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在[[代数几何]]中, \textbf{赋值判别法}指的是用[[赋值环]]来判别映射性质的方法. 
在[[刚性解析几何]]中亦有类似事物. 

== 命题 ==

\begin{definition}[赋值判别法]
    称概形态射 $f\colon X\to Y$ 满足赋值判别法的存在性、唯一性, 分别指的是, 
    对任意赋值环 $R$ 以及任意如下图表 (其中 $K$ 是 $R$ 的分式域, 
    $\operatorname{Spec}K\to\operatorname{Spec}R$ 为自然映射),
    $$\begin{cd}
        \operatorname{Spec}K\ar[r]\ar[d]&X\ar[d,"f"]\\
        \operatorname{Spec}R\ar[r]\ar[ur,dashed]&Y
    \end{cd}$$
    虚线箭头存在、唯一. 
\end{definition}

\begin{remark}\label{基变换封闭}
    如 $X\to Y$ 满足赋值判别法某性质, 则不难发现其任意基变换也满足同样性质. 
    即赋值判别法所判定的性质自动对基变换封闭. 
\end{remark}

\begin{proposition}[泛闭判别]
    $f\colon X\to Y$ 是概形的[[拟紧态射]]. 
    则其[[泛闭||态射]]当且仅当其满足赋值判别法的存在性. 
\end{proposition}

\begin{proof}
    先证 ``仅当'', 即已知 $f$ 泛闭, 验证赋值判别法存在性. 
    沿 $\operatorname{Spec}R\to Y$ 基变换, 不妨设
    $Y=\operatorname{Spec}R$. 记 $\operatorname{Spec}K=\{\eta\}$, 
    并记 $\eta$ 在 $X$ 中像的闭包为 $Z$, 附带既约闭子概形结构. 
    由于验证的是存在性, 而复合一个闭浸入 $Z\hookrightarrow X$
    自然不改变泛闭, 故可不妨设 $X=Z$. 我们来到如下图表: 
    $$\begin{cd}
        \operatorname{Spec}K\ar[rr]\ar[rd]&&X\ar[ld,"f"]\\
        &\operatorname{Spec}R&
    \end{cd}$$
    这里 $X$ 是整概形, 一般点是 $\eta$ 的像, $f$ 是闭映射, 
    要给 $f$ 找个截面. 由于 $K$ 是 $R$ 的分式域, 观察以上图表的分式域映射
    $K\to K(X)\to K$, 这复合起来是 $\operatorname{id}$, 
    故 $X$ 的分式域也是 $K$. 将 $X$ 和 $\operatorname{Spec}R$ 的一般点也记作 $\eta$. 
    则图表本身首先说明 $\eta\in f(X)$. 由 $f$ 闭知 $f(X)$ 闭, 
    但 $\eta\in f(X)$ 是 $\operatorname{Spec}R$ 的一般点, 
    故 $f(X)=\operatorname{Spec}R$. 于是 $\operatorname{Spec}R$
    的闭点具有原像. 取其一个原像 $x\in X$, 给出局部环同态
    $f_x\colon R\to\mathcal{O}_{X,x}$. 由以上交换图表, $f_x$
    诱导分式域同构; 即如把它们都看成 $K$ 的子环就有 $R\subseteq\mathcal{O}_{X,x}\subseteq K$. 
    而 $R$ 是赋值环! 于是 $R=\mathcal{O}_{X,x}$, 截面就找到了. 

    再证``当'', 即已知 $f$ 满足赋值判别法存在性, 验证泛闭. 由注
    \ref{基变换封闭}, 只需证它闭. 取闭子概形 $Z\subseteq X$, 
    要证 $f(Z)$ 闭. 先证其在[[特殊化]]下封闭. 取
    $Z\ni z\mapsto y\in Y$ 以及 $y\rightsquigarrow y'$, 
    要找 $z\rightsquigarrow z'\mapsto y'$. 注意这里由
    $Z\ni z\rightsquigarrow z'$ 能自动得到 $z'\in Z$. 
    这些映射自然给出环同态 $\mathcal{O}_{Y,y'}\to k(y)\to k(z)$. 
    由赋值环的性质, 可取分式域为 $k(z)$ 的赋值环 $R$ 以及局部环同态
    $\mathcal{O}_{Y,y'}\to R$ 使得以上映射穿过它. 
    这些映射便给出一个赋值判别法中的交换图表. 由 $f$ 满足赋值判别法存在性, 
    虚线箭头存在, 那么 $\operatorname{Spec}R$ 的闭点在虚线箭头下的像 $z'$ 便满足
    $z\rightsquigarrow z'\mapsto y'$. 接下来由以下引理便得结论. 
\end{proof}

\begin{lemma}\label{闭集}
    $f\colon X\to Y$ 是概形的拟紧态射, $Z\subseteq X$ 是闭子概形. 
    如 $f(Z)$ 在特殊化下封闭, 则它就是闭集. 
\end{lemma}

\begin{proof}
    复合闭浸入不改变拟紧, 故可设 $Z=X$. 闭性是局部的, 故可设 $Y=\operatorname{Spec}A$ 仿射. 
    于是 $X$ 拟紧, 设 $X=\bigcup_{i=1}^n\operatorname{Spec}B_i$. 
    令 $B=\prod_{i=1}^nB_i$, 考虑自然映射
    $\operatorname{Spec}B=\bigsqcup_{i=1}^n\operatorname{Spec}B_i\to X\to Y$. 
    它的像集自然和 $f$ 的一样, 故以 $\operatorname{Spec}B$ 换 $X$
    可设 $X=\operatorname{Spec}B$ 也仿射. 

