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\textbf{群}是一种[[代数结构]].
粗略地说, 群是带有[[乘法]][[运算]]的[[集合]], 
并且这种乘法满足若干性质.

群结构描述对象的[[对称性]]. 例如:

* [[几何]]对象的[[对称群]]就是所有保持该几何对象不变的变换所构成的群.
例如, 在[[狭义相对论]]中, [[时空]]的对称群称为 [[Poincaré 群]]，
其上还有 [[Lie 群]]结构.

* 在[[代数学]]中， [[Galois 群]]描述了[[域扩张]]的对称性. 
[[Galois 理论]]致力于将群与[[域扩张]]建立对应，以使用[[群论]]研究[[域]].

== 定义 ==

=== 群 ===

\begin{definition} [群]
    \textbf{群}是四元组 $(G, e, m, i)$ ，其中

    *   $G$ 是[[集合]].
        $e \in G$ 是一个元素，称为\textbf{单位元}.
        
    *   $m \colon G \times G \to G$ 是 $G$ 上的[[二元运算]],
        一般记为 $(a, b) \mapsto ab$ 或 $a \cdot b$, 称为\textbf{乘法}.
        
    *   $i \colon G \to G$ 是 $G$ 上的[[一元运算]],
        一般记为 $a \mapsto a^{-1}$ , 称为\textbf{逆}.
    
    它们满足以下条件:
    
    *   (\textbf{[[结合律]]})
        对任意 $a, b, c \in G$, 有
        \[
            (a b) c = a (b c),
        \]
        从而这个结果可以无歧义地记成 $a b c$.
            
    *   (\textbf{[[单位律]]})
        对任意 $a \in G$, 有
        \[
            e a = a = a e,
        \]
        其中 $e$ 是 $G$ 的单位元.
    
    *   (\textbf{逆元})
        对任意 $a \in G$, 有
        \[
            a a^{-1} = e = a^{-1} a,
        \]
        其中 $e$ 是 $G$ 的单位元.
    
    在不引起歧义的情况下，一般将此四元组简记为 $(G, m)$ 或 $G$.
\end{definition}

=== 群同态 ===

\textbf{[[群同态]]}是群之间保持群结构的[[映射||(集合论)]].

\begin{definition} [群同态]
    两个群 $G$、$H$ 之间的\textbf{同态}是映射
    $f \colon G \to H$, 满足
    \[
        f(a) \, f(b) = f(a b), \quad \forall a, b \in G.
    \]
\end{definition}

\begin{definition} [群范畴]
    所有群和它们之间的同态构成一个[[范畴]],
    称为\textbf{群范畴},
    记为 $\mathsf{Grp}$.
\end{definition}

\begin{definition} [群同构]
    两个群 $G$、$H$ 称为\textbf{同构}的，如果它们在群范畴中[[同构]].
    
    等价地说, 如果存在同态
    \[
        f \colon G \to H, \quad
        g \colon H \to G,
    \]
    使得 $g \circ f$ 和 $f \circ g$
    均为[[恒同映射]], 就说 $G$ 和 $H$ \textbf{同构},
    也称映射 $f$ 和 $g$ 为\textbf{同构}.
\end{definition}

== 相关概念 ==

* [[群对象]]
* [[群胚]]

{{代数结构}}

{{群论}}

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}}

[[分类:群论]]