“讨论室:学术” 上的话题

是否可以用某种全本质满函子构造范畴的局部化?

起因是我正在看 Sophie Morel 的同调代数讲义 (http://morel.perso.math.cnrs.fr/notes540.pdf). 其中的 Proposition V.2.1.6,p156 提到:

设 $G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是一个全本质满 (full and essentially surjective) 函子, $W$ 是由 $\mathcal{C}$ 中的态射组成的集合. 若存在 $\mathcal{D}$ 中的态射组成的集合 $W_1$, 使得 $W=\left\{s\in Mor\left(\mathcal{C}\right)\mid G\left(s\right)\in W_1\right\}$. 设 $Q_1:\mathcal{D}\to \mathcal{D}\left[W_1^{-1}\right]$ 是 $\mathcal{D}$ 对 $W_1$ 的局部化, 则 $Q_1\circ G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}\left[W_1^{-1}\right]$ 是 $\mathcal{C}$ 对 $W$ 的局部化.

讲义中已经证明了局部化满足的三条性质中的两条, 即 $Q_1\circ G$ 把 $W$ 中的态射映到 $\mathcal{D}\left[W_1^{-1}\right]$ 中的同构态射; 并且对于另一个范畴 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 和函子 $F_1,F_2:\mathcal{D}\left[W_1^{-1}\right]\to {\mathcal{C}}^{\prime }$, 存在双射 $Ho{m}_{Func\left(\mathcal{D}\left[W_1^{-1}\right],{\mathcal{C}}^{\prime }\right)}\left(F_1,F_2\right)\simeq Ho{m}_{Func\left(\mathcal{C},{\mathcal{C}}^{\prime }\right)}\left(F_1\circ Q_1\circ G,F_2\circ Q_1\circ G\right)$.

但是没有证明 $Q_1\circ G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}\left[W_1^{-1}\right]$ 满足局部化的泛性质.

我的想法是, 设 $Q:\mathcal{C}\to \mathcal{C}\left[W^{-1}\right]$ 是 $\mathcal{C}$ 对 $W$ 的局部化. 利用局部化的泛性质得到一个函子 $F_W:\mathcal{C}\left[W^{-1}\right]\to \mathcal{D}\left[W_1^{-1}\right]$, 使得有函子的自然同构 $F_W\circ Q\simeq Q_1\circ G$, 然后再证明 $F_W$ 是范畴等价. 但是我想不出怎么说明 $F_W$ 是范畴等价.

我感觉 $W=\left\{s\in Mor\left(\mathcal{C}\right)\mid G\left(s\right)\in W_1\right\}$ 是一个很关键的非平凡的条件, 但我不知道怎么用上它.

烦请各位前辈不吝赐教.

情况有变, 这个命题是错的, 只需令 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 都是只有一个对象的 groupoid 即可.