

定义 1.44. 设 $L$ 是 $X$ 上的全纯线丛, 记 $\pi :L\to X$, $[(x,v)]\mapsto x$ 为自然投影. 商映射 $\bigcup _{i\in I}{U}_i\times \mathbb{C}\to L$ 诱导出同胚 ${\Phi }_i:{\pi }^{-1}(U_i)\to U_i\times \mathbb{C}$ 使得下图交换$${\pi }^{-1}(U_i)U_i\times \mathbb{C}{U}_i\pi {\Phi }_i$$称 ${\Phi }_i$ 为 $L$ 在 $U_i$ 上的平凡化. ${\Phi }_i\circ {\Phi }_j^{-1}(x,v)=(x,g_{ij}(x)v)$ 是全纯的. 说明 $L$ 为一个二维复流形.

称 ${\xi }_i:={\Phi }_i^{-1}(x,1)$ 为 $L$ 在 $U_j$ 上的一个局部标架. 则有 ${\xi }_j=g_{ij}{\xi }_i$.

设 $f=(f_i)\in \Gamma (U,L)$, $U\subset X$ 开, 则 $\tilde{f}{|}_{U\cap U_i}:=f_i\times {\xi }_i\in \mathcal{O}(U,L)$. 我们将 $f$ 与 $\tilde{f}$ 恒同起来 (解释了为什么叫全纯截影) .

定义 1.45. $L$ 上的一个 Hermite 度量 $h$ 指一族函数 $\{h_i\}$, 其中 $0<h_i\in \mathcal{E}(U_i)$ 使得 $h_i=h_j/|g_{ij}{|}^2$ 于 $U_i\cap U_j$.

设 $f\in \Gamma (U,L)$, $f=(f_i)$, 其中 $f_i\in \mathcal{O}(U\cap U_i)$, 有 $|f_i{|}^2{h}_i=|f_j{|}^2{h}_j$ 于 $U\cap U_i\cap U_j$. 定义 $|f{|}_h^2{|}_{U_i}:=|f_i{|}^2\cdot h_i\in \mathcal{E}(U)$, 称其为 $f$ 关于 $h$ 的点态长度的平方.

定义 1.46. 因为 $d^{\prime }{d}^{\prime \prime }(-\log h_i)=d^{\prime }{d}^{\prime \prime }(-\log h_j)$ 于 $U_i\cap U_j$, 故定义 $\Theta {|}_{U_i}:=i{d}^{\prime }{d}^{\prime \prime }(-\log h_i)\in {\mathcal{E}}^{(1,1)}(X)$ 称为 $h$ 的曲率.

定义 1.47. 称 $C(L):=\frac{1}{2\pi }{\int }_X{\Theta }_h$ 为 $L$ 的 Euler 示性数或第一陈类.

定理 1.48 (Gauss–Bonnet). $X$ 是紧 Riemann 面, $D\in \mathrm{Div}(X)$, 则 $C(L_D)=\mathrm{deg}D$.

证明. 取 $X$ 的 (有限) 坐标邻域覆盖 $\mathcal{U}=\{(U_i,z_i)\}$ 以及 $\psi \in \mathcal{M}(U_i)$ 使得 $({\psi }_i)=D$ 于 $U_i$. 于是有 $f=({\psi }_i)\in \mathcal{M}(X,L_D)$.

设 $D=\sum _{k=1}^n{n}_k\cdot P_k$, $n_k\in \mathbb{Z}$, $P_k\in X$. 令 $X^{\prime }=X\backslash \{P_1,\cdots ,P_n\}$ 则 $f\in \Gamma (X^{\prime },L_D)$ 且无零点. 则 ${\Theta }_h=i{d}^{\prime }{d}^{\prime \prime }(-\log |f{|}_h^2)$ 于 $X^{\prime }$. 所以$$C(L_D)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{X^{\prime }}{\Theta }_h=\frac{1}{2\pi }{\int }_{X^{\prime }}i{d}^{\prime }{d}^{\prime \prime }(-\log |f{|}_h^2).$$设 $z_k$ 为 $P_k$ 处坐标使得 $z_k(P_k)=0$. 则 ${\xi }_k$ 为 $L$ 在 $P_k$ 附近的一个局部标架.

设 $f=z_k^{n_k}\cdot g_k\otimes {\xi }_k$ 于 $P_k$ 附近, $g_k\in {\mathcal{O}}_{P_k}^{\ast }$, 推出$$\begin{array}{rl}C(L_D)& =\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{1}{2\pi }{\int }_{X\backslash {\bigcup }_{k=1}^n\{|z_k|<\delta \}}id{d}^{\prime }\log |f{|}_h^2\\ & =\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{1}{2\pi i}\sum _{k=1}^n{\int }_{|z_k|=\delta }{d}^{\prime }\log |f{|}_h^2\\ & =\underset{\delta \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z_k|=\delta }(n_k\frac{d{z}_k}{z_k}+d^{\prime }\log |g_k\otimes {\xi }_k{|}_h^2)\\ & =\sum _{k=1}^n{n}_k=\mathrm{deg}D.\end{array}$$

$\square$

注 1.49. 设 $g={\lambda }^{2}dz\otimes d\overline{z}$ 为 $X$ 上一个 Riemann 度量, 其可以看作 $X$ 的全纯切丛 $K^{\ast }$ 上的一个 Hermitian 度量. 记 ${\omega }_g:=\frac{i}{2}{\lambda }^{2}dz\wedge d\overline{z}$ 为 $g$ 的 Kähler 形式. 称$$K_g:=-\frac{2}{{\lambda }^2}\frac{\partial \log {\lambda }^2}{\partial z\partial \overline{z}}$$为 $g$ 的 Gauss 曲率. 则 ${\Theta }_g=K_g\cdot {\omega }_g$. 则由上条定理推出$$\frac{1}{2\pi }{\int }_X{K}_g\cdot {\omega }_g=-\mathrm{deg}K=2-2g=\chi (X).$$其中 $K$ 是 canonical divisor, $g$ 是 $X$ 的 “柄” 的个数, $\chi (X)$ 是 $X$ 的 Euler 示性数.

定义 1.50. $X$ 是 Riemann 面, $L$ 是 $X$ 上的全纯线丛, $U\subset X$ 开, 与全纯截影类似可定义 $C^{\infty }$ 截影, 令$${\mathcal{E}}_L(U):=\{L\text{ 在 }U\text{ 上的 }{C}^{\infty }\text{ 截影}\},$$$${\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(U):={\mathcal{E}}^{(0,1)}(U)\otimes {\mathcal{E}}_L(U).$$$\{{\mathcal{E}}_L(U)\},\{{\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(U)\}$ 诱导出层 ${\mathcal{E}}_L$ 和 ${\mathcal{E}}_L^{(0,1)}$.

定义 1.51. 引入层同态 $d^{\prime \prime }:{\mathcal{E}}_L\to {\mathcal{E}}_L^{(0,1)}$, 设 $U\subset X$ 开, $\mathcal{U}=\{U_i\}$ 为 $X$ 的开覆盖使得 $L_{U_i}$ 平凡.

设 $S\in {\mathcal{E}}_L(U)$, 则 $S=f_i\otimes {\xi }_i$ 于 $U\cap U_i$, $f_i\in \mathcal{E}(U_i\cap U)$. 定义 $d^{\prime \prime }S{|}_{U\cap U_i}:=d^{\prime \prime }{f}_i\otimes {\xi }_i$. 则 $d^{\prime \prime }S\in {\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(U)$: $f_i\otimes {\xi }_i=f_j\otimes {\xi }_j$ 于 $U\cap U_i\cap U_j$, $f_i=g_{ij}{f}_j$, ${\xi }_i=g_{ij}^{-1}{\xi }_j$. $$\begin{array}{rl}{d}^{\prime \prime }{f}_i\otimes {\xi }_i& =d^{\prime \prime }(g_{ij}{f}_j)\otimes (g_{ij}^{-1}{\xi }_j)\\ & =g_{ij}{d}^{\prime \prime }{f}_j\otimes (g_{ij}^{-1}{\xi }_j)\\ & =d^{\prime \prime }{f}_j\otimes {\xi }_j.\end{array}$$

注 1.52. 无法定义 $d^{\prime }:{\mathcal{E}}_L\to {\mathcal{E}}_L^{(1,0)}$.

令 $H^0(X,L):=H^0(X,{\mathcal{O}}_L)$, $H^1(X,L):=H^1(X,{\mathcal{O}}_L)$. 则有

定理 1.53 (Dolbeault 定理). $H^1(X,L)\cong {\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X)/d^{\prime \prime }{\mathcal{E}}_L(X)$.

定义 1.54. 设 $L$ 是 $X$ 上的全纯线丛, $L^{\ast }$ 是 $L$ 的对偶丛, $K$ 是 $X$ 上的典范线丛, 定义双线性形式 $⟨-,-⟩:H^0(X,K\otimes L^{\ast })\times {\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X)\to \mathbb{C}$ 如下

设 $\xi$ 为 $L$ 的一个局部标架, 则 ${\xi }^{\ast }:={\xi }^{-1}$ 为 $L^{\ast }$ 的一个局部标架, 则对于任意 $S\in H^0(X,K\times L^{\ast })$ 以及对于任意 $\phi \in {\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X)$, 可局部表示为$$S=fdz\otimes {\xi }^{\ast },f\in \mathcal{O}(U)$$$$\phi =gd\bar{z}\otimes \xi ,g\in \mathcal{E}(U)$$定义 $(S,\phi ){|}_U:=f\cdot gdz\wedge d\bar{z}$, 其不依赖于 $U$ 以及标架的选取, 故 $(S,\phi )\in {\mathcal{E}}^{(1,1)}(X)$, 则定义 $⟨S,\phi ⟩:={\int }_X(S,\phi )$.

定理 1.55 (表示定理). $X$ 是紧 Riemann 面, $L$ 是 $X$ 上的全纯线丛, $F:{\mathcal{E}}_L^{(0,1)}\to \mathbb{C}$ 是一个连续线性泛函, 使得 $F{|}_{d^{\prime \prime }{\mathcal{E}}_L(X)}=0$ 可推出存在唯一的 $S\in H^0(X,K\otimes L^{\ast })$ 使得 $F(\phi )=⟨S,\phi ⟩,\forall \phi \in {\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X)$.

证明. (i). 设 $U\subset X$ 开, $\sigma \in H^0(U,K\otimes L^{\ast })$ 使得 $⟨\sigma ,\phi ⟩=0,\forall \phi \in {\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X)$, $\mathrm{Supp}\phi \subset U$, 则 $\sigma =0$ (定理的唯一性) (ii). 设 $U$ 为 $X$ 的一个坐标邻域, 使得 $L{|}_U$ 平凡, 则存在 $S\in H^0(U,K\otimes L^{\ast })$ 使得 $F(\phi )=⟨S,\phi ⟩,\forall \phi \in {\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X)$ 且 $\mathrm{Supp}\phi \subset U$.

假设 (ii) 成立, 取 $X$ 的坐标邻域覆盖 $\{(U_i,z_i)\}$ 使得 $L{|}_{U_i}$ 平凡, 由 2, 存在 $S_i\in H^0(U_i,K\otimes L^{\ast })$ 使得 $F(\phi )=⟨S_i,\phi ⟩,\forall \phi \in {\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X)$ 且 $\mathrm{Supp}\phi \subset U_i$. 若 $\mathrm{Supp}\phi \subset U_i\cap U_j$, 则 $⟨S_i-S_j,\phi ⟩=0$, 由 (i) 推出 $S_i=S_j$ 于 $U_i\cap U_j$, 故定义 $S{|}_{U_i}:=S_i$, 有 $S\in H^0(X,K\otimes L^{\ast })$.

