“讨论室:学术” 上的话题

复合函数的 Riemann 可积性

$f$ 把胖康托集 $A$ 打到康托集 $C$, $g={\chi }_C$ 即可

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 不严格递增, $g:[c,d]\to \mathbb{R}$ 为 Riemann 可积函数, 那么 $(g\circ f)(x)$ 是否一定 Riemann 可积?

注: 这道习题在 Lebesgue 可积性准则之前, 我手上只有 Darboux 的定义和一两个等价条件.

这学期刚上实分析课, 对相关经典知识不是很熟悉请见谅.

我们知道 “胖” 康托集 (Wiki) , 它是一个闭集, 有着非零的测度. 因此, 它的示性函数不黎曼可积. 而康托集则有零测度, 示性函数黎曼可积. 考虑构造将胖康托集打到康托集的递增函数.

令 $A_n$ 是胖康托集的构造中第 $n$ 步后剩余的 $2^{-n}$ 个闭区间, $C_n$ 是康托集构造中的这 $2^{-n}$ 个区间. 定义 $f_n$ 为如下的分段线性的连续递增函数: 将 $A_n$ 中的区间依次线性打到 $C_n$ 中的区间, 再将剩余部分线性连接. 容易发现在 $[0,1]\setminus A_n$ 上, $f_n=f_m,\forall m\ge n$, 且这部分函数值均不落在 $C_n$ 中; 剩余部分的 $|f_m-f_n|\le 3^{-n}$.

因此这些 $f_n$ 一致收敛到 $f$, 它也是连续递增函数. 且由上述讨论可知, 若 $A=\bigcap A_n,C=\bigcap C_n$, 则有 $f([0,1]\setminus A)\cap C=\varnothing$. 这即说明 $f^{-1}(C)\subseteq A$; 另一方面, 若记 $A^{\prime }$ 为所有区间端点 ($A^{\prime }$ 是 $A$ 的稠密子集) , 则由构造 $f(A^{\prime })\subseteq C$. 因此 $A^{\prime }\subseteq f^{-1}(C)$, 根据连续性即得到 $A=f^{-1}(C)$.

考虑 $g={\chi }_C$ 是 Cantor 集的示性函数, 则 $g$ 黎曼可积, 且 $g\circ f(x)={\chi }_{f^{-1}(C)}={\chi }_A$ 不是黎曼可积函数.

如有错误请指出, 谢谢 $\sim \sim$

Update: 简要证明一下胖康托集的示性函数 ${\chi }_A$ 的不可积性.

设第 $n$ 步删除的单个小区间长度为 ${\alpha }^{-n}$, 其中 $\alpha >3$ ($\alpha =3$ 即为常规 Cantor 集) . 则我们有 $A_n$ 的长度和: $$J(A_n)=1-\sum _{i=1}^n{2}^{i-1}{\alpha }^{-i}=\frac{1-3{\alpha }^{-1}}{1-2{\alpha }^{-1}}+\frac{{\alpha }^{-1}}{1-2{\alpha }^{-1}}(2{\alpha }^{-1}{)}^n.$$它有一个与 $n$ 无关的下界 $B=\frac{1-3{\alpha }^{-1}}{1-2{\alpha }^{-1}}>0$.

对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, 取 $N$ 充分大使得 ${\alpha }^{-N}<\frac{1}{n}$. 取 $\mathcal{P}$ 为 $[0,1]$ 的间距为 $\frac{1}{n}$ 的等距划分. 由于胖康托集 $A$ 的补集是稠密集 (因为 $A$ 无处稠密) , 我们知道任何一个开区间上 ${\chi }_A$ 的下界都是 $0$. 因此达布下和满足$$\underline{D}({\chi }_A,\mathcal{P})=0.$$

考虑用 ${\chi }_{A_N}$ 估计 ${\chi }_A$ 的达布上和. 对于每个划分的开区间 $I_i=[x_i,x_{i+1}]=\left[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}\right]$, 若有 ${\sup }_{I_i}{\chi }_A=0$, 即 $I_i\cap A=\varnothing$, 由于第 $N$ 步后扣除的开区间长度均 $<{\alpha }^{-N-1}<\frac{1}{n}$, 可知 $I_i$ 落在第 $N$ 步及以前扣除的开区间中, 也即 $I_i\cap A_N=\varnothing$, 因此 ${\sup }_{I_i}{\chi }_{A_N}=0$.

因而我们得到$$\overline{D}({\chi }_A,\mathcal{P})\ge \overline{D}({\chi }_{A_N},\mathcal{P}).$$又因为 $A\subseteq A_N$, 显然上式有 $\le$ 成立. 因此我们得到$$\overline{D}({\chi }_A,\mathcal{P})=\overline{D}({\chi }_{A_N},\mathcal{P})\ge {\int }_0^1{\chi }_{A_N}dx=J(A_N)>B.$$

从而我们知道, 对任意 $ϵ>0$, 总存在划分 $\mathcal{P}$ 使得 $|\mathcal{P}|\le ϵ$ 且 $\overline{D}-\underline{D}({\chi }_A,\mathcal{P})\ge B$, 其中 $B>0$ 是固定的常数. 从而 ${\chi }_A$ 不是黎曼可积的.

非常感谢!