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\textbf{紧合态射}是[[代数几何]]%
中对拓扑中[[紧||空间]] [[Hausdorff 空间]] 的模拟
(将态射作为[[相对概形]], 而视为[[空间]]),
也是拓扑中[[紧合映射]] (精确地说, 紧合[[分离映射]]) 的类比
(将态射视为空间之间的映射).

== 定义 ==

\begin{definition}
    称[[概形]]态射 $X \to S$ 为\textbf{紧合态射},
    如果它[[分离态射|分离]]、[[泛闭||态射]]、[[有限型||态射]].
\end{definition}

\begin{remark}
    由于概形[[纤维积]]的拓扑并不是相应拓扑空间的纤维积,
    上述定义并不等价于相应拓扑空间之间的映射是紧合的.
\end{remark}

== 性质 ==
\begin{proposition}[赋值判别法]
    $X \to S$ 是紧合态射当且仅当其[[有限型||态射]]、
    [[拟分离||态射]], 且对任意赋值环 $R$ 以及任意如下图表 (其中 $K$ 是 $R$ 的分式域, 
    $\operatorname{Spec}K\to\operatorname{Spec}R$ 为自然映射),
    $$\begin{cd}
        \operatorname{Spec}K\ar[r]\ar[d]&X\ar[d,"f"]\\
        \operatorname{Spec}R\ar[r]\ar[ur,dashed]&Y
    \end{cd}$$
    使图表交换的虚线箭头存在唯一. 
\end{proposition}

证明见条目[[赋值判别法]]. 

\begin{proposition}
    \begin{itemize}
        \item
            {}[[闭浸入]]是紧合态射.
        \item
            紧合态射的复合还是紧合态射.
        \item
            紧合态射的[[基变换]]还是紧合态射.
    \end{itemize}
\end{proposition}

\begin{corollary}
    对概形间态射 $f \colon Y \to Z$ 以及 $g \colon X \to Y$,
    如果 $f$ 是[[分离态射]], 且 $f \circ g$ 是紧合态射, 
    则 $g$ 是紧合态射.
\end{corollary}

下面的定理是``仿射又紧合的代数簇只能是有限个点''这一直观的推广. 

\begin{theorem}
    [[仿射||态射]]紧合态射为[[有限||态射]].
\end{theorem}

\begin{proof}
    {[[泛闭态射]]}条目中证明了仿射泛闭态射一定整. 
    现由紧合它又有限型, 所以一定有限. 
\end{proof}

紧合态射最重要的性质当属 [[Grothendieck 凝聚性]], 
证明参见主条目. 

\begin{theorem}[Grothendieck]
    设 $f\colon X\to Y$ 是 [[Noether 概形]]的紧合态射. 
    则[[导出前推]] $Rf_*$ 把 $\mathsf{D}_\mathsf{Coh}^b(X)$
    变为 $\mathsf{D}_\mathsf{Coh}^b(Y)$. 换言之, 
    对 $X$ 上[[凝聚层]] $\mathcal{F}$, 
    $R^if_*\mathcal{F}$ 都是 $Y$ 上凝聚层, 
    且当 $i$ 充分大时为 $0$.
\end{theorem}

以下[[形式函数定理]]亦比较有用, 证明参见主条目.

\begin{theorem}
    设 $R$ 是 Noether 环, $I$ 是其理想, $X$ 是紧合 $R$-概形,
    $\mathcal{F}$ 是 $X$ 上[[凝聚层]]. 对 $n\in\N$, 
    记 $X_n=X\times_{\operatorname{Spec}R}
    \operatorname{Spec}R/I^{n+1}$, $\mathcal{F}_n=
    \mathcal{F}|_{X_n}$. 则对 $i\in\N$,
    $$\lim_nH^i(X_n,\mathcal{F}_n)=H^i(X,\mathcal{F})^\wedge,$$
    其中 ${}^\wedge$ 表示 $R$-模关于 $I$ 完备化.
\end{theorem}

== 例子 ==
\begin{itemize}
    \item
        {}[[射影态射]]是紧合态射, 例如射影空间 $\mathbb{P}^n_S \to S$
        是紧合态射.
    \item
        {}[[有限态射]]是紧合态射.
    \item
        {}仿射空间 $\mathbb{A}^n_S \to S$ ($n \geq 1$)
        不是紧合态射.
    \item
        {}[[开浸入]]不是紧合态射, 除非它是开闭浸入.
\end{itemize}

== 相关概念 ==
* [[分离态射]]
* [[射影态射]]
* [[周引理]]
* [[Grothendieck 凝聚性]]
* [[形式函数定理]]

{{态射性质}}

{{ Transbox
    | {{ Translist
        | title = 紧合态射
        | en = proper morphism
        | de = eigentlicher Morphismus
        | fr = morphisme propre
        | grc = ἴδιος μορφισμός
        | la = morphismus proprius
    }}
}}

[[分类:概形论]]