取 $\{{\chi }_i\}$ 为从属于 $\{U_i\}$ 的单位分解, 对 $\phi \in {\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X)$, 令 ${\phi }_i={\chi }_i\phi$, 则 $\mathrm{Supp}{\phi }_i\subset U_i$ 且 $\phi =\sum _i{\phi }_i$. $$⟨S,\phi ⟩=\sum ⟨S,{\phi }_i⟩=\sum ⟨S_i,{\phi }_i⟩=\sum F({\phi }_i)=F(\sum {\phi }_i)=F(\phi ).$$接下来我们证明 (ii) 成立. 设 $S=fdz\otimes {\xi }^{\ast }$, $\phi =gd\overline{z}\otimes \xi$, 则 $⟨S,\phi ⟩={\int }_{U}f\cdot gdz\wedge dOz$. 因此只需证明下面的 Weyl 引理.

设 $U\subset \subset \mathbb{C}$ 是有界区域, $T:C_0^{\infty }(U)\to \mathbb{C}$ 为一个线性映射, 使得

 1. 若 $f_j\in C_0^{\infty }(U)$ 按 $C^{\infty }$ 拓扑收敛于 $f\in C_0^{\infty }(U)$, 则 $T{f}_j\to Tf$;

 2. $T(\partial g/\partial \overline{z})=0,\forall g\in C_0^{\infty }(U)$ (即在分布意义下, $\overline{\partial }T=0$) , 则存在唯一的 $h\in \mathcal{O}(U)$, 使得 $Tg={\int }_{U}h\cdot gdz\wedge d\overline{z}$.

$\square$

我们证明 Weyl 引理.

引理 1.56 (Weyl 引理). 设 $U\subset \subset \mathbb{C}$ 是有界区域, $T:C_0^{\infty }(U)\to \mathbb{C}$ 为一个线性映射, 使得

 1. 若 $f_j\in C_0^{\infty }(U)$ 按 $C^{\infty }$ 拓扑收敛于 $f\in C_0^{\infty }(U)$, 则 $T{f}_j\to Tf$;

 2. $T(\partial g/\partial \bar{z})=0,\forall g\in C_0^{\infty }(U)$ (即在分布意义下, $\overline{\partial }T=0$) , 则存在唯一的 $h\in \mathcal{O}(U)$, 使得 $Tg={\int }_{U}h\cdot gdz\wedge d\bar{z}$.

证明. $\forall \epsilon >0$, 定义 $U_{\epsilon }:=\{z\in U:d(z,\partial U)>\epsilon \}$, 取 ${\chi }_{\epsilon }\in C_0^{\infty }({\Delta }_{\epsilon })$ 使得 ${\chi }_{\epsilon }{|}_{\overline{{\Delta }_{\frac{\epsilon }{2}}}}=1$.

对于 $f\in C_0^{\infty }(U_{\epsilon })$, 定义 $f_{\epsilon }\in C_0^{\infty }(U)$ 如下: $$f_{\epsilon }(z):=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{C}}f(z+w)\cdot \frac{{\chi }_{\epsilon }(w)}{w}dw\wedge d\overline{w}.$$$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f_{\epsilon }}{\partial \bar{z}}& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{C}}\frac{\partial }{\partial \bar{z}}f(z+w)\frac{{\chi }_{\epsilon }(w)}{w}dw\wedge d\overline{w}\\ & =\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{C}\backslash \overline{{\Delta }_{\delta }}}\frac{\partial }{\partial \bar{w}}f(z+w)\frac{{\chi }_{\epsilon }(w)}{w}dw\wedge d\overline{w}\\ & =-\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{C}\backslash \overline{{\Delta }_{\delta }}}d\left(f(z+w)\frac{{\chi }_{\epsilon }(w)}{w}dw\right)-\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{C}\backslash \overline{{\Delta }_{\delta }}}f(z+w)\frac{\partial }{\partial \bar{w}}\left(\frac{{\chi }_{\epsilon }(w)}{w}\right)dw\wedge d\overline{w}\\ & =\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\partial {\Delta }_{\delta }}f(z+w)\frac{{\chi }_{\epsilon }(w)}{w}dw-\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{C}\backslash {\Delta }_{\delta }}f(w){\rho }_{\epsilon }(w-z)dw\wedge d\overline{w}\\ & =f(z)-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{C}}f(w){\rho }_{\epsilon }(w-z)dw\wedge d\overline{w},\end{array}$$其中 ${\rho }_{\epsilon }(w)=\frac{\partial }{\partial \overline{w}}(\frac{{\chi }_{\epsilon }(w)}{w})\in C_0^{\infty }({\Delta }_{\epsilon }\backslash \overline{{\Delta }_{\frac{\epsilon }{2}}})$.

将上面积分写成 Riemann 和的极限, 再利用 1 推出 $\forall f\in C_0^{\infty }(U_{\epsilon })$, 有$$0=T\left(\frac{\partial f_{\epsilon }}{\partial \overline{z}}\right)=Tf-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{U}f(w)h_{\epsilon }(w)dw\wedge d\overline{w},$$其中 $h_{\epsilon }(w)=T(z\to {\rho }_{\epsilon }(w-z))$, 第一处等号是因为 2, 则$$Tf=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{U}f(w)h_{\epsilon }(w)dw\wedge d\overline{w}.$$$$\frac{h_{\epsilon }(w+t)-h_{\epsilon }(w)}{t}=T\left(\frac{{\rho }_{\epsilon }(w+t-\cdots )-{\rho }_{\epsilon }(w-\cdots )}{t}\right)\to T\left(\frac{\partial {\rho }_{\epsilon }}{\partial t}\right)$$推出 $h_{\epsilon }\in C^1(U_{\epsilon })$.

设 $g\in C_0^{\infty }(U_{\epsilon })$, 则$$\begin{array}{rl}0& =T\left(\frac{\partial g}{\partial \bar{z}}\right)\\ & =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{U_{\epsilon }}\frac{\partial g}{\partial \bar{z}}\cdot h_{\epsilon }(z)dz\wedge d\bar{z}\\ & =0\frac{1}{2\pi i}{\int }_{U_{\epsilon }}g\cdot \frac{\partial h_{\epsilon }}{\partial \bar{z}}dz\wedge d\bar{z}\end{array}$$推出 $\frac{\partial h_{\epsilon }}{\partial \overline{z}}=0$, 故 $h_{\epsilon }\in \mathcal{O}(U_{\epsilon })$.

设 ${\epsilon }_1<{\epsilon }_2$, 则 $U_{{\epsilon }_1}\supset U_{{\epsilon }_2}$, 对 $g\in C_0^{\infty }(U_{{\epsilon }_2})$, $$Tg=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{U}g(w)\cdot h_{{\epsilon }_2}(w)dw\wedge d\overline{w}=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{U}g(w)h_{\epsilon }(w)dw\wedge d\overline{w}.$$推出 ${\int }_{U_{{\epsilon }_2}}g(w)(h_{{\epsilon }_1}(w)-h_{{\epsilon }_2}(w))dw\wedge d\overline{w}=0,\forall g\in C_0^{\infty }(U_{{\epsilon }_2})$, 则 $h_{{\epsilon }_1}{|}_{U_{{\epsilon }_2}}=h_{{\epsilon }_2}$.

最后, 取 $h{|}_{U_{\epsilon }}:=\frac{1}{2\pi i}{h}_{\epsilon }\in \mathcal{O}(U)$, 其满足要求.

$\square$

引理 1.57. $X$ 是紧 Riemann 面, $f\in {\mathcal{E}}_L(X)$, $S\in H^0(X,K\otimes L^{\ast })$, 则 $⟨S,d^{\prime \prime }f⟩=0$.

引理的证明. 设 $\{(U_i,z_i)\}$ 是 $X$ 的一个坐标邻域覆盖, 使得 $L_{U_i}$ 平凡. 取 $\{U_i\}$ 的单位分解 ${\chi }_i$ 令 $f_i={\chi }_i\cdot f\in C_0^{\infty }(U_i)$, $f=\sum f_i$, $S{|}_{U_i}=h_{i}d{z}_i\otimes {\xi }^{\ast },h_i\in \mathcal{O}(U_i)$. $$\begin{array}{rl}⟨S,d^{\prime \prime }f⟩& =\sum ⟨S,d^{\prime \prime }{f}_i⟩\\ & =\sum {\int }_{U_i}{h}_i\cdot \frac{\partial f_i}{\partial \overline{z_i}}d{z}_i\wedge d\overline{z_i}\\ & =-\sum {\int }_{U_i}\frac{\partial h_i}{\partial \overline{z_i}}{f}_{i}d{z}_i\wedge d\overline{z_i}=0.\end{array}$$

$\square$

定义 1.58. 于是 $⟨-,-⟩$ 诱导出一个双线性形式$$H^0(X,K\otimes L^{\ast })\times \left({\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X)/d^{\prime \prime }{\mathcal{E}}_L(X)\right)\to \mathbb{C}$$仍记为 $⟨-,-⟩$.

设 $D:H^1(X,L)\to {\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X)/d^{\prime \prime }{\mathcal{E}}_L(X)$ 为 Dolbeault 同构, 再定义一个双线性形式$$H^0(X,K\otimes L^{\ast })\times H^1(X,L)\to \mathbb{C}$$$$⟨S,\xi {⟩}_L:=⟨S,D(\xi )⟩$$其诱导出映射 ${\Delta }_L:H^0(X,K\otimes L^{\ast })\to H^1(X,L{)}^{\ast }$, $S\mapsto {\Delta }_L(S):\xi \mapsto ⟨S,\xi {⟩}_L$.

定理 1.59 (Serre). ${\Delta }_L$ 是一个同构.

证明. ${\Delta }_L$ 单: 若 $S\in H^0(X,K\otimes L^{\ast })$ 使得 $⟨S,\phi ⟩=0,\forall \phi \in {\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X)$, 则 $S=0$.

${\Delta }_L$ 满. 设 $l:{\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X)/d^{\prime \prime }{\mathcal{E}}_L(X)\to \mathbb{C}$ 是一个线性映射, 因为 $\dim {\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X)/d^{\prime \prime }{\mathcal{E}}_L(X)<\infty$, 故 $l$ 连续. 定义线性映射$$\begin{array}{rl}F:{\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X)& \to \mathbb{C}\\ \phi & \mapsto l([\phi ]).\end{array}$$则 $F$ 为连续线性泛函, 且使得 $F{|}_{d^{\prime \prime }{\mathcal{E}}_L(X)}=0$, 所以由表示定理, 存在唯一的 $S\in H^0(X,K\otimes L^{\ast })$ 使得$$l([\phi ])=F(\phi )=⟨S,\phi ⟩=⟨S,[\phi ]⟩,\forall \phi \in {\mathcal{E}}_L^{(0,1)}(X).$$再利用同构 $D$, 知 ${\Delta }_L$ 是满的.

$\square$

推论 1.60 (Serre 对偶定理). $$H^0(X,{\Omega }_{-D})\cong H^1(X,{\mathcal{O}}_D{)}^{\ast }.$$$$H^0(X,{\mathcal{O}}_{-D})\cong H^1(X,{\Omega }_D{)}^{\ast }.$$

证明. 第一个是因为$${\Omega }_{-D}\cong {\mathcal{O}}_{K\otimes L_D^{\ast }},$$$${\mathcal{O}}_D\cong {\mathcal{O}}_{L_D}.$$第二个是$$H^0(X,{\mathcal{O}}_{-D})\cong H^0(X,{\Omega }_{-K-D})\cong H^1(X,{\mathcal{O}}_{K+D})\cong H^1(X,{\Omega }_D).$$$\square$

调和微分形式

定义 1.61. $X$ 是 Riemann 面, $\omega \in {\mathcal{E}}^1(X)$, 局部地, $\omega =fdz+gd\bar{z}$. 定义 $\overline{\omega }:=\bar{f}d\bar{z}+\bar{g}dz\in {\mathcal{E}}^1(X)$.

