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[[代数几何]]中, \textbf{泛闭态射}指的是[[概形]][[态射]],
满足其所有的[[基变换]]都是[[闭映射]]. 此概念比较抽象, 
大致可以理解为拓扑中紧而未必 Hausdorff 的空间的类比. 
%注意, 在拓扑中, 两个[[第二可数||空间]][[局部紧||空间]][[Hausdorff空间]]
%之间的[[连续映射]]是[[紧合||映射]]的当且仅当它是泛闭的.

== 定义 ==

\begin{definition}
    [[概形]][[态射]] $X \to S$ 称为\textbf{泛闭态射},
    意思是对任一概形 $T\to S$, [[基变换]] $X\times_ST\to T$ 
    在拓扑空间上为闭映射, 即闭集的像都是闭集. 
\end{definition}

== 性质 ==

\begin{proposition}
    \begin{itemize}
        \item
            泛闭态射是局部的. 
        \item
            泛闭态射的复合还是泛闭态射.
        \item
            泛闭态射的[[基变换]]还是泛闭态射.
        \item
            泛闭态射的乘积还是泛闭态射.
    \end{itemize}
\end{proposition}

\begin{proposition}\label{像集}
    设 $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to S$ 是概形态射, 
    满足复合 $gf$ 泛闭, 而 $g$ 分离. 则 $f$ 泛闭,
    且从[[概像]] $f(X)$ 到 $S$ 的自然映射亦泛闭.
\end{proposition}

\begin{theorem}
    泛闭态射都[[拟紧||态射]]. 
\end{theorem}

\begin{proofc}
    设 $f\colon X\to Y$ 不为拟紧, 来证其不泛闭. 
    由于二者都是[[局部性质]], 可设 $Y=\operatorname{Spec}R$
    仿射. 取仿射开覆盖 $X=\bigcup_{i\in I}X_i$, 
    并令 $T=\operatorname{Spec}(R[t_i]_{i\in I})$
    为 $Y$ 上概形, $T_i=D(t_i)$ 为其开子集. 则对每个 $i\in I$,
    $X_i\times_YT_i\subseteq X\times_YT$ 为开子集. 
    以 $Z$ 记它们全部并起来之补, 为 $X\times_YT$ 的闭子集.
    我们来证明 $f_T\colon X\times_YT\to T$ 不把 $Z$
    映射到闭集, 从而得到 $f$ 不泛闭. 

    首先存在 $y\in Y$, 使得对任一邻域 $U\ni y$, 态射
    $f^{-1}(U)\to U$ 都不拟紧, 否则由拟紧的局部性, 
    $f$ 将会拟紧. 
    
    考虑 $T_y=\operatorname{Spec}(k(y)[t_i]_{i\in I})$ 
    中每个 $t_i$ 都等于 $1$ 的点, 记为 $t$. 它属于每个 $T_i$;
    而对 $z\in Z$, 如 $z$ 在 $X$ 的像属于 $X_i$, 则依 $Z$
    的定义, $z$ 在 $T$ 的像不属于 $T_i$; 所以 $f_T(Z)\notni t$. 
    现假设 $f_T(Z)$ 为闭集. 则存在多项式 $g\in R[t_i]_{i\in I}$
    使得 $t\in D(g)$ 且 $D(g)\cap f_T(Z)=\varnothing$. 
    取有限子集 $J\subseteq I$ 
    使得 $g$ 中只出现 $t_j$, $j\in J$. 
    以 $g(1)\in R$ 记代入每个 $t_i=1$ 之后
    $g$ 的值, 则它在 $k(y)$ 的像非零. 把 $Y$ 换成 $Y_{g(1)}$, 
    可设 $g(1)$ 可逆. 由上一段, 换完之后 $X$ 仍不拟紧,
    故可取 $x\in X$ 使得对 $j\in J$ 都有 $x\notin X_j$.
    记 $y'=f(x)$. 考虑 $T_{y'}=
    \operatorname{Spec}(k(y)[t_i]_{i\in I})$ 中每个
    $t_j$, $j\in J$ 都等于 $1$, 其余变量都等于 $0$ 的点,
    记为 $t'$. 则由 $J$ 的取法以及 $g(1)$ 可逆便知 
    $t'\in D(g)$. 现取 $z\in X\times_YT$, 在 $X$ 中的像是
    $x$, 在 $T$ 中的像是 $t'$. 则由于对 $j\in J$ 都有
    $x\notin X_j$, 对 $i\notin J$ 都有 $t'\notin T_i$,
    可知 $z\in Z$. 而 $f_T(z)=t'\in D(g)$, 与
    $D(g)\cap f_T(Z)=\varnothing$ 矛盾! 从而 $f_T(Z)$
    不是闭集, $f$ 不泛闭. 
\end{proofc}

