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\textbf{拟紧态射}是[[代数几何]]中的概念, 
指[[紧集]]的[[原像]]是紧集的[[概形]]态射.

值得注意的是, 由于 [[Zariski 拓扑]]很粗糙, 
拟紧只是个较弱的有限性条件 (它等价于仿射开集的原像是有限个仿射开集之并).
微分几何中紧性概念的正确类比是[[紧合态射]].

== 定义 ==

\begin{definition}[拟紧态射]
    称概形态射 $f \colon X \to Y$ \textbf{拟紧},
    是指存在 $Y$ 的仿射开覆盖 $Y = \bigcup_i V_i$,
    使得诸 $f^{-1}(V_i)$ 的底拓扑空间[[紧||空间]].
\end{definition}

\begin{remark}
    这里 ``拟紧'' 一词是历史遗留, 这个词曾经表示现代意义的 ``紧''.
    而当时 ``紧'' 则相当于现在的 ``紧 [[Hausdorff||空间]]''.
\end{remark}

拟紧概形则和通常一样, 是拟紧态射的 ``绝对版本''.

\begin{definition}[拟紧概形]
    称概形 $X$ \textbf{拟紧}, 是指 $X$ 在 $\Z$ 上拟紧,
    即典范态射 $X \to \operatorname{Spec}(\Z)$ 拟紧.
\end{definition}

== 性质 ==

\begin{proposition}
    态射 $f \colon X \to Y$ 拟紧当且仅当对 $Y$ 中任意仿射开集 $V$,
    $f^{-1}(V)$ 紧, 这也等价于 $f^{-1}(V)$ 是有限个仿射开集之并.

    特别地, 概形 $X$ 拟紧当且仅当 $X$ 的底空间紧.
\end{proposition}

\begin{proposition}
    \begin{itemize}
        \item 拟紧态射的复合仍然拟紧.
        \item 拟紧态射的基变换也拟紧.
    \end{itemize}
\end{proposition}

\begin{proposition}[平坦下降]
    对概形态射 $f \colon X \to Y$ 与拟紧、[[忠实平坦态射]] $Y' \to Y$,
    如基变换 $X \times_Y Y' \to Y'$ 拟紧, 则 $f$ 拟紧.
\end{proposition}

\begin{proposition}
    若态射 $f \colon X \to Y$ 拟紧, 则 $f(X)$ 在 $Y$ 中闭
    当且仅当 $f(X)$ 对[[特殊化]]封闭.
\end{proposition}

\begin{proof}
    对任意概形闭集都在特殊化下封闭. 
    现只需证另一边, 假设 $f(X)$ 在特殊化下封闭.
    闭性对 $Y$ 是局部性质, 可不妨设其仿射, 
    记为 $\operatorname{Spec}(B)$.
    此时 $X$ 为有限个仿射开集之并, 记为 $\operatorname{Spec}(A_i)$.
    令 $A = \prod A_i$, 它的谱是这些开集的无交并 (这里用到有限性),
    则有满射 $\operatorname{\Spec}{A} \to X$.
    用 $A$ 替换 $X$, 可不妨设 $X$ 也仿射.

    由于 $f(X)$ 在特殊化下封闭, 其补集在一般化下封闭,
    因此对 $f(X)$ 的补集中任意一点 $x$, 
    $\operatorname{Spec}(B_x) \cap f(X) = \varnothing$.
    因此 $f^{-1}(B_x) = \operatorname{Spec}(B_x \otimes_B A)$
    为空. 因此 $B_x \otimes A = 0$.
    由于 $B_x$ 为[[滤余极限]] $\lim_{f \notin x} B_f$  
    且张量积与滤余极限交换, 必然存在某个 $f$ 使得 $B_f \otimes_B A$
    为 $0$. 即包含 $x$ 的主开集 $D(f)$ 与 $f(X)$ 不交.
    由 $x$ 的任意性, $f(X)$ 为闭集.
\end{proof}

\begin{proposition}
    拟紧概形至少有一个闭点.
\end{proposition}

{{态射性质}}

{{ Transbox
    | {{ Translist
        | title = 拟紧态射
        | en = quasi-compact morphism
        | fr = morphisme quasi-compact
        | la = morphismus quasi-compactus
    }}
}}

[[分类:概形论]]