若 $\omega =\overline{\omega }$, 则称 $\omega$ 为实的. 令 $\mathrm{Re}\omega :=\frac{1}{2}(\omega +\overline{\omega })$, 则 $\omega$ 为实的等价于 $\omega =\mathrm{Re}\omega$.

$\overline{\Omega }(X)=\{\overline{\omega }:\omega \in \Omega (X)\}$. $\forall \omega \in {\mathcal{E}}^1(X)$, 存在唯一分解 $\omega ={\omega }_1+{\omega }_2$, 其中 ${\omega }_1\in {\mathcal{E}}^{(1,0)}(X)$, ${\omega }_2\in {\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)$.

定义 1.62. 定义 Hodge $\ast$ 算子如下: $\ast \omega :=i(\overline{{\omega }_1}-\overline{{\omega }_2})$ (其为一个共轭线性算子) .

命题 1.63 (Hodge $\ast$ 算子的若干性质).

1.$\ast \ast \omega =-\omega$, $\overline{\ast \omega }=\ast \overline{\omega }$.

2. $d\ast \omega =id(\overline{{\omega }_1}-\overline{{\omega }_2})=i{d}^{\prime }\overline{{\omega }_1}-i{d}^{\prime \prime }\overline{{\omega }_2}$.

3. $\ast d^{\prime }f=i\overline{d^{\prime }}=i{d}^{\prime \prime }\bar{f}$, $\ast d^{\prime \prime }f=-i{d}^{\prime }\bar{f}$.

4. $d\ast df=2i{d}^{\prime }{d}^{\prime \prime }\bar{f}$.

定义 1.64. 称 $\omega \in {\mathcal{E}}^1(X)$ 为调和的, 若$$d\omega =0=d\ast \omega .$$记 ${\mathcal{H}}^1(X)$ 是 $X$ 上的调和 $1$-形式全体.

定理 1.65. 下列命题等价 (TFAE):

1. $\omega \in {\mathcal{H}}^1(X)$.

2. $d^{\prime }\omega =0=d^{\prime \prime }\omega$.

3. $\omega ={\omega }_1+{\omega }_2\in \Omega (X)+\overline{\Omega }(X)$.

4. $\forall a\in X$, 存在坐标邻域 $U\ni a$ 以及 $f\in \mathcal{H}(U)$ 使得 $\omega =df$.

证明. $$0=d\omega =d{\omega }_1+d{\omega }_2=d^{\prime \prime }{\omega }_1+d^{\prime }{\omega }_2$$$$0=d\ast \omega =id(\overline{{\omega }_1}-\overline{{\omega }_2})=i(d^{\prime }\overline{{\omega }_1}-d^{\prime \prime }\overline{{\omega }_2})$$等价于 $0=d^{\prime \prime }{\omega }_1-d^{\prime }{\omega }_2$. 故 $\omega \in {\mathcal{H}}^1(X)$ 等价于 $d^{\prime \prime }{\omega }_1=0=d^{\prime }{\omega }_2$. 容易验证 1, 2, 3 等价.

3 推 4: 设 ${\omega }_1=h_{1}dz$, $\overline{{\omega }_2}=h_{2}dz$, $h_1,h_2\in \mathcal{O}$. 令$$f(z):={\int }_0^z{h}_{1}dz+{\int }_0^{\overline{z}}\overline{h_{2}dz}\in \mathcal{H}(X),$$则 $df=h_{1}dz+\overline{h_{2}dz}=\omega$.

4 推 1: 设 $\omega =df$, $d\omega =d^{2}f=0$. $d\ast \omega =d\ast df=2i{d}^{\prime }{d}^{\prime \prime }\overline{f}=0$ 推出 $\omega \in {\mathcal{H}}^1(X)$.

$\square$

定理 1.66. 设 $\sigma \in {\mathcal{H}}^1(X)$ 且是实的, 则存在唯一的 $\omega \in \Omega (X)$ 使得 $\sigma =\mathrm{Re}\omega$.

证明. 存在性: 设 $\sigma ={\omega }_1+\overline{{\omega }_2}$, ${\omega }_1,{\omega }_2\in \Omega (X)$. ${\omega }_1+\overline{{\omega }_2}=\sigma =\overline{\sigma }=\overline{{\omega }_1}+{\omega }_2$. 推出 ${\omega }_1-{\omega }_2=\overline{{\omega }_1-{\omega }_2}$, 故 ${\omega }_1={\omega }_2$, 因此 $\sigma =\omega +\overline{\omega }=2\mathrm{Re}\omega$.

唯一性: 设 $\omega \in \Omega (X)$ 使得 $\mathrm{Re}\omega =0$. 局部地, $\omega =df$, $f\in \mathcal{O}$. $$0=\mathrm{Re}\omega =\mathrm{Re}df=d\mathrm{Re}f$$推出 $\mathrm{Re}f$ 局部为常数, 进而 $f$ 局部为常数, 进而 $df=0$, 则 $\omega =0$.

$\square$

定义 1.67. 设 $X$ 是紧 Riemann 面 (本节下述命题均有此假设) , ${\omega }_1,{\omega }_2\in {\mathcal{E}}^1(X)$, 令 $⟨{\omega }_1,{\omega }_2⟩:={\int }_X{\omega }_1\wedge \ast {\omega }_2$.

局部地, 设 ${\omega }_1=f_{1}dz+g_{1}d\overline{z}$, ${\omega }_2=f_{2}dz+g_{2}d\overline{z}$, $$\begin{array}{rl}{\omega }_1\wedge \ast {\omega }_2& =(f_{1}dz+g_{1}d\overline{z})\wedge i(\overline{f_2}d\overline{z}-\overline{g_2}dz)\\ & =i(f_1\overline{f_2}+g_1\overline{g_2})dz\wedge d\overline{z}\end{array}$$故 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 是 ${\mathcal{E}}^1(X)$ 上的一个内积.

引理 1.68. 1. $d^{\prime }\mathcal{E}(X),d^{\prime \prime }\mathcal{E}(X),\Omega (X),\overline{\Omega }(X)$ 相互正交.

2. $d\mathcal{E}(X)$ 与 $\ast d\mathcal{E}(X)$ 正交, 且 $d\mathcal{E}(X)\oplus \ast d\mathcal{E}(X)=d^{\prime }\mathcal{E}(X)\oplus d^{\prime \prime }\mathcal{E}(X)$.

引理的证明. 第一条引理: ${\mathcal{E}}^{(1,0}(X)\perp {\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)$ 显然, 故 ${\mathcal{E}}^1(X)={\mathcal{E}}^{(1,0)}(X)\oplus {\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)$. 故只需证 $d^{\prime }\mathcal{E}(X)\perp \Omega (X)$, $d^{\prime \prime }\mathcal{E}(X)\perp \overline{\Omega }(X)$.

设 $f\in \mathcal{E}(X)$, $\omega \in \Omega (X)$ $$\omega \wedge \ast d^{\prime }f=\omega \wedge i{d}^{\prime \prime }\overline{f}=-i{d}^{\prime \prime }(\overline{f}\omega )=-id(\overline{f}\omega )$$推出$$⟨\omega ,d^{\prime }f⟩={\int }_X\omega \wedge \ast d^{\prime }f=-i{\int }_{X}d(\overline{f}\omega )=0$$故 $\omega \perp d^{\prime }f$.

第二条引理: 设 $f,g\in \mathcal{E}(X)$, 则 $df\wedge \ast \ast dg=-df\wedge dg=-d(fdg)$, 推出 $⟨df,\ast dg⟩=-{\int }_{X}d(fdg)=0$, 进而 $d\mathcal{E}(X)\perp \ast d\mathcal{E}(X)$.

又因为 $d^{\prime }\mathcal{E}(X)\oplus d^{\prime \prime }\mathcal{E}(X)\supset d\mathcal{E}(X)$, $\ast d\mathcal{E}(X)\subset d^{\prime }\mathcal{E}(X)\oplus d^{\prime \prime }\mathcal{E}(X)$(性质 3). 所以 LHS 包含于 RHS. RHS 包含于 LHS 由性质 3 易得.

$\square$

推论 1.69. ${\mathcal{H}}^1(X)=\Omega (X)\oplus \overline{\Omega }(X)$, 进而 $\dim {\mathcal{H}}^1(X)=2\dim \Omega (X)=2g$.

推论 1.70. $\sigma \in {\mathcal{H}}^1(X)$ 且正合, 则 $\sigma =0$. ($\sigma \in {\mathcal{H}}^1(X)\cap d\mathcal{E}(X)$)

推论 1.71. $f\in \mathcal{H}(X)$, 则 $f$ 恒为常数.(考虑 $\sigma =df$)

定理 1.72. ${\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)=d^{\prime \prime }\mathcal{E}(X)\oplus \overline{\Omega }(X)$.

证明. 由 Dolbeault 定理, ${\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)/d^{\prime \prime }\mathcal{E}(X)\cong H^1(X,\mathcal{O})$, 则 $\dim {\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)/d^{\prime \prime }\mathcal{E}(X)=g$.

显然 ${\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)\supset d^{\prime \prime }\mathcal{E}(X)\oplus \overline{\omega }(X)$, 则 ${\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)/d^{\prime \prime }\mathcal{E}(X)\supset \overline{\Omega }(X)$.

因为 $\dim \overline{\Omega }=g$, 所以 ${\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)/d^{\prime \prime }\mathcal{E}(X)=\overline{\Omega }(X)$.

$\square$

定理 1.73 (Hodge 正交分解定理). $${\mathcal{E}}^1(X)=d\mathcal{E}(X)\oplus \ast d\mathcal{E}(X)\oplus {\mathcal{H}}^1(X).$$

证明. 由上述定理, ${\mathcal{E}}^{(1,0)}=d^{\prime }\mathcal{E}(X)\oplus \Omega (X)$, 推出$$\begin{array}{rl}{\mathcal{E}}^1(X)& ={\mathcal{E}}^{(1,0)}(X)\oplus {\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)\\ & =d^{\prime }\mathcal{E}(X)\oplus d^{\prime \prime }\mathcal{E}(X)\oplus \Omega (X)\oplus \overline{\Omega }(X)\\ & =d\mathcal{E}(X)\oplus \ast d\mathcal{E}(X)\oplus {\mathcal{H}}^1(X).\end{array}$$

$\square$

推论 1.74. $\sigma \in {\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)$, 方程 $d^{\prime \prime }f=\sigma$ 可解等价于$${\int }_X\sigma \wedge \omega =0,\forall \omega \in \Omega (X).$$

证明. 左推右: $${\int }_X\sigma \wedge \omega ={\int }_X{d}^{\prime \prime }f\wedge \omega ={\int }_X{d}^{\prime \prime }(f\omega )={\int }_{X}d(f\omega )=0.$$右推左: $$⟨\sigma ,\overline{\omega }⟩={\int }_X\sigma \wedge (-i\omega )=-i{\int }_X\sigma \wedge \omega =0$$推出 $\sigma \perp \overline{\Omega }(X)$, 由定理 2.4.3 知 $\sigma \in d^{\prime \prime }\mathcal{E}(X)$.

