查看“赋值环”的源代码

{{ 约定
    | 所有环都指[[交换环]].
}}

[[交换代数]]中, \textbf{赋值环}指任两个元素都有整除关系的[[整环]]. 
其名称来源于[[赋值]]的概念. 

== 定义 ==

\begin{definition}[赋值环]
    $R$ 是整环, $K$ 是其[[分式域]]. 以下几条等价: 
    \begin{enumerate}
        \item\label{极大} 对任意 $x\in K^\times$, $x$ 和 $x^{-1}$ 中至少有一个在 $R$ 中. 
        \item\label{理想全序} $R$ 的任两个理想都有包含关系. 
        \item\label{元素全序} $R$ 的任两个元素都有整除关系, 换言之其任两个主理想都有包含关系. 
        \item\label{赋值} 存在全序交换群 $\Gamma$ 以及[[赋值]] $v\colon K\to\Gamma\cup\{\infty\}$, 
        使得 $R$ 是此赋值的赋值环, 即 $R=\{x\in K\mid v(x)\ge0\}$. 
    \end{enumerate}
    如 $R$ 满足这些等价条件, 则称其为赋值环, 也称其为 $K$ 的一个赋值环. 
    条件 \ref{赋值} 中的 $\Gamma$ 称为其值群. 
\end{definition}

这里的等价都是容易的, 比如 \ref{极大} 推 \ref{理想全序} 是因为如有理想
$I,J$ 互不包含, 则取 $i\in I\setminus J$, $j\in J\setminus I$, 
就有 $i/j$ 和 $j/i$ 都不在 $R$ 中. 

由 \ref{理想全序} 可以看出赋值环都是[[局部环]], 然后由 \ref{极大}
可以看出 $R$ 的极大理想恰由 $0$ 与 $K\setminus R$ 中元素的逆组成. 
由 \ref{元素全序} 可以看出赋值环的有限生成理想都是主理想. 

== 例子 ==

\begin{itemize}
    \item [[域]]都是赋值环. 
    \item 域上一元[[形式幂级数]]环 $k[[X]]$ 是赋值环. 
    其分式域为 Laurent 级数域 $k((X))$, 值群为 $\Z$, 
    赋值 $v(f)$ 为 $f$ 的最低次项系数. 
    \item [[p 进数|$p$ 进整数环]] $\Z_p$ 是赋值环. 
    其分式域为 $\mathbb{Q}_p$, 赋值 $v_p(n)$ 为 $n$ 中含
    $p$ 的次数. 
    \item 一般地, [[Krull 维数|一维]][[正则||环]]局部环都是赋值环. 
    见[[离散赋值环]]. 
    \item 设 $K$ 是[[序域]]. 考虑
    $R=\{x\in K\mid\exists n\in\N,\,-n<x<n\}$, 
    则 $R$ 是赋值环. 事实上 $R$ 的子集 $\{x\in K\mid -1\le x\le1\}$
    已经满足 $K$ 中任一元素与其逆至少一个属之; 只是它并不是环, 
    $R$ 才是环. 
    \item 二元形式幂级数环 $k[[X,Y]]$ 不是赋值环, 因为
    $X/Y$ 与 $Y/X$ 都不在其中. 
\end{itemize}

== 性质 ==

赋值环的条件等价于其在分式域中的一种极大性: 
\begin{proposition}
    固定域 $K$. 考虑其所有局部子环之集, 赋予偏序
    $(R,\mathfrak{m}_R)\le(S,\mathfrak{m}_S)$ 当且仅当 
    $R\subseteq S$ 且 $\mathfrak{m}_R\subseteq\mathfrak{m}_S$,
    即要求含入映射是局部同态. 那么 $K$ 的赋值环恰是该偏序集的极大元. 
\end{proposition}

\begin{proof}
    首先设 $R$ 是 $K$ 的一个赋值环, 证明它极大. 反证法, 
    如 $R<S$, 取 $x\in S\setminus R$. 由于 $x\notin R$, 
    有 $x^{-1}\in\mathfrak{m}_R$, 而 $\mathfrak{m}_R\subseteq\mathfrak{m}_S$, 
    于是 $x^{-1}\in\mathfrak{m}_S$, 极大理想里出现可逆元, 矛盾. 
    故 $R$ 极大. 

    其次对极大元 $(R,\mathfrak{m})$ 证明它是赋值环. 反证法, 
    设有 $x\in K^\times$, $x,x^{-1}$ 都不属于 $R$. 
    由极大性, 子环 $R[x]\subseteq K$
    的每个素理想都不能包含 $\mathfrak{m}$, 否则对其局部化, 
    将出现大于 $R$ 的子环. 换言之, $\mathfrak{m}R[x]=R[x]$.
    同样地, $\mathfrak{m}R[x^{-1}]=R[x^{-1}]$. 
    于是写出等式
    $$1=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n,\,a_0,\ldots,a_n\in\mathfrak{m};$$
    $$1=b_0+b_1x^{-1}+\cdots+b_mx^{-m},\,b_0,\ldots,b_m\in\mathfrak{m};$$
    不妨设这是此种等式中 $n+m$ 最小者, 并设 $n\ge m$. 
    将后一个等式乘以 $x^n$ 得
    $$(1-b_0)x^n=b_1x^{n-1}+\cdots+b_mx^{n-m};$$
    由于 $b_0\in\mathfrak{m}$, $1-b_0\in R^\times$, 可两边除以 $1-b_0$ 得
    $$x^n=c_1x^{n-1}+\cdots+c_mx^{n-m};$$
    把此式代入 $1=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ 中便可把 $n$ 变小, 
    矛盾! 故 $R$ 是赋值环. 
\end{proof}

\begin{corollary}
    设 $A$ 是环, $\mathfrak{p}$ 是其一个素理想, 
    $K$ 是域, $f\colon A\to K$ 是环同态. 则 $K$ 有包含
    $f(A)$ 的赋值环 $R$ 满足 $f^{-1}(\mathfrak{m}_R)=\mathfrak{p}$. 
    特别地, $(A,\mathfrak{p})$ 是局部环时, 这相当于说任一环同态
    $f\colon A\to K$ 都穿过一个到赋值环的局部同态. 
\end{corollary}

\begin{proof}
    考虑命题所述偏序集中大于等于局部环 $f(A_\mathfrak{p})$ 的极大元. 
    由 [[Zorn 引理]]不难发现其存在. 此即所求. 
\end{proof}

以上命题与推论在[[赋值判别法]]的证明中用到. 

== 相关概念 ==

* [[局部环]]
* [[整同态]]
* [[赋值]]
* [[赋值判别法]]
* [[离散赋值环]]

{{Transbox
    |{{Translist
        | title = 赋值环
        | en = valuation ring
        | fr = anneau de valuation {{NounGender|m}}
        | de = Bewertungsring {{NounGender|m}}
    }}
}}

[[分类:交换代数]]