查看“有限型态射”的源代码

[[代数几何]]中, 
\textbf{有限型态射}指局部上是[[有限型环同态]]的[[拟紧态射]].
它可视作一族被基概形参数化的代数簇.

== 定义 ==

\begin{definition}
    称概形态射 $f\colon X\rightarrow Y$ 为\textbf{局部有限型}, 
    指的是存在 $Y$ 的仿射开覆盖 $Y=\bigcup_i V_i$,
    $V_i=\operatorname{Spec} B_i$, 满足每个 $f^{-1}(V_i)$ 
    有仿射开覆盖 $V_i=\bigcup_jU_{ij}$,
    $U_{ij}=\operatorname{Spec} A_{ij}$, 
    $A_{ij}$ 是有限生成 $B_{i}$-代数. 
    称 $f$ 为\textbf{有限型}, 指其局部有限型且[[拟紧||态射]].
\end{definition}

== 性质 ==

\begin{proposition}
    $f\colon X\rightarrow Y$ 局部有限型, 当且仅当对 $Y$ 
    的任一仿射开子集 $V=\operatorname{Spec}B$ 和 $f^{-1}(V)$
    的任一仿射开子集 $U=\operatorname{Spec}A$, 都有 $A$
    是有限生成 $B$-代数.
\end{proposition}

\begin{proposition}
    $X$ 是域 $k$ 上局部有限型概形, 则 $X$ 闭点稠密.
    一般地, [[Jacobson 概形]]上局部有限型的概形 Jacobson. 
\end{proposition}

\begin{proposition}
    \begin{itemize}
        \item [[闭浸入]]、[[拟紧态射|拟紧]][[开浸入]]都是有限型态射.
        \item [[浸入]]是局部有限型态射.
        \item (局部)有限型态射的复合还是(局部)有限型态射.
        \item (局部)有限型态射的[[基变换]]还是(局部)有限型态射.
    \end{itemize}
\end{proposition}

\section{例子}
\begin{itemize}
    \item 
        对任意概形 $S$,
        [[仿射空间]] $\mathbb{A}_{S}^{n} \to S$ 是有限型态射.
    \item 
        对任意概形 $S$,
        [[射影空间]] $\mathbb{P}_{S}^{n} \to k$ 是有限型态射.
    \item 
        任何经典意义下的[[代数簇]]到它的基域是有限型态射.
\end{itemize}

\section{相关概念}
* [[有限表现态射]]
* [[有限态射]]
* [[Nagata 紧化]]

{{态射性质}}

{{ Transbox
    | {{ Translist
        | title = 有限型态射
        | en = morphism of finite type
        | de = Morphismus endlichen Typs
        | fr = morphisme de type fini
        | grc = μορφισμὸς πεπερασμένου τύπου
        | la = morphismus typi finiti
    }}{{ Translist
        | title = 局部有限型态射
        | en = morphism locally of finite type
        | de = Morphismus lokal endlichen Typs
        | fr = morphisme localement de type fini
        | grc = μορφισμὸς τοπικῶς πεπερασμένου τύπου 
        | la = morphisme localiter typi finiti
    }}
}}

[[分类:概形论]]