$\square$

定理 1.75. $$\mathrm{Ker}\left(d:{\mathcal{E}}^1(X)\to {\mathcal{E}}^2(X)\right)=d\mathcal{E}(X)\oplus {\mathcal{H}}^1(X).$$

证明. 记 LHS 为 $\mathcal{L}$, LHS 包含 RHS 是显然的, 对于另一方向, 由 Hodge 正交分解, 只需证 $\mathcal{L}\perp \ast d\mathcal{E}(X)$ 即可.

设 $\omega \in \mathcal{L}$, $f\in \mathcal{E}(X)$, $$\omega \wedge \ast \ast df=-\omega \wedge df=d(f\omega )$$推出 $⟨\omega ,\ast df⟩={\int }_{X}d(f\omega )=0$.

$\square$

推论 1.76. $\sigma \in {\mathcal{E}}^1(X)$ 正合 (即 $df=\sigma$ 可解) 等价于$${\int }_X\sigma \wedge \omega =0,\forall \text{ 闭 }\omega \in {\mathcal{E}}^1(X).$$

证明. 左推右是 Stokes 公式, 右推左: $$⟨\omega ,\ast \sigma ⟩={\int }_X\omega \wedge \ast \ast \sigma =-{\int }_X\omega \wedge \sigma =0$$对于任意闭的 $\omega \in {\mathcal{E}}^1(X)$. 推出 $\ast \sigma \perp \mathcal{L}$, 则由 Hodge 分解, $\ast \sigma \in \ast d\mathcal{E}(X)$, 进而 $\sigma \in d\mathcal{E}(X)$.

$\square$

定理 1.77 (Hodge-de Rham). $$H^1(X,\mathbb{C})\cong R{h}^1(X)\cong {\mathcal{H}}^1(X),$$其中第一个同构是 de Rham 同构, 第二处同构是上一条定理.

定义 1.78. 称 $b_1:=\dim H^1(X,\mathbb{C})$ 为 $X$ 的第一 Betti 数, 其为一个拓扑不变量.

注 1.79. 由 Hodge-de Rham 定理, $b_1=2g$, 故 $g$ 也是拓扑不变量.

注 1.80. 由可定向紧曲面的拓扑分类, $X$ 同胚于球面加上 $g$ 个柄.

Mittag–Leffler 问题

定理 1.81 (Mittag–Leffler 定理). 给定 $\mathbb{C}$ 中一个离散点列上的一列主部, 存在 $f\in \mathcal{M}(\mathbb{C})$ 使得 $f$ 在这些点上的主部恰好为给定主部.

问: 在 Riemann 面上是否有类似现象?

定义 1.82. $X$ 是 Riemann 面, $\mathcal{U}=\{U_i{\}}_{i\in I}$ 为 $X$ 的开覆盖. 称 $\mu =(f_i)\in C^0(\mathcal{U},\mathcal{M})$ 为一个 Mittag–Leffler 分布, 若 $f_i-f_j\in \mathcal{O}(U_i\cap U_j),\forall i,j$, 即 $\delta \mu \in Z^1(\mathcal{U},\mathcal{O})$.

相应于 $\mu$ 的一个解指的是一个 $f\in \mathcal{M}(X)$ 使得 $f-f_i\in \mathcal{O}(U_i),\forall i$.

注 1.83. 则 Mittag–Leffler 定理等价于 $\mathbb{C}$ 上的任何 Mittag–Leffler 分布存在解.

定理 1.84. M-L 分布 $\mu$ 存在解等价于 $[\delta \mu ]=0$ 于 $H^1(\mathcal{U},\mathcal{O})$.

证明. 左推右: 设 $f$ 为 $\mu =(f_i)$ 的解, 则 $g_i:=f_i-f\in \mathcal{O}(U_i)$, $$\delta \mu =(f_i-f_j)=(g_i-g_j)\in B^1(\mathcal{U},\mathcal{O}).$$右推左: $[\delta \mu ]=0$, 推出存在 $g_i\in \mathcal{O}(U_i)$ 使得 $\delta \mu =(g_i-g_j)$, 则 $f_i-f_j=g_i-g_j$, 即 $f_i-g_i=f_j-g_j$, 做 $f{|}_{U_i}:=f_i-g_i\in \mathcal{M}(X)$, 其为 $\mu$ 的解.

$\square$

注 1.85. 设 $X$ 是紧 Riemann 面, 则 $H^1(X,\mathcal{M})=0$. 对于任意 $\xi \in H^1(X,\mathcal{O})$, 则 $\xi =[(f_{ij})],(f_{ij})\in Z^1(\mathcal{U},\mathcal{O})\subset Z^1(\mathcal{U},\mathcal{M})$, 故存在 $f_i\in \mathcal{M}(U_i)$, 使得 $f_{ij}=f_i-f_j$. 故 $\mu =(f_i)$ 为一个 M-L 分布, 且 $\xi =[\delta \mu ]$.

当 $g\ge 1$ 时, 存在 $\xi \in H^1(X,\mathcal{O})$ 非 $0$, 其对应的 M-L 分布 $\mu$ 不存在解.

定义 1.86. 称 $\mu =({\omega }_i{)}_{i\in I}\in C^0(\mathcal{U},{\mathcal{M}}^1)$ 为一个 M-L 分布, 若 ${\omega }_i-{\omega }_j\in \Omega (U_i\cap U_j),\forall i,j$.

对于 $a\in X$, 定义 $\mu$ 在 $a$ 处的留数为 ${\mathrm{Res}}_a\mu :={\mathrm{Res}}_a{\omega }_i$, 若 $a\in U_i$. (验证定义良好) 若 $X$ 是紧 Riemann 面, 则定义 $\mathrm{Res}\mu =\sum _{a\in X}{\mathrm{Res}}_a\mu$. (本质是有限和)

定理 1.87. $X$ 是紧 Riemann 面, M-L 分布 $\mu =(f_i)$ 存在解等价于$$\mathrm{Res}\mu \omega =0,\forall \omega \in \Omega (X).$$

证明. 左推右: 设 $f$ 为 $\mu$ 的解, 则 $f-f_i\in \mathcal{O}(U_i)$, 则 $\forall x\in U_i$, ${\mathrm{Res}}_{x}f\cdot \omega ={\mathrm{Res}}_x{f}_i\cdot \omega ,\forall i$. 另一方面, 因为 $f\cdot \omega \in {\mathcal{M}}^1(X)$, 由留数定理, $\mathrm{Res}f\cdot \omega =0$.

右推左: 因为 $\delta \mu \in Z^1(\mathcal{U},\mathcal{O})\subset Z^1(\mathcal{U},\mathcal{E})$, 而 $H^1(\mathcal{U},\mathcal{E})=0$, 故存在 $({\sigma }_i)\in C^0(\mathcal{U},\mathcal{E})$ 使得 $\mathcal{O}(U_i\cap U_j)\ni f_i-f_j={\sigma }_i-{\sigma }_j$ 于 $U_i\cap U_j$. 故 $d^{\prime \prime }{\sigma }_i=d^{\prime \prime }{\sigma }_j$ 于 $U_i\cap U_j$, 则 $\alpha {|}_{U_i}:=d^{\prime \prime }{\sigma }_i\in {\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)$. 我们假设有$${\int }_X\alpha \wedge \omega =0,\forall \omega \in \Omega (X),$$则存在 $u\in \mathcal{E}(X)$ 使得 $d^{\prime \prime }u=\alpha$.

令 $g_i={\sigma }_i-u$, 则 $d^{\prime \prime }{g}_i=0$, 故 $g_i\in \mathcal{O}(U_i)$, 且 $\delta \mu =(f_i-f_j)=({\sigma }_i-{\sigma }_j)=(g_i-g_j)$, 则 $[\delta \mu ]=0$, 故 $\mu$ 存在解.

我们再说明方程 (2.5.1) 成立. 令 $\beta {|}_{U_i}:=f_i-{\sigma }_i\in \mathcal{E}(X^1)$, $X^{\prime }=X\backslash \{a_1,\cdots ,a_n\}$, 其中 $a_j$ 是 $\mu$ 的极点. 则 $d^{\prime \prime }\beta =d^{\prime \prime }{f}_i-d^{\prime \prime }{\sigma }_i=-\alpha$ 于 $X^{\prime }$. $$\begin{array}{rl}{\int }_X\alpha \wedge \omega & =-\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{X\backslash \bigcup _j\{|z_j|\le \epsilon \}}{d}^{\prime \prime }\beta \wedge \omega \\ & =-\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{X\backslash \bigcup _j\{|z_j|\le \epsilon \}}d(\beta \wedge \omega )\\ & =\sum _{j=1}^n\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{\{|z_j|=\epsilon \}}\beta \wedge \omega \\ & =\sum _{j=1}^n\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{\{|z_j|=\epsilon \}}{f}_j\wedge \omega -{\sigma }_j\wedge \omega \\ & =2\pi i\mathrm{Res}\mu \cdot \omega =0.\end{array}$$

$\square$

一些应用.

$g=1$ 的情形. $\Gamma :=\mathbb{Z}{\gamma }_1+\mathbb{Z}{\gamma }_2$ 为一个格. $P:=\{t_1{\gamma }_1+t_2{\gamma }_2:t_1,t_2\in [0,1)\}.$

命题 1.88. 给定 $a_1,\cdots ,a_n\in P$ 以及主部 $\sum _{\nu =-r_j}^{-1}{C}_{\nu }^j(z-a_j{)}^{\nu }$, $1\le j\le n$.

存在 $\Gamma$ 双周期亚纯函数, 使得其在 $a_j$ 处有上述给定主部, 等价于$$\sum _{j=1}^n{C}_{-1}^j=0.$$

证明. 设 $X=\mathbb{C}/\Gamma$. 记 $\omega$ 为由 $dz$ 诱导的 $X$ 上的全纯 $1$-形式, 则 $\Omega (X)=\mathbb{C}\cdot \omega$. 设 $\mu$ 为相应的 M-L 分布. 则 $\mu$ 存在解等价于 $\mathrm{Res}\mu \cdot \omega =0$ (这里用到了 $\omega$ 构成基) , 即等价于 $\sum _{j=1}^n{C}_{-1}^j=0$.

$\square$

$g\ge 2$ 的情形.

定义 1.89. $U\subset \mathbb{C}$ 为区域, $f_1,\cdots ,f_g\in \mathcal{O}(U)$, 称$$W(f_1,\cdots ,f_g):=\det \left(\begin{array}{cccc}{f}_1& f_2& \cdots & f_g\\ f_1^{\prime }& f_2^{\prime }& \cdots & f_g^{\prime }\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_1^{(g-1)}& f_2^{(g-1)}& \cdots & f_g^{(g-1)}\end{array}\right)$$为 Wronski 行列式.

引理 1.90. $f_1,\cdots ,f_g$ 线性无关等价于 $W(f_1,\cdots ,f_g)$ 不恒等于 $0$.

引理的证明. 右推左: 假设 $f_1,\cdots ,f_g$ 线性相关, 即存在不全为 $0$ 的 $c_1,\cdots ,c_g\in \mathbb{C}$ 使得$$c_1{f}_1+\cdots +c_g{f}_g=0.$$不妨设 $c_g\ne 0$, 则 $f_g=-\sum _{j=1}^{g-1}\frac{c_j}{c_g}{f}_j$, 则 $W(f_1,\cdots ,f_g)\equiv 0$, 矛盾.

