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\textbf{分离态射}是[[代数几何]]%
中对拓扑中 [[Hausdorff 空间]]的模拟
(这里, 我们将态射作为[[相对概形]], 而视为[[空间]]).

== 定义 ==
\begin{definition}
    称概形态射 $X \to S$ 为\textbf{分离态射}, 
    指的是[[对角态射]]
    \[
        \Delta_{X/S}\colon X \to X \times_S X
    \]
    是[[闭浸入]].
\end{definition}

\begin{definition}
    说概形 $X$ 是\textbf{分离概形}, 指的是 $X$ 在 $\Z$ 上分离, 
    即典范态射 $X\to\operatorname{Spec}\Z$ 是分离态射. 
\end{definition}

\begin{remark}
    由于概形[[纤维积]]的拓扑并不是相应拓扑空间的纤维积,
    上述定义并不等价于相应拓扑空间之间的映射是分离的.
\end{remark}

== 性质 ==
\begin{proposition}[赋值判别法]
    态射 $X \to Y$ 分离, 当且仅当其[[拟分离||态射]], 且对任意赋值环 $R$ 以及任意如下图表 (其中 $K$ 是 $R$ 的分式域, 
    $\operatorname{Spec}K\to\operatorname{Spec}R$ 为自然映射),
    $$\begin{cd}
        \operatorname{Spec}K\ar[r]\ar[d]&X\ar[d]\\
        \operatorname{Spec}R\ar[r]\ar[ur,dashed]&Y
    \end{cd}$$
    使图表交换的虚线箭头至多一个. 
\end{proposition}

证明见条目[[赋值判别法]]. 

\begin{proposition}
    \begin{itemize}
        \item
            [[单态射]]分离. 特别地,
            [[开浸入]]、 [[闭浸入]]、[[浸入]]都分离.
        \item
            分离态射的复合还是分离态射.
        \item
            分离态射的[[基变换]]还是分离态射.
    \end{itemize}
\end{proposition}

\begin{corollary}
    对概形态射 $f \colon X \to Y$ 以及 $g \colon Y \to S$,
    如果 $gf$ 是分离态射, 则 $f$ 是分离态射. 
    简而言之, 从分离概形出发的态射都分离. 
\end{corollary}

== 例子 ==
\begin{itemize}
    \item
        {}[[仿射态射]]是分离态射, 例如仿射空间 $\mathbb{A}^n_S \to S$
        是分离态射.
    \item
        {}[[射影态射]]是分离态射, 例如射影空间 $\mathbb{P}^n_S \to S$
        是分离态射.
    \item
        {}[[带有两个原点的直线]]不是分离的.
\end{itemize}

== 相关概念 ==
* [[紧合态射]]
* [[拟分离态射]]

{{态射性质}}

{{ Transbox
    | {{ Translist
        | title = 分离态射
        | en = seperated morphism
        | de = getrennter Morphismus
        | fr = morphisme séparé
        | la = morphismus separatus
    }}
}}

[[分类:概形论]]