    现在来到环论问题: $A\to B$ 是环同态, 谱上的像集在特殊化下封闭, 
    要证明此像集闭. 任取 $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$
    在像集之外. 像集在特殊化下封闭, 故其补集在一般化下封闭, 也就是说
    $\operatorname{Spec}A_\mathfrak{p}$ 都在像集之外, 即
    $B\otimes_AA_\mathfrak{p}=0$. 而 $A_\mathfrak{p}=\operatornamewithlimits{colim}_{a\notin\mathfrak{p}}A_a$, 
    故存在 $a\notin\mathfrak{p}$ 使得 $B\otimes_AA_a=0$, 
    即开集 $D(a)\ni\mathfrak{p}$ 都在像集之外. 像集外每个点都有开邻域在像集外, 
    故像集闭. 
\end{proof}

\begin{proposition}[分离判别]
    $f\colon X\to Y$ 是概形的[[拟分离态射]]. 
    则其[[分离||态射]]当且仅当其满足赋值判别法的唯一性. 
\end{proposition}

\begin{proof}
    注意 $f$ 满足赋值判别法的唯一性当且仅当其对角线
    $\Delta_f\colon X\to X\times_YX$ 满足赋值判别法的存在性. 
    由此, 用拟分离、分离的定义以及泛闭的赋值判别法, 立得结论. 
\end{proof}

于是由紧合的定义可得

\begin{corollary}[紧合判别]
    $f\colon X\to Y$ 是概形态射, [[有限型||态射]]、[[拟分离||态射]]. 
    则其[[紧合||态射]]当且仅当其满足赋值判别法的存在唯一性. 
\end{corollary}

== 例子与评注 ==

\begin{example}[射影空间]
    最典型的紧合态射无非是[[射影空间]] $\mathbf{P}^n_\Z\to\operatorname{Spec}\Z$. 
    直接用定义证明它紧合十分麻烦, 但用赋值判别法就十分简单. 
    这里需要证明图表
    $$\begin{cd}
            \operatorname{Spec}K\ar[r]\ar[d]&\mathbf{P}^n_{\mathbb{Z}}\ar[d]\\
            \operatorname{Spec}R\ar[r]\ar[ur,dashed]&\operatorname{Spec}{\mathbb{Z}}
    \end{cd}$$
    的虚线箭头存在唯一. 展开射影空间的定义, 不难发现上方的箭头相当于一个[[齐次坐标]]
    $[a_0,\ldots,a_n]$, 即 $a_0,\ldots,a_n$ 不全为 $0$; 
    差一个倍数的是同一个映射. 而由于 $R$ 是局部环, 不难发现虚线箭头也相当于齐次坐标
    $[b_0,\ldots,b_n]$, 满足 $b_0,\ldots,b_n$ 中有可逆元; 
    仍然, 差一个可逆元倍数的是同一个映射. 这样存在唯一性就是显然的: 
    $[b_0,\ldots,b_n]$ 必须是 $[a_0,\ldots,a_n]$
    各坐标同除以赋值最小的坐标所得. 
\end{example}

%\begin{example}
%    本例说明拟紧条件不可或缺. 固定域 $k$. 以 $n\in\Z$ 为下标, 
%    取一列相同的概形 $X_n=\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)$, 
%    并记 $U_n=D(x)$, $V_n=D(y)$ 为其中主开集, 即
%    $U_n=\operatorname{Spec}k[x,x^{-1}]$, $V_n=\operatorname{Spec}k[y,y^{-1}]$,
%    $U_n\cap V_n=\varnothing$. 现对所有 $n$, 按 $x\mapsto y^{-1}$ 把
%    $U_n\subseteq X_n$ 与 $V_{n+1}\subseteq X_{n+1}$ 等同, 
%    粘合出一概形 $X$, 每个 $X_n$ 是其开子概形, $X_n\cap X_{n+1}=U_n=V_{n+1}$, 
%    $X_n\cap X_{n+m}=\varnothing$ 对 $m>1$. 于是
%\end{example}
%我后来发现此例作为说明拟紧条件不可或缺意义不大, 但还是有点意义. 
%例中这个 $X\to Y$ 满足赋值判别法但不拟紧从而不泛闭, 但它作为
%$Y$ 上连通的投射平展 $\Z$-主丛, 实际上说明 $Y$ 的基本群应为
%$\Z$ 而不是 $\hat{\Z}$, 即投射平展基本群比平展基本群更符合直观. 

\begin{remark}
    泛闭的赋值判别法, 本质是上面的引理 \ref{闭集}, 以及赋值环足以探测特殊化. 分离的就是对对角线使用泛闭的. 
\end{remark}

\begin{remark}
    事实上分离推出拟分离, 所以赋值判别法可陈述为``分离当且仅当拟分离且满足赋值判别法唯一性'', 
    泛闭也类似. 但泛闭推出拟紧这一事实证明麻烦而又意义不大, 
    故通常不这么陈述. 
\end{remark}

== 相关概念 ==

* [[赋值环]]
* [[泛闭态射]]
* [[分离态射]]
* [[紧合态射]]

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        | title = 赋值判别法
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[[分类:概形论]]