左推右: 首先证明, 若 $h_j=\phi \cdot f_j,\phi \in \mathcal{O}(U)$, 则 $W(h_1,\cdots ,h_g)={\phi }^g\cdot W(f_1,\cdots ,f_j)$. 由 Leibniz 法则, $H_k^{(\nu )}=\phi \cdot f_k^{(\nu )}+\sum _{\mu <\nu }{C}_{\nu }^{\mu }{\phi }^{(\nu -\mu )}{f}_k^{(\mu )}$, 则$$W(h_1,\cdots ,h_g)=\det (\phi f_k^{(j)})={\phi }^{g}W(f_1,\cdots ,f_g).$$回到原题, 用数学归纳法, $g=1$ 时显然, 现假设 $g-1$ 情形已证明, 若 $f_g^{-g}W(f_1,\cdots ,f_g)=0$, 且不妨设 $f_g$ 不恒等于 $0$. 令 $V:=U\backslash f_g^{-1}(0)$, 在 $V$ 上$$W(\frac{f_1}{f_g},\cdots ,\frac{f_{g-1}}{f_g},1)=f_g^{-g}W(f_1,\cdots ,f_g)=0.$$记 $h_k:=\frac{f_k}{f_g}$, 有$$W(\frac{f_1}{f_g},\cdots ,\frac{f_{g-1}}{f_g},1)=W(h_1,\cdots ,h_{g-1},1)=\pm W(h_1^{\prime },\cdots ,h_{g-1}^{\prime })$$由归纳假设, 存在不全为 $0$ 的复数 $c_1,\cdots ,c_{g-1}$ 使得 $\sum _{j=1}^{g-1}{c}_j{h}_j^{\prime }=0$, 则 $\sum _{j=1}^{g-1}{c}_j{h}_j$ 时常数, 故 $h_1,\cdots ,h_{g-1},1$ 线性相关, 即 $f_1,\cdots ,f_g$ 在 $V$ 上线性相关. 又 $V\subset U$ 稠密, 所以 $f_1,\cdots ,f_g$ 再 $U$ 上线性相关, 矛盾.

$\square$

定义 1.91. $X$ 是紧 Riemann 面, 亏格恰为 $g$, 设 ${\omega }_1,\cdots ,{\omega }_g$ 为 $\Omega (X)$ 的一组基. 局部地, ${\omega }_k=f_{k}dz$, 定义 $W_z({\omega }_1,\cdots ,{\omega }_g):=W(f_1,\cdots ,f_g)$.

定理 1.92. 设 $(U,z)$ 和 $(V,\bar{z})$ 为 $X$ 上的两个坐标邻域, 且 $U\cap V$ 非空. 则在 $U\cap V$ 上成立$$W_z({\omega }_1,\cdots ,{\omega }_g)=(\frac{d\bar{z}}{dz}{)}^N{W}_{\bar{z}}({\omega }_1,\cdots ,{\omega }_g),$$其中 $N=\frac{g(g+1)}{2}$.

注 1.93. $\sigma {|}_U:=W_z({\omega }_1,\cdots ,{\omega }_g)d{z}^{\otimes N}\in \Gamma (X,K^{\otimes N})$.

定义 1.94. 设 $g\ge 2$, 称 $p\in X$ 为一个 Weierstrass 点, 若存在基 ${\omega }_1,\cdots ,{\omega }_g\in \Omega (X)$ 以及坐标 $(U,z)$ 使得 $W_z({\omega }_1,\cdots ,{\omega }_g){|}_p=0$. 上述定理保证此定义不依赖于坐标选取, 还需验证定义与 $\Omega (X)$ 的正交基的选取无关

$({\omega }_1,\cdots ,{\omega }_g)=(\overline{{\omega }_1},\cdots ,\overline{{\omega }_g})\cdot C$, 则 $W_z({\omega }_1,\cdots ,{\omega }_g)=|C|W_z(\overline{{\omega }_1},\cdots ,\overline{{\omega }_g})$ (练习) .

定理 1.95. 设 $p\in X$, 存在 $f\in \mathcal{M}(X)\cap \mathcal{O}(X\backslash \{p\})$ 使得其在 $p$ 处有阶小于等于 $g$ 的极点, 等价于, $p$ 是一个 Weierstrass 点.

证明. 取 ${\omega }_1,\cdots ,{\omega }_g\in \Omega (X)$ 的一组基. 取坐标 $(U,z)$ 使得 $z(p)=0$. 记 ${\omega }_k=\sum _{\gamma =0}^{\infty }{a}_{k\gamma }{z}^{\gamma }dz$ 于 $U$. 则存在 $f\in \mathcal{M}(X)\cap \mathcal{O}(X\backslash \{p\})$, 其在 $p$ 处主部为 $h=\sum _{\gamma =0}^{q-1}{c}_{\gamma }/z^{\gamma +1}$, $c_0,\cdots ,c_{q-1}$ 不全为 $0$, 等价于其是下面 M-L 分布的一个解: $\mu =(h,0)\in C^0(\mathcal{U},\mathcal{M})$, $\mathcal{U}=\{U,X\backslash \{p\}\}$. $$\mathrm{Res}({\omega }_k\mu )={\mathrm{Res}}_p({\omega }_k\cdot h)=\sum _{\gamma =0}^{g-1}{a}_{k\gamma }\cdot c_{\gamma }$$推出 $\{\begin{array}{l}\mathrm{Res}({\omega }_k\mu )=0\\ q\le k\le g\end{array}$ 有非平凡解 $(c_0,\cdots ,c_{g-1})$ 等价于 $\det (a_{k\gamma }{)}_{1\le k\le g,0\le \gamma \le g-1}=0$, 即 $W_z({\omega }_1,\cdots ,{\omega }_g){|}_p=0$, $p$ 为一个 Weierstrass 点.

$\square$

定理 1.96. Weierstrass 点的个数为 $(g-1)g(g+1)$, 记重数在内.

证明. 设 $(U_i,z_i)$, $i\in I$ 为 $X$ 的一个坐标邻域覆盖, 记 ${\psi }_{ij}:=d{z}_j/d{z}_i$ 于 $U_i\cap U_j$. 设 ${\omega }_1,\cdots ,{\omega }_g\in \Omega (X)$ 为一组基. 令 $W_i=W_{z_i}({\omega }_1,\cdots ,{\omega }_g)\in \mathcal{O}(U_i)$.

定义 $D\in \mathrm{Div}(X)$: $D(x):={\mathrm{ord}}_x{W}_i$ 若 $x\in U_i$. 只须证明 $\mathrm{deg}D=(g-1)g(g+1)$.

设 $D_1=({\omega }_1)$, 则 $\mathrm{deg}{D}_1=2g-2$. 设 ${\omega }_1=f_{1i}d{z}_i$ 于 $U_i$, 则 $D_1(x)={\mathrm{ord}}_x{f}_{1i}$, 若 $x\in U_i$. 注意到 $f_{1i}={\psi }_{ij}{f}_{1j}$ 于 $U_i\cap U_j$, 则 ${\psi }_{ij}=f_{1i}/f_{1j}$.

因为 $W_i={\psi }_{ij}^N{W}_j$, 所以 $W_i\cdot f_{1i}^{-N}=W_j\cdot f_{1j}^{-N}$ 于 $U_i\cap U_j$. 进而 $f{|}_{U_i}:=W_i\cdot f_{1i}^{-N}\in \mathcal{M}(X)$. 则 $0=\mathrm{deg}(f)=\mathrm{deg}D-N\cdot \mathrm{deg}{D}_1$, $$\mathrm{deg}D=N\cdot \mathrm{deg}{D}_1=(g-1)g(g+1).$$$\square$

推论 1.97. $g\ge 2$ 时, Weierstrass 点存在, 更加地, 存在分歧全纯覆盖 $f:X\to {\mathbb{P}}^1$ 使得叶数不超过 $g$.

特别地, 若 $g=2$, 则全纯覆盖的叶数只能为 $2$, 进而 $X$ 为超椭圆.

定义 1.98. $X$ 是紧 Riemann 面, 定义 $X$ 的阶为$$\mathrm{deg}X:=\min \{n:\text{存在 }n\text{ 叶全纯覆盖}f:X\to {\mathbb{P}}^1\}.$$由推论, $\mathrm{deg}X\le g$.

Abel 定理

定理 1.99 (Weierstrass). 设 $\{a_n\}\subset \mathbb{C}$ 离散, $\{m_n\}\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$, 则存在 $f\in \mathcal{M}(\mathbb{C})$ 使得 $f\in \mathcal{O}\backslash \{a_1,\cdots ,a_n,\cdots \}$ 且 ${\mathrm{ord}}_{a_n}f=m_n$.

问: 在 Riemann 面上是否有类似现象?

定义 1.100. $X$ 是 Riemann 面, $D\in \mathrm{Div}(X)$. 称 $f$ 为 $D$ 的一个解, 若 $f\in \mathcal{M}(X)$ 使得 $(f)=D$ (即 $D$ 是一个主除子) .

注 1.101. 则 Weierstrass 定理等价于, 任意 $D\in \mathrm{Div}(X)$ 存在一个解.

若 $X$ 是紧 Riemann 面, 则 $D\in \mathrm{Div}(X)$ 存在解可推出 $\mathrm{deg}D=0$.

记 $X_D=\{x\in X:D(x)\ge 0\}$, 则 $X\backslash X_D$ 离散.

定义 1.102. $D$ 的一个弱解指一个 $f\in \mathcal{E}(X_D)$ 使得 $\forall a\in X$, 存在坐标 $(U,z)$ 使得 $z(a)=0$ 及 $\psi \in \mathcal{E}(U)$, $\psi (a)\ne 0$, 使得 $f=z^k\cdot \psi$ 于 $X_D\cap U$, $k=D(a)$.

弱解 $f$ 为一个解, 等价于 $f\in \mathcal{O}(X_D)$.

命题 1.103. 若 $f_1,f_2$ 为 $D_1,D_2$ 的弱解, 则 $f_1\cdot f_2$ 是 $D_1+D_2$ 的弱解, $f_1/f_2$ 是 $D_1-D_2$ 的弱解.

命题 1.104. 设 $f$ 为 $D$ 的一个弱解, 则 $\frac{df}{f}\in {\mathcal{E}}^1(X\backslash \mathrm{Supp}D)$.

定义 1.105. 对 $a\in \mathrm{Supp}D$, $k=D(a)$, 则 $f=z^k\cdot \psi$, $\psi (a)\ne 0$. $\frac{df}{f}=k\frac{dz}{z}+\frac{d\psi }{\psi }$. 则可定义 ${\int }_X\frac{df}{f}\wedge \sigma$, $\sigma \in {\mathcal{E}}^1(X)$ 具紧支集.

注意 $\frac{d^{\prime \prime }f}{f}=\frac{d^{\prime \prime }\psi }{\psi }$, 则 $\frac{d^{\prime \prime }f}{f}\in {\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)$.

引理 1.106. 设 $a_1,\cdots ,a_n\in X$, $k_1\cdots ,k_n\in \mathbb{Z}$, 设 $D=\sum _{j=1}^n{k}_j\cdot a_j\in \mathrm{Div}(X)$. 若 $f$ 为 $D$ 的一个弱解, 则 $\forall g\in \mathcal{E}(X)$ 具紧支集, 有$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_X\frac{df}{f}\wedge dg=\sum _{j=1}^n{k}_{j}g(a_j).$$

引理的证明. 取坐标 $(U_j,z_j)$ 使得 $z_j(a_j)=0$, 且在 $U_j$ 上 $f=z_j^{k_j}\cdot {\psi }_j$, ${\psi }_j\in \mathcal{E}(U_j)$, ${\psi }_j(a_j)\ne 0$. $$\begin{array}{rl}{\int }_X\frac{df}{f}\wedge dg& =-\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{X\backslash \bigcup _j\{|z_j|\le \epsilon \}}d(g\cdot \frac{df}{f})\\ & =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\sum _j{\int }_{|z_j|=\epsilon }g\cdot \frac{df}{f}\\ & =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\sum _j{\int }_{|z_j|=\epsilon }(g{k}_j\cdot \frac{d{z}_j}{z_j}+g\cdot \frac{d{\psi }_j}{{\psi }_j}\\ & =2\pi i\sum _j{k}_{j}g(a_j).\end{array}$$

$\square$

定义 1.107. $X$ 上一个 $1$-链指 $C=\sum _{j=1}^k{n}_j{c}_j$, $n_j\in \mathbb{Z}$, $c_j:[0,1]\to X$ 为分段光滑曲线. 记 $C_1(X)$ 为 $X$ 上 $1$-链全体.

