“讨论室:学术” 上的话题

n 为奇数时, 证明 AB’+A’B 为奇异阵

设 A, B 为 n 阶方阵, 满足 $AB=0$. 证明: 若 $n$ 是奇数, 则 $A{B}^{\prime }+A^{\prime }B$ 为奇异阵.

’ 表示伴随矩阵吗? 如果是的话只需注意到矩阵秩小于 $n-1$ 则其伴随矩阵为 $0$.

‘表示转置

$r=\mathrm{rank}$. 如果 $A{B}^T+A^{T}B$ 可逆那么 $r(A{B}^T+A^{T}B)=n$.

$n=r(A{B}^T+A^{T}B)\le r(A{B}^T)+r(A^{T}B)\le \min \{r(A),r(B^T)\}+\min \{r(A^T),r(B)\}\le r(A)+r(A^T)=2r(A)$.

因为 $n$ 是奇数, 所以 $r(A)\ge (n+1)/2$. 同理 $r(B)\ge (n+1)/2$; 故 $1\le r(A)+r(B)-n\le r(AB)=0$ (这里利用西尔维斯特秩不等式), 矛盾.

看懂了, 感谢