Update: 简要证明一下胖康托集的示性函数 $χ_{A}$ 的不可积性.

设第 $n$ 步删除的单个小区间长度为 $α^{- n}$ , 其中 $α > 3$ ( $α = 3$ 即为常规 Cantor 集) . 则我们有 $A_{n}$ 的长度和: $J (A_{n}) = 1 - i = 1 \sum n 2^{i - 1} α^{- i} = \frac{1 - 3 α ^{- 1}}{1 - 2 α ^{- 1}} + \frac{α ^{- 1}}{1 - 2 α ^{- 1}} (2 α^{- 1})^{n} .$ 它有一个与 $n$ 无关的下界 $B = \frac{1 - 3 α ^{- 1}}{1 - 2 α ^{- 1}} > 0$ .

对任意 $n \in N^{*}$ , 取 $N$ 充分大使得 $α^{- N} < \frac{1}{n}$ . 取 $P$ 为 $[0, 1]$ 的间距为 $\frac{1}{n}$ 的等距划分. 由于胖康托集 $A$ 的补集是稠密集 (因为 $A$ 无处稠密) , 我们知道任何一个开区间上 $χ_{A}$ 的下界都是 $0$ . 因此达布下和满足 $\underline{D} (χ_{A}, P) = 0.$

考虑用 $χ_{A_{N}}$ 估计 $χ_{A}$ 的达布上和. 对于每个划分的开区间 $I_{i} = [x_{i}, x_{i + 1}] = [\frac{i}{n}, \frac{i + 1}{n}]$ , 若有 $sup_{I_{i}} χ_{A} = 0$ , 即 $I_{i} \cap A = \emptyset$ , 由于第 $N$ 步后扣除的开区间长度均 $< α^{- N - 1} < \frac{1}{n}$ , 可知 $I_{i}$ 落在第 $N$ 步及以前扣除的开区间中, 也即 $I_{i} \cap A_{N} = \emptyset$ , 因此 $sup_{I_{i}} χ_{A_{N}} = 0$ .

因而我们得到 $\overline{D} (χ_{A}, P) \geq \overline{D} (χ_{A_{N}}, P) .$ 又因为 $A \subseteq A_{N}$ , 显然上式有 $\leq$ 成立. 因此我们得到 $\overline{D} (χ_{A}, P) = \overline{D} (χ_{A_{N}}, P) \geq \int_{0}^{1} χ_{A_{N}} d x = J (A_{N}) > B .$

从而我们知道, 对任意 $ϵ > 0$ , 总存在划分 $P$ 使得 $∣ P ∣ \leq ϵ$ 且 $\overline{D} - \underline{D} (χ_{A}, P) \geq B$ , 其中 $B > 0$ 是固定的常数. 从而 $χ_{A}$ 不是黎曼可积的.