若 $\omega \in {\mathcal{E}}^1(X)$, 则定义 ${\int }_C\omega :=\sum _{j=1}^k{n}_j{\int }_{C_j}\omega$. 定义上边缘算子 $\partial :C_1(X)\to \mathrm{Div}(X)$ 如下:

设 $c:[0,1]\to X$ 为一条曲线, 若 $c(0)=c(1)$, 则 $\partial C:=0$, 否则定义$$\partial C(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x=c(1)\\ -1,& x=c(0)\\ 0,& \text{其余情形}\end{array}.$$一般地, 若 $c=\sum _{j=1}^k{n}_j{c}_j\in C_1(X)$, 则定义 $\partial c:=\sum _{j=1}^k{n}_j\partial c_j$.

若 $X$ 是紧 Riemann 面, $D\in \mathrm{Div}(X)$, $\mathrm{deg}D=0$, 则 $D=a_1+a_2+\cdots +a_n-b_1-\cdots -b_n$. 令 $c_j$ 为连接 $a_j,b_j$ 的一条曲线. 则定 $c=c_1+\cdots +c_k$, 则 $\partial c=D$.

定义 1.108. 称 $Z_1(X):=\mathrm{Ker}\left(C_1(X)\stackrel{\partial }{⟶}\mathrm{Div}(X)\right)$ 为 $X$ 上一个 $1$-循环群.

对于 $c,c^{\prime }\in Z_1(X)$, 定义 $c\sim c^{\prime }$ 等价于 ${\int }_c\omega ={\int }_{c^{\prime }}\omega$, 对于任意闭的 $\omega \in {\mathcal{E}}^1(X)$ 成立.

称 $H_1(X):=Z_1(X)/\sim$ 为 $X$ 的一阶下同调群.

定理 1.109 (Abel 定理). $X$ 是紧 Riemann 面, $D\in \mathrm{Div}(X)$, $\mathrm{deg}D=0$. 则 $D$ 有一个解等价于, 存在 $c\in C_1(X)$ 使得 $\partial c=D$ 且 ${\int }_c\omega =0$ 对于任意 $\omega \in \Omega (X)$ 成立.

证明. 右推左: Step 1, 寻找弱解; Step 2, 通过解 $d^{\prime \prime }$ 方程把弱解调整为强解.

$\square$

引理 1.110. $X$ 是 Riemann 面, $c$ 是 $X$ 上曲线, $U\supset c$ 为一个相对紧邻域, 则存在 $\partial c$ 的弱解 $f$, 使得 1. $f{|}_{X\backslash U}=1$, 2. ${\int }_c\omega =\frac{1}{2\pi i}{\int }_X\frac{df}{f}\wedge \omega$, 对于任意闭的 $\omega \in {\mathcal{E}}^1(X)$.

引理的证明. 首先设 $(U,z)$ 为一个坐标邻域, 使得 $z(U)$ 为单位圆盘, 且 $c\subset U$. 记 $a=c(0)$, $b=c(1)$, 取 $r<1$ 使得 $c\subset \overline{{\Delta }_r}$. 则 $\log \frac{z-b}{z-a}$ 在 $\{r<|z|<1\}$ 上可取单指支, 再取 $r<r^{\prime }<1$ 及 $\psi \in C_0^{\infty }({\Delta }_{r^{\prime }})$, $\psi {|}_{\overline{{\Delta }_r}}=1$. 定义$$f:=\{\begin{array}{ll}\exp (\psi \cdot \log \frac{z-b}{z-a}),& r<|z|<1\\ \frac{z-b}{z-a},& |z|\le r\\ 1,& X\backslash U\end{array}.$$则 $f$ 为 $\partial c$ 的一个弱解. 设 $\omega \in {\mathcal{E}}^1(X)$ 闭, 由 Poincaré 引理, 存在 $g\in \mathcal{E}(X)$ 使得 $\mathrm{Supp}g\subset X$ 且 $\omega =dg$ 于 $\overline{{\Delta }_{r^{\prime }}}$. (取 $r^{\prime }<r^{\prime \prime }<1$, 则 $h\in \mathcal{E}({\Delta }_{r^{\prime \prime }})$ 使得 $dh=\omega$ 于 ${\Delta }_{r^{\prime \prime }}$, 取 $\chi \in C_0^{\infty }({\Delta }_{r^{\prime \prime }})$ 使得 $\chi {|}_{\overline{\Delta {|}_{r^{\prime }}}}=1$, 取 $g=\chi \cdot h\in \mathcal{E}(X)$) .

$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_X\frac{df}{f}\wedge \omega =\frac{1}{2\pi i}{\int }_X\frac{df}{f}\wedge dg\stackrel{\text{引理2.6.1}}{=}g{|}_a^b={\int }_{c}dg={\int }_c\omega .$$一般地, 取划分 $0=t_0<t_1<t_2<\cdots <t_n=1$ 及坐标邻域 $(U_j,z_j)$, $1\le j\le n$ 使得

(i) $c_j:=c{|}_{[t_{j-1},t_j]}\subset U_j\subset U$.

(ii) $z_j(U_j)$ 为单位圆. 取 $\partial c_j$ 的弱解 $f_j$ 使得 $f_j{|}_{X\backslash U_j}=1$ 且 ${\int }_{c_j}\omega =\frac{1}{2\pi i}{\int }_X\frac{d{f}_j}{f_j}\wedge \omega$, 对于任意闭的 $\omega \in {\mathcal{E}}^1(X)$. 取 $f:=f_1\cdots f_n$, 则 $f$ 为 $\partial c$ 的一个弱解, 使得 $f{|}_{X\backslash U}=1$ 且$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_X\frac{df}{f}\wedge \omega =\sum _j\frac{1}{2\pi i}{\int }_X\frac{d{f}_j}{f_j}\wedge \omega =\sum _j{\int }_{c_j}\omega ={\int }_c\omega .$$$\square$

证明. 回到 Abel 定理, 右推左方向. 设 $c=\sum _{j=1}^k{n}_j{c}_j$, 由引理 2.6.2, 存在相应于 $\partial c_j$ 的弱解 $f_j$ 使得 $\frac{1}{2\pi i}{\int }_X\frac{d{f}_j}{f_j}\wedge \omega ={\int }_c\omega$, 对于任意闭的 $\omega \in {\mathcal{E}}^1(X)$.

令 $f:=f_1^{n_1}\cdots f_k^{n_k}$, 则 $f$ 为 $\partial c$ 的一个弱解, 且$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_X\frac{df}{f}\wedge \omega =\sum _j\frac{n_j}{2\pi i}{\int }_X\frac{d{f}_j}{f_j}\wedge \omega =\sum _j{n}_j{\int }_{c_j}\omega ={\int }_c\omega .$$对于 $\omega \in \Omega (X)$, 则$$0={\int }_c\omega =\frac{1}{2\pi i}{\int }_X\frac{df}{f}\wedge \omega =\frac{1}{2\pi i}{\int }_X\frac{d^{\prime \prime }f}{f}\wedge \omega .$$注意到 $\frac{d^{\prime \prime }f}{f}\in {\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)$, 由 Hodge 理论, 存在 $g\in \mathcal{E}(X)$ 使得 $d^{\prime \prime }g=\frac{d^{\prime \prime }f}{f}$.

令 $F:=e^{-g}\cdot f$, 则 $F$ 也为 $D=\partial c$ 的一个弱解, 且在 $X_D$ 上, $$d^{\prime \prime }F=-e^{-g}{d}^{\prime \prime }g\cdot f+e^{-g}\cdot d^{\prime \prime }f=0.$$进而 $F\in \mathcal{O}(X_D)$, 即 $F$ 是 $D$ 的一个解.

$\square$

注 1.111 (Oka 原理). $M$ 是复流形, 使得 $d^{\prime \prime }u=v$ 对任意 $v\in {\mathcal{E}}^{(0,1)}(X)$ 使得 $d^{\prime \prime }v=0$, 均可解.

那么一个问题, 在全纯框架下可解, 等价于其在拓扑框架下可解.

证明. Abel 定理的左推右方向. 设 $f$ 为 $D$ 的一个解, 其定义一个分歧覆盖 $X\to {\mathbb{P}}^1$. 记 $a_1,\cdots ,a_r$ 为分歧点全体, 记 $Y={\mathbb{P}}^1\backslash \{f(a_1),\cdots ,f(a_r)\}={\mathbb{P}}^1\backslash \{y_1,\cdots ,y_s\}$, $s\le r$.

对 $\omega \in \Omega (X)$, 定义 push-down $f_{\ast }\omega$ 如下:

$\forall y\in Y$, 存在邻域 $V\ni y$, 使得 $f^{-1}(V)=\bigcup _{k=1}^n{U}_k$, $U_k\subset X\backslash \{a_1,\cdots ,a_r\}$ 且 $f{|}_{U_k}:U_k\to V$ 是双全纯映射, 令 ${\phi }_k=(f{|}_{U_k}{)}^{-1}$. 定义$$f_{\ast }\omega {|}_V:=\sum _{k=1}^n{\phi }_k^{\ast }\omega ,$$其与 $V$ 的选取无关, 故 $f_{\ast }\omega \in \Omega (Y)$.

则有如下的可去奇性:

$f_{\ast }\omega$ 可全纯延拓至 ${\mathbb{P}}^1$ (*)

假设 (*) 成立, 则 $f_{\ast }\omega \in \Omega ({\mathbb{P}}^1)$, 进而 $f_{\ast }\omega =0$. 取曲线 $\gamma :[0,1]\to {\mathbb{P}}^1$, $\gamma (0)=\infty$, $\gamma (1)=0$, $\gamma {|}_{(0,1)}\subset Y$. 令 $f^{-1}(\gamma )=c_1+\cdots +c_n=:c\in C_1(X)$. 其中 $c_j$ 为 $X$ 中连接 $f$ 的极点与零点的曲线, 则 $\partial c=D$, 且 $\forall \omega \in \Omega (X)$, 有 ${\int }_c\omega =\sum _{k=1}^n{\int }_{\gamma }{f}_{\ast }\omega =0$.

不妨设 $f^{-1}(y_1)\cap \{a_1,\cdots ,a_r\}=\{a_1,\cdots ,a_{r^{\prime }}\}$, $r^{\prime }\le r$. 记 $n_j={\mathrm{ord}}_{a_j}f$, 不妨设 ${\phi }_1,\cdots ,{\phi }_{n_1}$ 由 $a_1$ 确定. 只需证明, ${\phi }_1^{\ast }\omega +\cdots +{\phi }_{n_1}^{\ast }\omega$ 可全纯沿拓至 $y_1$.

