用户: Solution/ 习题: 数理方程第三章

3.1 方程的物理背景和定解问题

2.

符号说明:

,

.

(1) 有公式 , 这是因为 .

因此 , 第二个等号是因为 . 同理有 .

(2) 作用 ,

化为 ,

.

作用 ,

化为 (因 ) ,

.

3.

要使 ,

只需 ,

,

因此取

5.

, 积分得 为常数, 令 得此常数为 .

那么 , 再积分得 为常数, 且实际上是 , 于是 .

, 则 , 从而 .

答案是 .

3.2 波动方程的 Cauchy 问题

4.

, 则有由此计算得到, 对一般的 , 时表达式为 时表达式为

注. 时表达式的第一项于是 时的解也写成相应地, 时的解也写成

5.

是以 为顶点、 为底面的圆锥.

6.

由于 ,

7.

, 则 , 代入后 .

8.

写出 的表达式代入即可.

9.

, 设 .

10.

. 可以不妨设 .

, 由

12.

(1)因此

(2) 记 .

(3) 把 看作参数, 是关于 的函数, 得到

在 (2) 中取 得到

(4) 作变量代换 , 代入得到两边对 阶导, 由于 , 得到验算一下系数,

(5) 记 , 令 , .

由于 处的球面测度与该点到 “圆盘” 上的投影的测度之比为升维并利用 维时解的表达式, 得到

注. (2) 的中间一个等号用的积分公式之证明见 Grafakos GTM249 Appendix D.2.
(4) 的表达式的系数能化简为故有(5) 的表达式的系数能化简为其中 的体积, 故有

3.3 波的传播和解关于时间的衰减性

1.

注意 (2),(3) 中 方向也是特征方向.

3.

特征方向 满足方程

特征曲面为 , 其中 满足

其中对 , , 的含义相同.

4.

假设 有一定的衰减性, 则对固定的 , 当 .

5.

由于得到不过这里我们不用关心具体的表达式, 需要的仅是当 其中 是一个与 有关的非负光滑紧支函数. 下面对上式给出两种估计.

方法 I., 则由于 是在靠近 的边缘处很大, 那么若 的中央, 上式就不会太大. 具体写出来就是:

第一种情况, . 这时 , 于是接下来要考虑 的边缘区域有重叠的情况, 这时 相对 不太小, 衰减性来自小圆 相对于大圆 所占的圆心角 仅有大约 . 也就是说:

第二种情况, . 这时由于以及相乘得方法 II. 写成径向积分分成两段, 对 不太接近 的部分可以直接估计: 而当 接近于 时, 需要更好地利用 的衰减性:

注意到由于 是紧支的, 有因此最后 取为随便一个常数即可, 两式相加就有 一致地成立.

注: 第二个估计的优点在于, 这一上界不直接与支集半径 有关.

3.4 分离变量法和初边值问题解的存在性

2.

, 则考虑非零特解 , 代入方程得到 , 由边界条件得到必须 , 此时 ,

3.

从相容性条件解得 . 求解方程得到

4.

(1) 由于得到

(2) 由解的表达式得到

5.

.

要让可以令

(1) .

(2) .

(3) .

3.5 能量方法和解的唯一性与稳定性

   由于习题课可能讲不到这一节, 这里给出所有的解答.

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抱歉第 1 题做得不正确, 待修正.

1.

同 3.5.2 节的推导, 得到于是定义由 Gronwall 不等式,

2.

3.

我们有然后用定理 3.5.1 即可.

4.

, 都是解, 令 , 则 是 Lipschitz 的, 有为了获得合适的微分不等式, 令由 Gronwall 不等式,因此 .

5.

(1) 是常数.

(2) 此时 .

6.

同 3.5.2 的推导, 得到, 当 很大时 不相交, 则 , 从而 , 于是 .

7.

, 都是解, 令 , 则注意到由于 递增, 有因此那么, 同 3.5.2 节的推导得到

8.

(1) 由 (2) 可得.

(2) 以下每次出现的 代表不同的常数.

与波动方程类似, 来估计首先, 由 恒为 得到 也为 , 于是中间的等号用到了 .

的有界性, 上式的第二项此外, 以及结合以上四式得到 的一致椭圆性和有界性, 从上式进一步得到还剩下 要估计. 我们有以上两式相加得由 Gronwall 不等式得(3) 为了仍有其中 , 需要的边界条件为