“讨论室:学术” 上的话题

关于数学分析讲义中证明用 Dedekind 分割构造的实数满足 “对于任意的 X,Y∈R, 存在唯一的 Z∈R, 使得 X+Z=Y” 的疑问

大家好, 我是数学系的新生, 所以可能问的问题有点傻, 还请大家耐心帮助我, 非常感谢!

在香蕉空间的数学分析讲义中, (https://www.bananaspace.org/wiki/讲义: 数学分析/实数的构造:_Dedekind_分割) , 我对其中加法构造的 “(F4) 对任意的 Dedekind 分割 X 和 Y, 存在唯一的 Z∈R, 使得 X+Z=Y” 定理的证明存在疑惑. 在证明 Y⊂X+Z 时, 我们有 y<y , x<x’. 为什么可以由技术性引理得到 x′−x<y −y 呢?

也就是说, x′−x>0,y −y>0, 为什么可以得到总存在一对 x 和 x‘, 保证他们的差小于 y −y 呢?

谢谢大家. ​

引理说明对任意正整数 $n$, 可以找到 $x,x^{\prime }$ 使得 $x^{\prime }-x<1/n$. 由于 $\tilde{y}-y$ 是正有理数, 存在正整数 $n$, 使得 $1/n<\tilde{y}-y$.

非常感谢! ! !