取 $a_1$ 处坐标 $(U,z)$, $y_1$ 处坐标 $(W,\zeta )$, 使得 $f$ 可表示为 $\zeta =z^{n_1}$. 若 $\omega =z^{m}dz$, $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

注意到 ${\phi }_1(\zeta ),\cdots ,{\phi }_{n_1}(\zeta )$ 为多项式 $h(z,\zeta ):=z^{n_1}-\zeta$ 的根. 当 $|\zeta |\ll 1$ 时, $|{\phi }_j(\zeta )|\ll 1$. 取 $0<\delta \ll \epsilon \ll 1$, 当 $|\zeta |<\delta$, 计算留数$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^{n_1}{\phi }_k(\zeta {)}^l& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z|=\epsilon }\frac{z^l\partial h(z,\zeta )/\partial z}{h(z,\zeta )}dz\\ & =\frac{n_1}{2\pi i}{\int }_{|z|=\epsilon }\frac{z^{l+n_1-1}}{z^{n_1}-\zeta }dz\\ & =\frac{n_1}{2\pi i}{\int }_{|z|=\epsilon }{z}^{l-1}\sum _{j=0}^{\infty }(\zeta /z^{n_1}{)}^{j}dz\in {\mathcal{O}}_0.\end{array}$$推出 $\sum _{k=1}^{n_1}{\phi }_k^{\ast }\omega =\sum _{k=1}^{n_1}{\phi }_k^{m}d{\phi }_k=\frac{1}{m}d(\sum _{k=1}^{n_1}{\phi }_k^{m+1})$, 可全纯沿拓过 $\zeta =0$, 即 $y_1$.

对于一般的 $\omega$, 总可写有 Taylor 展开 $\omega =\sum _{m=0}^{\infty }{a}_m{z}^{m}dz$, 即得.

$\square$

命题 1.112. $\Gamma =\mathbb{Z}{\gamma }_1+\mathbb{Z}{\gamma }_2\subset \mathbb{C}$ 为一个格, $P=\{t_1{\gamma }_1+t_2{\gamma }_2:t_1,t_2\in [0,1)\}$, $a_1,\cdots ,a_n,b_1,\cdots ,b_n\in P$.

存在 $\Gamma$-双周期函数以 $a_j$ 为零点, $b_j$ 为极点, 等价于 $\sum _{j=1}^n(a_j-b_j)\in \Gamma$.

证明. 记 $\pi :\mathbb{C}\to \mathbb{C}/\Gamma$ 是自然投影. 记 $D=\pi a_1+\cdots +\pi a_n-\pi b_1-\cdots -\pi b_n$, 则 $\mathrm{deg}D=0$. 记 $c_j=[a_j,b_j]$ 是连接 $a_j,b_j$ 的线段.

令 $c:=\pi c_1+\cdots +\pi c_n\in C_1(\mathbb{C}/\Gamma )$ 使得 $\partial C=D$. 设 $dz$ 诱导 $\omega \in \Omega (\mathbb{C}/\Gamma )$, 则 ${\int }_c\omega =\sum _k{\int }_{c_k}dz=\sum _k(b_k-a_k)$, 则 ${\int }_c\omega =0$ 等价于 $\sum _k(b_k-a_k)\in \Gamma$, 由 Abel 定理即证.

$\square$

命题 1.113. 设 ${\omega }_1,\cdots ,{\omega }_g$ 为 $\Omega (X)$ 的一组基, 记 $c_1,\cdots ,c_{2g}$ 为 $H_1(X)$ 的一组典范基. 作 ${\gamma }_j=\left({\int }_{c_j}{\omega }_1,\cdots ,{\int }_{c_j}{\omega }_g\right)\in {\mathbb{C}}^g$, $1\le j\le 2g$.

可以证明, $\Gamma :=\mathbb{Z}{\gamma }_1+\cdots +\mathbb{Z}{\gamma }_{2g}\subset {\mathbb{C}}^g\cong {\mathbb{R}}^{2g}$ 为一个格, 进而 $J(X):={\mathbb{C}}^g/\Gamma$ 为一个 $g$ 维环面, 称其为 $X$ 的 Abel 簇. 固定 $a\in X$, 定义映射 $j_x:X\to J(X)$, $x\mapsto [\left({\int }_a^x{\omega }_1,\cdots ,{\int }_a^x{\omega }_g\right)]$, 称为 Abel–Jacobi 映射.

当 $g\ge 1$ 时, $j_x$ 为一个全纯嵌入.

2非紧 Riemann 面

目标: 证明下面的单值化定理.

定理 2.1 (单值化定理 (Kobe 1907, Poincaré 1907)).

每个单连通 Riemann 面, 双全纯同胚于 $\Delta ,\mathbb{C}$ 或 ${\mathbb{P}}^1$.

证明方法: 1. PDE(解 Dirichlet 问题);  2. 拓扑;  3. 复分析.

动机: 如何把一条代数曲线单参数化?

注 2.2. 高维不成立, 如 ${\mathbb{B}}^2$ 不全纯同胚于 $\Delta \times \Delta$ (Poincaré).

Dirichlet 问题

引理 2.3. $X$ 是 Riemann 面, $G\subset X$ 单连通区域. 若 $u\in \mathcal{H}(G;\mathbb{R})$, 则存在 $f\in \mathcal{O}(G)$ 使得 $u=\mathrm{Re}f$.

证明. 令 $\sigma =du$, 则 $\sigma \in {\mathcal{H}}^1(G)$ 且 $\overline{\sigma }=\sigma$, 故存在 $\omega \in \Omega (X)$ 使得 $\sigma =\mathrm{Re}\omega$.

取定 $a\in X$, 定义 $f(x):={\int }_a^x\omega$. 因为 $G$ 单连通, 所以积分与路径的选取无关, $f\in \mathcal{O}(G)$ 且 $df=\omega$.

$\sigma =\mathrm{Re}\omega$ 等价于 $du=\mathrm{Re}df=d\mathrm{Re}f$, 故 $u=\mathrm{Re}(f+\text{常数})$.

$\square$

命题 2.4 (最大值原理). 设 $u\in \mathcal{H}(X)$ 不恒为常数, 则 $u$ 不能在 $X$ 内部取最大值.

证明. 假设存在 $x_0\in X$ 使得 $u(x_0)=\underset{x}{\max }u$, 则 $S:=\{x\in X:u(x)=\underset{x}{\max }u\}\subset X$ 是闭的.

同时 $S\subset X$ 是开的: 设 $a\in S$, 取 $G\ni a$ 单连通, 则存在 $f\in \mathcal{O}(G)$ 使得 $\mathrm{Re}f=u$, 进而 $|e^f|=e^u$. 由全纯函数最大模原理, $e^f$ 是常数, 进而 $u{|}_G$ 恒等于 $u$ 的最大值, 故 $G\subset S$, 即 $S$ 开.

$S$ 是非空的既开又闭的集合, 故 $S$ 是全集 $X$.

$\square$

命题 2.5 (Dirichlet 问题). 设 $Y\subset X$ 开, $f\in C(\partial Y,\mathbb{R})$, 是否存在 $u\in C(\overline{Y})\cap \mathcal{H}(Y)$ 使得 $u{|}_{\partial Y}=f$.

命题 2.6. 若 $Y\subset \subset X$, 则 Dirichlet 问题有唯一解.

证明. 若 $u_1,u_2$ 均为 Dirichlet 问题的解, 则 $u_1-u_2,u_2-u_1\in \mathcal{H}(Y)\cap C(\overline{Y})$, 且在 $\partial Y$ 取值为 $0$. 由最大值原理, $u_1-u_2,u_2-u_1$ 在 $Y$ 上均非正, 故 $u_1\equiv u_2$.

$\square$

定理 2.7 (Poisson). $$u(z):=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{R^2-|z{|}^2}{|R{e}^{i\theta }-z{|}^2}f(R{e}^{i\theta })d\theta$$为 ${\Delta }_R=\{|z|<R\}$ 上由 $f$ 为边值的 Dirichlet 问题的解.

推论 2.8. $\{u_n\}\subset \mathcal{H}({\Delta }_R)$, 且 $u_n\stackrel{\text{内闭}}{\to }u$, 则 $u\in \mathcal{H}({\Delta }_R)$.

推论 2.9 (Hanarck 定理). 若 $\{u_n\}\subset \mathcal{H}({\Delta }_R)$ 且单增且有上界 ($u_n\le C$, $C$ 是常数), 则 $u_n\stackrel{\text{内闭}}{\to }u$.

再进而由上一推论, $u\in \mathcal{H}({\Delta }_R)$.

定义 2.10. $X$ 是 Riemann 面, $Y\subset X$ 开. 记 $\mathrm{Reg}Y:=\{D\subset \subset Y\text{ 开}:D\text{ 上的Dirichlet问题可解}\}$. 坐标圆盘在 $\mathrm{Reg}Y$ 内 (Poisson 定理).

对于 $u\in C(Y,\mathbb{R})$, 定义 $P_{D}u:=\{\begin{array}{ll}u,& Y\backslash D\\ \text{以 }u{|}_{\partial D}\text{ 为边值的Dirichlet问题的解},& D\end{array}$. 则 $u\in \mathcal{H}(Y)$ 等价于 $P_{D}u=u,\forall D\in \mathrm{Reg}Y$.

定义 2.11. 称 $u\in C(Y,\mathbb{R})$ 次调和 (subharmonic), 若 $P_{D}u\ge u$, $\forall D\in \mathrm{Reg}Y$.

称 $u$ 为局部次调和的, 若 $\forall a\in Y$, 存在邻域 $U\ni a$ 使得 $u$ 在 $U$ 上次调和.

记 $SH(Y)=\{Y\text{ 上的次调和函数}\}$, $SH(Y,loc)=\{Y\text{ 上的局部次调和函数}\}$.

命题 2.12 (最大值原理). $u\in SH(Y,loc)$, 若存在 $x_0\in Y$ 使得 $u(x_0)=\underset{Y}{\max }u$, 则 $u\equiv u(x_0)$.

证明. 令 $S:=\{x\in Y:u(x)=u(x_0)\}$, 则 $S\subset Y$ 闭. 假设 $S\ne Y$, 则存在 $a\in Y\cap \partial S$. 因为 $u$ 连续, 所以 $u(a)=u(x_0)$. 取 $D\subset \mathrm{Reg}Y$ 使得 $a\in D$, $u\in SH(\overline{D})$ 且存在 $x\in \partial D$ 使得 $u(x)<u(x_0)$.

$u\le P_{D}u=:v$. $v\in \mathcal{H}(D)\cap C(\overline{D})$ 且 $v{|}_{\partial D}=u\le u(x_0)$, 由调和函数的最大值原理, $v=P_{D}u\le u(x_0)$ 于 $D$, 但 $v(a)\ge u(a)=u(x_0)$. 由最大值原理, $v\equiv u(x_0)$. 因为 $v{|}_{\partial D}=u{|}_{\partial D}$, 所以 $u{|}_{\partial D}\equiv u(x_0)$, 矛盾.

$\square$

推论 2.13. $u\in SH(Y)$ 等价于 $u\in SH(Y,loc)$.

证明. 只需考虑右推左. 设 $D\in \mathrm{Reg}Y$, $u\in SH(Y,loc)$, $v:=u-P_{D}u\in SH(D,loc)$, 且 $v{|}_{\partial D}=0$. 由最大值原理, $v\le 0$ 于 $D$, 即 $u\le P_{D}u$ 于 $D$, 故 $u\in SH(Y)$.

$\square$

命题 2.14 (次调和函数的一些性质).