\begin{proposition}[赋值判别法]
    态射 $X\to Y$ 泛闭, 当且仅当其[[拟紧||态射]], 
    且对任意[[赋值环]] $R$ 以及任意如下图表 (其中 $K$ 是 $R$
    的分式域, $\operatorname{Spec}K\to\operatorname{Spec}R$
    为自然映射),
    \begin{cd}
        \operatorname{Spec}K\ar[r]\ar[d]&X\ar[d]\\
        \operatorname{Spec}R\ar[r]\ar[ur,dashed]&Y
    \end{cd}
    存在虚线箭头使图表交换. 
\end{proposition}

证明见条目[[赋值判别法]]. 

\begin{theorem}
    [[仿射||态射]]泛闭态射和[[整态射]]是一回事. 
\end{theorem}

\begin{proof}
    整态射仿射泛闭比较容易. 首先它依定义就是仿射的.
    其次由[[整同态]]的素理想上行不难得知整态射都是闭的, 
    见主条目. 于是由整态射在基变换下保持就知道泛闭.

    另一边就比较麻烦. 显然只需考虑仿射情形. 设环同态
    $A\to B$ 在谱上泛闭, 任取 $b\in B$, 要证明 $b$ 在
    $A$ 上整. 基变换到 $A[b^{-1}]$, 由于
    $A[b^{-1}]\to A[b^{-1}]\otimes_A B\to B$ 
    的第二个箭头即乘法映射是环满射, 复合映射 $A[b^{-1}]\to B$ 也在谱上泛闭. 
    于是由以下引理可设 $b^{-1}\in A$. 由命题 \ref{像集}, 可设 $B=A[b]$.
    这样 $B=A_{b^{-1}}$ 是[[局部化]],
    $\operatorname{Spec}B=D(b^{-1})$ 是 $A$ 中主开集.
    但它又闭, 所以是开闭集含入, 那么当然整.
\end{proof}

\begin{lemma}
    $A\to B$ 是[[环同态]], $b\in B$. 考虑[[局部化]]
    $B_b$ 的子环 $A[b^{-1}]$. 如 $b$ 在 $A[b^{-1}]$
    上整, $b$ 就在 $A$ 上整. 
\end{lemma}

\begin{proof}
    写出 $B_b$ 中等式
    $$b^n+c_1b^{n-1}+\cdots+c_n=0,\qquad
    c_1,\ldots,c_n\in A[b^{-1}].$$
    把 $c_1,\ldots,c_n$ 具体写成 $b^{-1}$ 的 $A$ 
    系数多项式, 再展开, 可得 $B_b$ 中等式
    $$b^n+a_1b^{n-1}+\cdots+a_Nb^{n-N}=0,\qquad
    a_1,\ldots,a_N\in A.$$
    由局部化的具体定义便知存在自然数 $M\ge N-n$ 使得上式两边乘以 
    $b^M$ 之后是 $B$ 中等式, 于是 $b$ 在 $A$ 上整. 
\end{proof}

== 例子 ==
\begin{itemize}
    \item[[闭浸入]]是泛闭态射.
    \item
        [[射影态射]]是泛闭态射, 例如射影空间 $\mathbb{P}^n_S \to S$ 
        是泛闭态射.
    \item
        仿射空间 $\mathbb{A}^n_S \to S$ ($n \geq 1$)
        不是泛闭态射.
\end{itemize}

== 相关概念 ==
* [[分离态射]]
* [[赋值判别法]]
* [[整态射]]
* [[紧合态射]]

{{态射性质}}

{{ Transbox
    | {{ Translist
        | title = 泛闭态射
        | en = universally closed morphism
        | de = universal abgeschlossener Morphismus
        | fr = morphisme universellement fermé
        | grc = καθολικῶς κλειστὸς μορφισμός
        | la = morphismus universaliter clausus
    }}
}}

[[分类:概形论]]