“讨论室:学术” 上的话题
< 讨论室:学术
| 第5行： | 第5行： | ||
令 $A_n$ 是胖康托集的构造中第 $n$ 步后剩余的 $2^{-n}$ 个闭区间，$C_n$ 是康托集构造中的这 $2^{-n}$ 个区间。定义 $f_n$ 为如下的分段线性的连续递增函数：将 $A_n$ 中的区间依次线性打到 $C_n$ 中的区间，再将剩余部分线性连接。容易发现在 $[0,1]\setminus A_n$ 上，$f_n=f_m,\,\forall m\ge n$，且这部分函数值均不落在 $C_n$ 中；剩余部分的 $|f_m-f_n|\le 3^{-n}$。 | 令 $A_n$ 是胖康托集的构造中第 $n$ 步后剩余的 $2^{-n}$ 个闭区间，$C_n$ 是康托集构造中的这 $2^{-n}$ 个区间。定义 $f_n$ 为如下的分段线性的连续递增函数：将 $A_n$ 中的区间依次线性打到 $C_n$ 中的区间，再将剩余部分线性连接。容易发现在 $[0,1]\setminus A_n$ 上，$f_n=f_m,\,\forall m\ge n$，且这部分函数值均不落在 $C_n$ 中；剩余部分的 $|f_m-f_n|\le 3^{-n}$。 | ||
| − | 因此这些 $f_n$ 一致收敛到 $f$，它也是连续递增函数。且由上述讨论可知，若 $A=\bigcap A_n,\,C=\bigcap C_n$，则有 $f([0,1]\setminus A)\cap C=\varnothing$。这即说明 $f^{-1}(C)\ | + | 因此这些 $f_n$ 一致收敛到 $f$，它也是连续递增函数。且由上述讨论可知，若 $A=\bigcap A_n,\,C=\bigcap C_n$，则有 $f([0,1]\setminus A)\cap C=\varnothing$。这即说明 $f^{-1}(C)\subseteq A$；另一方面，若记 $A'$ 为所有区间端点（$A'$ 是 $A$ 的稠密子集），则由构造 $f(A')\subseteq C$。因此 $A'\subseteq f^{-1}(C)$，根据连续性即得到 $A=f^{-1}(C)$。 |
考虑 $g=\chi_{C}$ 是 Cantor 集的示性函数，则 $g$ 黎曼可积，且 $g\circ f(x)=\chi_{f^{-1}(C)}=\chi_A$ 不是黎曼可积函数。 | 考虑 $g=\chi_{C}$ 是 Cantor 集的示性函数，则 $g$ 黎曼可积，且 $g\circ f(x)=\chi_{f^{-1}(C)}=\chi_A$ 不是黎曼可积函数。 | ||
如有错误请指出，谢谢$\sim\sim$ | 如有错误请指出，谢谢$\sim\sim$ | ||