查看“微分同胚”的源代码

在[[微分几何]]中,
[[光滑流形]]间的\textbf{微分同胚}是 ``两个光滑流形看起来完全一样'' 这一概念的精确表述.
微分同胚的光滑流形具有完全相同的几何性质.

微分同胚的概念强于[[同胚]].
也就是说, 微分同胚一定是同胚, 但反过来不一定成立.
例如, [[怪球]]同胚于标准的球面, 但两者之间不存在微分同胚.


== 定义 ==

\begin{definition}
    设 $X, Y$ 为[[光滑流形]], $f \colon X \to Y$ 为[[光滑映射]].
    称 $f$ 为\textbf{微分同胚}, 如果满足以下条件:

    * 存在光滑映射 $g \colon Y \to X$,
        使得 $g \circ f = \mathbb{1}_X$, 且 $f \circ g = \mathbb{1}_Y$.

    此时, 记 $g = f^{-1}$, 称为 $f$ 的\textbf{逆映射}.
    也称 $X, Y$ 为\textbf{微分同胚}的光滑流形.
\end{definition}


== 例子 ==

* [[恒同映射]]都是微分同胚.

* 光滑流形的[[局部坐标]]是从 [[Euclid 空间]]中的[[开集]]到该流形的开[[子流形]]的微分同胚.

* $f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^3$ 是[[光滑映射]], 也是[[同胚]],
    但不是微分同胚, 因为其逆映射不是光滑映射.


== 相关概念 ==

{{ 微分几何 }}

{{ transbox
    | {{ translist
        | title = 微分同胚
        | en = diffeomorphism
    }}
}}

[[分类:微分几何]]