1.	$u,v\in SH(Y)$, $\lambda ,\mu \ge 0$, 则 $\lambda u+\mu v\in SH(Y)$. $$P_D(\lambda u+\mu v)=\lambda P_D(u)+\mu P_D(v)\ge \lambda u+\mu v.$$
2.	$u,v\in SH(Y)$, 则 $\max \{u,v\}\in SH(Y)$. $$u\le P_{D}u\le P_D\max \{u,v\},$$$$v\le P_{D}v\le P_D\max \{u,v\}.$$
3.	$u\in SH(Y)$, 则 $P_{D}u\in SH(Y)$.

证明. 性质 3 的证明. 令 $v=P_{D}u$, 须证: $\forall D^{\prime }\in \mathrm{Reg}Y$, $P_{D^{\prime }}v\ge v$.

在 $Y\backslash D^{\prime }$, $P_{D^{\prime }}v=v$.

在 $Y\backslash D$, 因为 $v\ge u$, 由最大值原理, 有 $P_{D^{\prime }}v\ge P_{D^{\prime }}u\ge u=v$.

因为 $(Y\backslash D^{\prime })\cup (Y\backslash D)=Y\backslash (D\cap D^{\prime })$ 且 $v-P_{D^{\prime }}v\in \mathcal{H}(D\cap D^{\prime })$ 且在 $\partial (D\cap D^{\prime })$ 上非正. 所以由最大值原理, $v\le P_{D^{\prime }}v$ 于 $D\cap D^{\prime }$.

$\square$

引理 2.15 (Perron). 设 $\mathcal{F}\subset SH(Y)$ 非空, 使得

1.	$u,v\in \mathcal{F}$, 则 $\max \{u,v\}\in \mathcal{F}$.
2.	$u\in \mathcal{F}$, $D\in \mathrm{Reg}Y$, 则 $P_{D}u\in \mathcal{F}$.
3.	存在 $C\in \mathbb{R}$, 使得 $u\le C$, $\forall u\in \mathcal{F}$.

则 $u^{\ast }(x):=\sup \{u(x):u\in \mathcal{F}\}\in \mathcal{H}(Y)$.

引理的证明. 设 $a\in Y$, 取 $D\in \mathrm{Reg}Y$ 为 $a$ 的一个坐标邻域圆盘, 目标: 证明 $u^{\ast }\in \mathcal{H}(D)$.

取一列 $\{u_n\}\subset \mathcal{F}$ 使得 $u_n(a)\to u^{\ast }(a)(n\to \infty )$. 若用 $\max \{u_1,\cdots ,u_{n-1}\}$ 代替 $u_n$, 则不妨设 $u_1\le u_2\le \cdots (\le C)$ 且 $u_n(a)\to u^{\ast }(a)$. 令 $v_n:=P_D{u}_n$, 则 $v_1\le v_2\le \cdots (\le C)$. 由 Harnack 定理, $v_n\stackrel{\text{内闭}}{\to }v\in \mathcal{H}(D)$ 且 $v\le u^{\ast }$ 且 $v(a)=u^{\ast }(a)$.

$v\le u^{\ast }$: 因为 $v_n\in \mathcal{F}$, 所以 $v_n\le u^{\ast }$ 进而 $v\le u^{\ast }$.

$v(a)=u^{\ast }(a)$: $u^{\ast }(a)\ge v(a)\ge v_n(a)\ge u_n(a)\to u^{\ast }(a)$.

只需证明: $u^{\ast }=v$ 于 $D$.

设 $x\in D$, 取 $\{w_n\}\subset \mathcal{F}$ 使得 $w_n(x)\to u^{\ast }(x)$. 利用 $\max \{w_1,\cdots ,w_{n-1},v_n\}$ 代替 $w_n$, 可设 $w_n$ 是单调增加的, 且 $v_n\le w_n(\le C)$. 同样地, 由 Harnack 定理, 设 $P_D{w}_n$ 收敛到 $w\in \mathcal{H}(D)$, 则 $v\le w\le u^{\ast }$, $w(x)=u^{\ast }(x)$.

$u^{\ast }(a)=v(a)\le w(a)\le u^{\ast }(a)$, 则 $v(a)=w(a)$. 因为 $v-w$ 是 $D$ 上非正的调和函数, 又在内点 $a$ 处取 $0$, 故 $v\equiv w$ 于 $D$. $u^{\ast }(x)=w(x)=v(x)$, $\forall x\in D$.

$\square$

定义 2.16. 设 $f\in C(\partial Y,\mathbb{R})$ 使得 $\Vert f{\Vert }_{\infty }<\infty$. 记 $K:=\underset{\partial Y}{\sup }f(<\infty )$.

令 ${\mathcal{P}}_f:=\{u\in C(\overline{Y})\cap SH(Y):u\le K,u{|}_{\partial Y}\le f\}$, 称其为一个 Perron 族. $P_f\ne \varnothing$, 因为 $u=-\Vert f{\Vert }_{\infty }\in {\mathcal{P}}_f$. 且 Perron 族满足 Perron 引理条件, 故 $u_f^{\ast }(x):=\sup \{u(x):u\in {\mathcal{P}}_f\}\in \mathcal{H}(Y)$. 这样, 若要解以 $f$ 为边值的 Dirichlet 问题, 只需证明 $u_f^{\ast }(x)\to f(x_0)$, 若 $x\to x_0\in \partial Y$.

定义 2.17. 称 $x\in \partial Y$ 为一个正则点, 若存在邻域 $U\ni x$ 以及 $\beta \in SH(Y\cap U)\cap C(\overline{Y}\cap U)$, 使得 $\beta (x)=0$ 且 $\beta (y)<0$, $\forall y\in \overline{Y}\cap (U\backslash \{x\})$. 称 $\beta$ 为 $x$ 处的一个障碍 (barrier).

例 2.18. $0$ 不是 ${\Delta }^{\ast }$ 的一个障碍.

若否, 则存在 $0$ 处的一个障碍 $\beta <0$. 则 $0$ 是 $\beta$ 的可去奇点, 与最大值原理矛盾.

引理 2.19. 设 $x\in \partial Y$ 是一个正则点, $V\ni x$ 是邻域, $m\le c$, 则存在 $v\in C(\overline{Y},\mathbb{R})\cap SH(Y)$ 使得

(1). $v(x)=c$. (2). $v{|}_{\overline{Y}\cap V}\le c$. (3). $v{|}_{\overline{Y}\backslash V}=m$.

证明. 不妨设 $c=0$, 设 $U\ni x$ 及 $\beta \in C(\overline{Y}\cap U,\mathbb{R})$ 为 $x$ 处的一个障碍. 不妨设 $V\subset \subset U$, 则$$\sup \{\beta (y):y\in \overline{Y}\cap \partial V\}<0.$$则存在 $k>>1$, 使得 $k\beta {|}_{\overline{Y}\cap \partial V}<0$.

取 $V:=\{\begin{array}{ll}\max \{m,k\beta \},& \text{于 }\overline{Y}\cap V\\ m,& \text{于 }\overline{Y}\backslash V.\end{array}$, $V\in SH(Y\backslash V)$, $V\in SH(Y\backslash \overline{V})$.

另一方面, $V=m$ 于 $Y\cap \partial Y$ 的一个充分小邻域, 其在那里也次调和, 故 $V\in SH(Y)$.

$\square$

定理 2.20 (Perron). 设 $Y\subset X$ 开, 使得任意 $x\in \partial Y$ 正则, 则相应于 $\partial Y$ 上的有界的连续函数的 Dirichlet 问题可解.

证明. $\forall \epsilon >0$, 存在邻域 $V\ni x$ 使得$$|f(y)-f(x)|<\epsilon ,\forall y\in \partial Y\cap V,$$设 $k\le f(y)\le K$ 于 $\partial Y$.

由引理 3.1.3, 存在 $\nu \in SH(Y)\cap C(\overline{Y},\mathbb{R})$ 使得 $\{\begin{array}{l}\nu (x)=f(x)-\epsilon \\ \nu {|}_{\overline{Y}\cap V}\le f(x)-\epsilon \\ \nu {|}_{\overline{Y}\backslash V}=k-\epsilon \end{array}$, 则 $\nu {|}_{\partial Y}\le f$. 进而推出 $\nu \in {\mathcal{P}}_f$, 故 $\nu \le u_f^{\ast }$, 故 $\underset{y\to x}{\underline{\lim }}{u}_f^{\ast }(y)\ge \nu (x)=f(x)-\epsilon$.

同样, 存在 $\omega \in SH(Y)\cap C(\overline{Y},\mathbb{R})$ 使得 $\{\begin{array}{l}\omega (x)=-f(x)\\ \omega {|}_{\overline{Y}\cap V}\le -f(x)\\ \omega {|}_{\overline{Y}\backslash V}=-K\end{array}$, 则对于任意 $\mu \in {\mathcal{P}}_f$, 任意 $y\in \partial Y\cap V$, 有 $\mu (y)\le f(y)<f(x)+\epsilon \le -\omega (y)+\epsilon$, 进而 $(\mu +\omega ){|}_{\partial Y\cap V}\le \epsilon$.

另一方面, $(\mu +\omega ){|}_{\overline{Y}\cap \partial V}\le K-K=0\le \epsilon$.

因为 $\mu +\omega \in SH(Y\cap V)$, 所以由最大值原理, $\mu +\omega \le \epsilon$ 于 $Y\cap V$, $\forall \mu \in {\mathcal{P}}_f$. 故 $\underset{y\to x}{\overline{\lim }}{u}_f^{\ast }(y)\le \epsilon w(x)=f(x)+\epsilon$.

$\square$

例 2.21. $Y⊊\mathbb{C}$ 单连通, $a\in \partial Y$. 不妨设 $a=0$. 取 $\beta (z):=\mathrm{Re}(1/\log z)$ 于 $\overline{Y}\cap \Delta$. 因为$$\beta (z)=\mathrm{Re}\frac{\overline{\log z}}{|\log z{|}^2}=\frac{\log |z|}{|\log z{|}^2}\le 0$$于 $\overline{Y}\cap \Delta$, 且$$-\beta (z)=\frac{-\log |z|}{|\log z{|}^2}\le \frac{1}{-\log |z|},$$进而 $\beta$ 为 $0\in \partial Y$ 处的一个障碍.

命题 2.22. $X$ 是 Riemann 面, $Y\subset X$ 开, $x\in \partial Y$. 若存在邻域 $V\ni x$ 使得 $Y\cap V$ 单连通, 则 $x$ 为 $Y$ 的正则点. 特别地, 若 $\partial Y$ 为 $C^1$ 光滑的, 则任意 $x\in \partial Y$ 是正则点.

注 2.23. $Y\subset \subset X$, $\partial Y$ 分段光滑, 此时 Dirichlet 问题的解属于 Riemann 本人. Riemann 采用了下面的所谓 Dirichlet 原理:

设 $\mathcal{F}=\{u\text{ 在 }\Omega \text{ 内部分片 }{C}^2\text{ 且 }u{|}_{\partial Y}=f,\text{在 }\overline{\Omega }\text{ 上分片 }{C}^1\}$, 则使得能量积分$${\int }_{Y}du\wedge \ast du=:D(u),u\in \mathcal{F}$$达到最小值的 $u_0$ 为 Dirichlet 问题的解.

$D(u,w):={\int }_{Y}du\wedge \ast dw$, $t\in \mathbb{R}$, 则 $D(u_0+tw)=D(u_0)+2tD(u_0,w)+t^{2}D(w)$, 推出$${\int }_Y\Delta u_0\cdot w=D(u_0,w)=0,\forall w,$$故 $\Delta u_0=0$. (变分法) Weierstrass 提出了严厉的批评: 一个变分问题一般情形下最小值不一定达到!

但在 1900 年左右, Hilbert 给出了 Dirichlet 原理的正确叙述, 从而挽救了 Dirichlet 原理.

可数拓扑

单值化定理