Maxwell 方程组

Maxwell 方程组是电动力学中的基本假设 (或者说公理), 它描述了电场与磁场的关系.

从更本质的角度来看, 电动力学是一种特殊的规范场论, 即 $U(1)$-规范场论, Maxwell 方程则是此时相应的杨–Mills 方程.

1经典陈述

下面 $E$ 表示电场强度, $B$ 表示磁感应强度, $D$ 表示电位移矢量, $H$ 表示磁场强度, $\rho$ 表示自由电荷密度, $\mathbf{j}$ 表示自由电流密度.

方程 1.1 (真空中 Maxwell 方程). $$\begin{array}{rl}\nabla \cdot E& =\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ \nabla \times E& =-\frac{\partial B}{\partial t}\\ \nabla \cdot B& =0\\ \nabla \times B& ={\mu }_0\mathbf{j}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial E}{\partial t}\end{array}$$

方程 1.2 (介质中 Maxwell 方程). $$\begin{array}{rl}\nabla \cdot D& =\rho \\ \nabla \times E& =-\frac{\partial B}{\partial t}\\ \nabla \cdot B& =0\\ \nabla \times H& =\mathbf{j}+\frac{\partial D}{\partial t}\end{array}$$在各向同性介质中, $D=\epsilon E,B=\mu H$.

2规范场论观点

为简洁起见, 接下来设定 ${ϵ}_0={\mu }_0=1$.

定义 2.1. 定义时空 ${\mathbb{R}}^4$ 上的 $1$-形式 $j=(\rho ,\mathbf{j})$, 它是此场的源. 定义 $2$-形式 $F$ 为以下矩阵$$\left(\begin{array}{cccc}0& E_1& E_2& E_3\\ -E_1& 0& B_{12}& -B_{13}\\ -E_2& -B_{12}& 0& B_{23}\\ -E_3& B_{13}& -B_{23}& 0\end{array}\right),$$

方程 2.2 (真空 Maxwell 方程, 规范场形式). $$\begin{array}{r}dF=0\\ d^{\ast }F=j\end{array}$$这里 $d^{\ast }$ 的定义参见 Hodge 星算子 (取时空为平坦度量).

注 2.3. 通过此形式可以看出方程满足 Lorentz 协变性, 即它在时空对称群 Poincaré 群作用下形式不变. 因此电动力学天然与狭义相对论相容, 在历史上也正是对电动力学的研究引出了狭义相对论.

注 2.4. 由于 $dF=0$, 存在 $1$-形式 $A$ 满足 $dA=F$. 如把此场写为分量形式$$A_{\mu }=(\varphi ,\mathbf{A})$$则由定义可以验证 $\varphi$ 正是电势, 而 $\mathbf{A}$ 正是磁矢势.

在规范场论的框架下, 上述 $A$ 比 $F$ 更为 “本质”, $A$ 是规范场, 而 $F$ 是它的场强, 定义为 $dA$. 因此接下来的推广也会对规范场本身而非场强陈述.

Maxwell 方程可以推广到一般的时空上.

方程 2.5 (一般时空的 Maxwell 方程). 对 Lorentz 流形 $M$, Maxwell 方程是对规范场 $A\in {\Omega }^1(M)$ 和 $j\in {\Omega }^1(M)$ 的如下方程. $$d^{\ast }dA=j$$(注意场强 $F$ 的定义 $dA=F$ 已经隐含了 $dF=0$ 成立). 此方程即是杨–Mills 方程的特例.

3特殊情形

(讲述如何推出 Coulomb 定律之类的...)

4求解

(...)

5相关概念

•	杨–Mills 方程

术语翻译

Maxwell 方程组 • 英文 Maxwell’s equations • 德文 Maxwell-Gleichungen • 法文 équations de Maxwell